ਐΛ 10 ਐʹͯ͠ߟ͑Ε࣮࣭ͨͩͷ Dɿϝοηʔδʢʣશମͷू߹ ͦΕͧΕͷਓʢྫɿAliceʣެ։ݤ PA ͱൿີݤ SA Λ͍࣋ͬͯΔ ͖ͪɿެ։ݤଞͷਓͱڞ༗͢Δɽൿີݤઈରʹൿີɽ PA SA ɼD ͷཁૉΛೖྗ͢Δͱ D ͷཁૉΛग़ྗ͢Δؔ ͔ͭɼPA ͱ SA ʹ࣍ͷ͕ؔ͋ΔΑ͏ʹ͢Δ ҙͷ M 2 D ʹରͯ͠ PA(SA(M)) = M ҙͷ M 2 D ʹରͯ͠ SA(PA(M)) = M ཁ Alice Ҏ֎ SA Λ؆୯ʹܭࢉͰ͖ͳ͍
a ෛͷ͋ΓಘΔ͕ɼͦͷ߹ʮ͍͍ײ͡ʹΔʯ ྫɿ5 mod 3 = 2ɼ`1 mod 3 = 2 ʮ5 Λ 3 Ͱׂͬͨ͋·Γʯͱɼ ʮ5 ͔Β͡Ίͯ 3 ͣͭҾ͍͍͖ͯɼ 0 Ҏ্ 3 ະຬʹͳͬͨΒࢭ·Εʯ ʮ`1 Λ 3 Ͱׂͬͨ͋·Γʯͱɼ ʮ`1 ͔Β͡Ίͯ 3 ͍ͣͭͯ͠ ͖ɼ0 Ҏ্ 3 ະຬʹͳͬͨΒࢭ·Εʯ a ” b mod p ͱॻ͍ͨΒʮa Λ p Ͱׂͬͨ͋·Γͱɼb Λ p Ͱ ׂͬͨ͋·Γ͕͍͠ʯͱ͍͏͜ͱ (a mod p) + (b mod p) ” a + b mod p (a mod p) ` (b mod p) ” a ` b mod p (a mod p) ´ (b mod p) ” a ´ b mod p ҆қʹׂΓࢉΛ͠Α͏ͱ͢Δͱ͚Ͳ͢Δ
= pqɼz = (p ` 1)(q ` 1) Λܭࢉ͢Δɽ e Λɼz ͱޓ͍ʹૉͳɼখ͍͞حͱ͢Δɽ de ” 1 mod z Λॆͨ͢Α͏ͳ d Λܭࢉ͢Δɽୠ͠ɼ0 » d < z ͱͳΔΑ͏ʹ͢Δ͜ͱɽ ;͗͠ͳ͔ͪΒ 2 ʹΑΓɼ͜ͷΑ͏ͳ d ͨͩͻͱͭʹܾ·Δɽ P Λ P (M) = Me mod n ͱఆΊΔɽ S Λ S(C) = Cd mod n ͱఆΊΔɽ ओு P Λެ։ݤɼS Λൿີݤͱͯ͠ެ։ݤ҉߸ํࣜʹΑΔ௨৴͕Ͱ͖Δ
P (S(M))ɽ ূ໌ ·ͣɼS(P (M)) = P (S(M)) ” Med mod n Ͱ͋ΔɽͳͷͰ ͋ͱ Med ” M mod n Λࣔͤྑ͍ɽ ҎԼɼMed ” M mod p Λࣔ͢ɽM ” 0 mod p ͳΒࣗ໌ͳͷ Ͱͦ͏Ͱͳ͍ͱ͢Δɽ de ” 1 mod z ͳͷͰɼ͋Δ k ͕ଘࡏͯ͠ɼde = 1 + kz ͕ Γཱͭɽ Mde ” M1+kz ” M(Mkz) ” M((Mp`1)k(q`1)) mod ͱ͔ͬͯΒֻ͚ࢉͯ͠ɼֻ͚ࢉ͔ͯ͠Β mod ͱͬͯ݁Ռ มΘΒͳ͍ͷͰɼM((Mp`1)k(q`1)) ” M((Mp`1 mod p)k(q`1)) mod pɽ ;͗͠ͳ͔ͪΒ 3 Ͱ Mp`1 ” 1 mod p ʹͳΔͷͰɼ্ͷࣜ݁ہ M((1)k(q`1)) ” M mod p ʹͻͱ͍͠ɽ ಉ༷ʹɼMed ” M mod q Ͱ͋Δɽ ͜ͷ 2 ͭͱ;͗͠ͳ͔ͪΒ 4 ͔ΒɼMed ” M mod n ͕ग़Δɽ
mod z ͱͳΔΑ͏ͳ d(0 » d < z) ͕ͨͩͻͱͭʹܾ·Δ͜ͱ ;͗͠ͳ͔ͪΒ 3ɿૉ p ʹର͠ɼM ͕ p ͷഒͰͳ͍ͳΒ Mp`1 ” 1 mod p ͱͳΔ͜ͱ ;͗͠ͳ͔ͪΒ 4ɿૉ p ͱૉ q ͕͋Δͱ͖ʹɼx ” y mod p ͔ͭ x ” y mod q ͳΒ x ” y mod pq ͱͳΔ͜ͱ
x ” y mod q ͳΒ x ” y mod pqɽ આ໌ ঃΖʹɼ ʮmod p Λͱͬͨʯͱʮmod q ΛͱͬͨʯΛฒͨɼ (a mod p; b mod q) ͱ͍͏ܗͷλϓϧΛߟ͑ΔɽҎԼࠨଆ mod pɼӈଆ mod q Λͱͬͯߟ͑Δɽ λϓϧಉ࢜ͷ͠ࢉΛ (a; x) + (b; y) = (a + b; x + y) ͱΔ͜ ͱʹ͢Δɽ (1; 1) ͱ͍͏λϓϧΛͻͨ͢Β͠ଓ͚Δૢ࡞Λߟ͑Δɽ͢Δͱɼpq ݸͨ͠ͱ͜ΖͰ (0; 0) ʹͳΔɽ ྫɿp = 3,q = 5 ͱ͢Δɽ(1; 1)ɼ(2; 2)ɼ(0; 3)ɼ(1; 4)ɼ (2; 0)ɼʜɼ(2; 4)ɼ(0; 0) ͱɼ15 ճͰ 0 ʹͳΔɽ ͜ͷ؍͔Β (x; x) ͷ͜ͱΛ x mod pq ͷผͷ࢟ͱࢥ͑ͦ͏ɽ ٯʹɼx mod pq (x mod p; x mod q) ͱ༁Ͱ͖ͦ͏ɽ ͜ͷ૬ޓ༁͔Β;͗͠ͳ͔ͪΒ 4 ͕ग़Δɽ
2n`1 6” 1 mod n ͳΒ n ߹ͱఆ ;͗͠ͳ͔ͪΒ 3ʮૉ p ʹର͠ɼM ͕ p ͷഒͰͳ͍ͳΒ Mp`1 ” 1 mod pʯΛࢥ͍ग़͢ ͍·ɼn େ͖ͳૉͳͷͰɼಛʹ 2 n ͷഒͰͳ͍ ͳͷͰɼn ͕ૉͳΒ 2n`1 ” 1 mod n 2n`1 6” 1 mod n ͳΒ n ߹ ҙ ߹Λૉͩͱఆ͢ΔՄೳੑ͕͋Δ ૉΛ߹ͩͱఆ͢Δ͜ͱͳ͍ ͔͠͠ɼؒҧ͑Δ֬ܦݧ্ඇৗʹ͍ ·ͨɼMiller-Rabin test ͱ͍͏վྑ൛͋Δ