A problem of Diophantus

Short arithmetic problem

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1. Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 1 / 21 Aritm´ etica de Diofanto (Libro III) Maestr´ ıa en Ense˜ nanza de la Matem´ atica Pontificia Universidad Cat´ olica del Per´ u Carlos Torres ctorresn@pucp.pe 12 de octubre de 2014
2. Contenidos 1 Primera Secci´ on Problema 10 Soluci´ on por Diofanto 2 Segunda Secci´ on Otra soluci´ on 3 Tercera Secci´ on Soluci´ on por Euler Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 2 / 21
3. Enunciado Problema 10 Encontrar tres n´ umeros tales que el producto de cualquier par de ellos sumado a un n´ umero dado da un cuadrado. Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 4 / 21
4. Problema 10 Encontrar tres n´ umeros tales que el producto de cualquier par de ellos sumado a un n´ umero dado da un cuadrado. Soluci´ on por Diofanto Consideramos 12 el n´ umero dado y un cuadrado (en este caso 25). Con notaci´ on actual: Sean los n´ umeros requeridos como a,b y c. As´ ı tenemos, ab + 12 = 25 ⇒ ab = 13 Sea a = 13x (1) b = 1 x (2) Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 6 / 21
5. Tambi´ en, consideramos bc + 12 = 16 ⇒ bc = 4 Siguiendo el caso anterior, de (2) se tiene b = 1 x , as´ ı c = 4x (3) Luego, de (1) y (3) ac = (13x)(4x) = 52x2 (4) Pero, por la condici´ on del problema y por (4) ac + 12 = 52x2 + 12 = (cuadrado) Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 7 / 21
6. Como 52 = 4 × 13, donde 13 no es cuadrado. Importante Tenemos que encontrar dos pares de cuadrados tales que cualquiera de ellos m´ as 12 da un cuadrado. Se usar´ a la siguiente identidad algebraica n 2 − m 2 2 + nm = n 2 + m 2 2 donde nm = 12, entonces nm = 6 × 2 o nm = 4 × 3, luego los cuadrado que satisfacen la condici´ on son 4 ; 1 4 Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 8 / 21
7. Finalmente, los cuadrados encontrados se expresan de la forma 4x ; x 4 Por la condici´ on ac + 12 = (cuadrado), siendo el cuadrado (x + 3)2, se obtiene ac + 12 =(4x) x 4 + 12 = (x + 3)2 ⇒ x = 1 2 Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 9 / 21
8. Reemplazando en (1), (2) y (3) Para a = x 4 ; b = 1 x ; c = 4x se tiene a = 1 8 ; b = 2 ; c = 2 Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 10 / 21
9. Otra soluci´ on Consideramos 6 el n´ umero dado, as´ ı tambi´ en 9 y 16 los cuadrados. Con notaci´ on actual: Sean los n´ umeros requeridos como a,b y c. As´ ı tenemos, ab + 6 = 9 ⇒ ab = 3 ⇒ a = 3x ; b = 1 x (5) bc + 6 = 16 ⇒ ac = 10 ⇒ b = 1 x ; c = 10x (6) Adem´ as, por condici´ on del problema ac + 6 = 30x2 + 6 = (cuadrado) (7) Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 12 / 21
10. En (7) se observa que 30 = 6 × 5. Importante Tenemos que encontrar dos pares de cuadrados tales que cualquiera de ellos m´ as 6 da un cuadrado. Tomando, nm = 6 se desprende n = 3 × 2 o nm = 6 × 1. Luego, los cuadrados que satisfacen esta condici´ on son 1 4 y 25 4 Finalmente los cuadrados encontrados se expresan de la forma x 4 ; 25x 4 Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 13 / 21
11. Por condici´ on ac + 6 = (cuadrado), siendo el cudrado (x + 1)2 se obtiene ac + 6 = x 4 25x 4 + 6 = 5 4 x + 1 2 ⇒ x = 2 Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 14 / 21
12. Reemplazando en (5), (6) y (7) Para a = x 4 ; b = 1 x ; c = 25x 4 se tiene a = 1 2 ; b = 1 2 ; c = 25 2 Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 15 / 21
13. M´ etodo de Euler Figura: Extracto del libro Elementos de ´ Algebra de Euler Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 17 / 21
14. Explicaci´ on Soluci´ on al problema para n´ umeros enteros. Sean estos n´ umeros x, y y z, tal que xy + a = (cuadrado) = k2 yz + a = (cuadrado) = p2 zx + a = (cuadrado) = n2 Considerando xy + a = k2 y haciendo z = x + y + q se tiene xz + a = x(x + y + q) + a = x2 + xy + xq + a = x2 + qx + k2 (I) yz + a = y(x + y + q) + a = y2 + xy + yq + a = y2 + qy + k2 (II) Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 18 / 21
15. Como (I) y (II) son cuadrados perfectos, el discriminante (∆) de la ecuaci´ on en x para (I) y (II) debe satisfacer ∆ = q2 − 4k2 = 0 q2 = 4k2 ⇒ q = 2k q = −2k Luego, z = x + y ± 2k, considerando k2 > a. De xy = k2 − a, donde x e y son los factores encontrados. Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 19 / 21
16. En el problema Como a = 6. Sea xy + 6 = 9, k2 = 9 con (k2 > a). As´ ı se tiene xy = 3 ⇒ x = 3 y = 1 Luego, z = x + y ± 2k = 4 ± 6 ⇒ z = 10 z = −2 Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 20 / 21
17. Por lo tanto las soluciones son (3; 1; 10) ; (3; 1; −2) Carlos Torres (PUCP) Matem´ atica 12 de octubre de 2014 21 / 21