Pearl「入門統計的因果推論4.5」まとめ

社内勉強会の発表資料です。「入門統計的因果推論(Pearl)」の4.5章「介入と寄与の分析に関する数学的ツール」の内容についてまとめました。

Transcript

1. 入門統計的因果推論4.5 介入と寄与の分析に関する数学的ツール
2. アジェンダ - 自己紹介 - 4章の（ざっっっくりとした）復習 - 介入と寄与の分析に関する数学的ツール - 練習問題
3. 自己紹介
4. 自己紹介（パーソナリティ） 名前: 宇戸 慎吾（うと しんご） 趣味: シーシャ 得意: Twitter 苦手: IT, 数学, 英語（笑） カラオケ キックボクシング
5. 自己紹介（宣伝） - Envaderというサービスの企画・運営してます - Pythonで因果推論手法を実装するzennの記事を書いてます - たまに登壇してます（登壇資料）
6. 4章の復習
7. 反事実とは（イメージ） 車で分岐点 - セプルベタ ▶ 選択: 運転時間1h（事実） - フリーウェイ フリーウェイを選択していたときの 運転時間は...？（反事実）
8. 反事実とは（問題点） フリーウェイを選択していた場合の運転時間（反事実）を do表記法を用いて表現しようとすると... E( 運転時間 | do(フリーウェイ), 運転時間=1h ) → do表記法では表現できない conflict!!
9. 反事実とは（じゃあどうすんの） 添字を使って表現 E(Y フリーウェイ | セプルベタ, Y = Y セプルベタ = 運転時間1h) 仮想した世界 実際の世界 異なる2つの世界
10. 反事実とは（基本法則） - 正式な定義: Y x (u) = Y Mx (u) … (4.5) - 一致性: もし X = x ならば Y x = Y … (4.6) ここで、M x は任意の構造モデル Mを修正してXの等式をX=xに置き換えたもの この基本法則に従って反事実を考えることで、 ある特定の個体(U=u)の振る舞いを捉えることが可能
11. 反事実とは（ココがすごい） 構造的因果モデルにより完全に記述され たどのようなモデルにおいても反事実の 確率を計算できる モデルの記述が不完全 or変数がいくつ か測定できていない時でもデータからこ れらの確率を計算することができる X = aU, Y = bX + U Y x (u) = Y Mx (u) = bx + u 証拠E=eからUの値を決定 X=xとし修正モデルM x を得る （決定論的モデルの例） パラメトリックなモデルが存在 モデルから Uを推論可能 母集団レベルにおいて は、調整化公式により確 率や期待値を計算するこ とができる Yes No
12. 反事実とは（まとめ） - 事実とは異なる「もし〜していたら...」を考えるアプローチ - do表記法では表現できないため、添字を利用 - 構造的因果モデルやデータから確率や期待値について計算するこ とができる
13. 介入と寄与の分析に関する 数学的ツール
14. 3つの頻出パターン 1. ETT(Effect of Treatment on the Treated) ➢ 前章で解説 2. 必要性の確率(PN: Probability of Necessity) ➢ 4.5.1 原因と確率と寄与に関するツールで解説 3. 媒介問題 ➢ 4.5.2 媒介についてのツールで解説
15. 1. ETT(Effect of Treatment on the Treated) 2. 必要性の確率(PN: Probability of Necessity) 3. 媒介問題 3つの頻出パターン
16. ETTの復習 - Effect of Treatment on the Treated（処置群での処置効果） - ETT = E[ Y x - Y x’ | X=x ] = E[ Y x | X=x ] - E[ Y x’ | X=x ] ETTが識別可能となるのは以下の 3通り 1. バックドア基準を満たす 2. フロントドア基準を満たす 3. 2値変数Xで実験データと非実験データがそれぞれP(Y=y|do(X=x))とP(X=x, Y=y)の形で手に入る
17. 3つの頻出パターン 1. ETT(Effect of Treatment on the Treated) 2. 必要性の確率(PN: Probability of Necessity) 3. 媒介問題
18. PN（必要性の確率）とは Probability of Necessityの略。2値の事象を仮定し - X=x は介入（X=x’ は X=x の否定） - Y=y は反応（Y=y’ は Y=y の否定） とするとき、求めたい反事実の量は PN(x, y) = P( Y x’ =y’ | X=x, Y=y ) 上記のPNは、実際にはX=x, Y=yですが、 もしX=x’であったならばY=y’であろう確率を表してます
19. PNの識別可能性（定理4.5.1） 過剰相対リスク （ERR: Excess Risk Ratio） 交絡バイアスの修正項 （CF: Confounding Factor） （4.28） （4.29）
20. PNのお気持ち 自動車会社UTO（仮名）が「車の設計に落ち度があったために自動車事 故で人が死んでしまった」と訴えられたケースを考える 自動車会社UTOの車を運転すると死亡する 確率がどれほど高くなるか もし自動車会社UTOの車を買う人たちは一般 の運転者よりもスピードを出す傾向にある場 合には、そのバイアスを修正 （4.29）
21. PNの下限と上限 （4.30） 式4.28 翻訳がイマイチ なので確認 CAUSAL INFERENCE IN STATISTICS（pdf版）を参照 ※式4.30の詳細は「Tien and Pearl 2000」を参照
22. PNの下限と上限（式変形） （4.31） （4.32） （4.33） （4.34）
23. PNの下限と上限（3つの特徴） PNの下限と上限をERRの関数として描画 1. 交絡の有無に依らず UB - LB = q = P(y’|x) / P(y|x) （一定） 2. ERRのみでは十分でない場合に、CFは PN>1/2を満たすために下限を上昇させ るかもしれない 3. 上下限の上昇量はCFによって与えられ る 観察可能 唯一、実験データから 推定する必要あり
24. PNの下限と上限（PSとPNS） - PS(Probability of Sufficiency) - PS = P(Y x =y | X=x’, Y=y’) - PNS(Probability of Necessity and Sufficiency) - PNS = P(Y x =y, Y x’ =y’) についても同様に上下限を求めることができる 特に、Y x (u)が単調の場合 PNS = P(Y x =y, Y x’ =y’)= P(Y x =y, Y x’ =y) = P(Y x =y) - P(Y x’ =y) ※詳細は「Tien and Pearl 2000」を参照
25. PNの具体例 腰痛の薬xが腰痛患者Aさんの死亡原因であるのか？ 実験データ 非実験データ do(x) do(x’) x x’ 死（y） 16 14 2 28 生存（y’） 984 986 998 972 手元にある実験データおよび非実験データから薬 xが人の死yの原因である確率PNを推定する 表から - P(y|do(x)) = 16/1000 = 0.016 - P(y|do(x’)) = 14/1000 = 0.014 - P(y) = 30/2000 = 0.015 - P(x,y) = 2/2000 = 0.001 - P(y|x) = 2/1000 = 0.002 - P(y|x’) = 28/1000 = 0.028 が得られる ※標本誤差はないものとする
26. PNの具体例 腰痛の薬xが腰痛患者Aさんの死亡原因であるのか？ 実験データ 非実験データ do(x) do(x’) x x’ 死（y） 16 14 2 28 生存（y’） 984 986 998 972 手元にある実験データおよび非実験データから薬 xが人の死yの原因である確率PNを推定する 単調性を仮定すると、 定理4.5.1の4.29式より 式4.30の下限は1となるので PN=1 ➢ 確実に死の原因と言える ※標本誤差はないものとする
27. PNのまとめ - PNとは「実際にはX=x, Y=yだが、もしX=x’であったならばY=y’であ ろう」確率 - PNが識別可能な条件は下記の通り - すべてのuでYがXについて単調（Y 1 (u) >= Y 0 (u)） - 因果効果P(y|do(x))が識別可能 - PNが識別可能なとき、PNはERRとCFに分解でき、ERRは観察デー タから、CFは実験データから推定することが可能
28. 3つの頻出パターン 1. ETT(Effect of Treatment on the Treated) 2. 必要性の確率(PN: Probability of Necessity) 3. 媒介問題
29. 媒介とは（概要） ある変数Tが別の変数Yに影響を与えるとき、 その影響の与え方は下記の2通りが考えられる (1) 直接効果: T → Y (2) 間接効果: T → M → Y 資格M 性別T 採用Y 媒介変数 Mを媒介した効果 (1) (2) (2)
30. 媒介とは（具体例: 3.7章を参照） ある会社が人材採用Yにおいて性別Tによる差別があるかどうかの直接 効果を知りたい。 ただし、性別Tは資格についての変数Mを媒介変数として間接的に採用 に影響を与えているかもしれない。 資格Mについて固定して効果を 計測したら解決するのでは ...？
31. 媒介とは（グラフによるアプローチ1） こんなグラフであれば、Mを固定するだけでOK 資格M 性別T 採用Y 資格M=m 性別T 採用Y M=mに固定
32. 媒介とは（グラフによるアプローチ2） MとYの間に交絡因子が存在すると話は変わる 資格M 性別T 採用Y 資格M=m 性別T 採用Y M=mに固定 親の収入I 親の収入I ▶ CDE(Controlled Direct Effect)を考える
33. 間接効果（T→M→Y）を求めるのは、 直接効果（T→Y）を求めるよりも難しい - 条件付けとかで何とかならないの？ ➢ どう条件付けしても、直接効果T→Yだけを取り除くことができない - 間接効果 = 総合効果 - 直接効果 じゃダメなの？ ➢ 線形システムであれば問題ないが、非線形システムでは成り立たない 媒介とは（間接効果を考える）
34. よくある媒介問題のモデル 媒介問題の標準的なモデル t = f T (u T ), m = f M (t, u M ), y = f Y (t, m, u Y ) …（4.43） ただし、 - T（処置）, M（媒介）, Y（反応）は確率変数（離散 or連続） - fは任意の関数 - Uは省略変数 - ベクトルU = (U T , U M , U Y )は確率ベクトル（個体間のばらつきを表す）
35. よくある媒介問題のモデル（グラフ） 交絡なし U M M U T U Y T Y 交絡あり U M と(U T , U Y )の間に従属性がある U M M U T U Y T Y
36. 反事実における効果の定義 効果 定義 解釈 媒介変数の挙動 総合効果 TE: Total Effect 処置がT=0からT=1に変化した 時のYの増加量の期待値 Tが変化するにつれて 関数f M に より自然に変化する 制御された直接効果 CDE: Controlled Direct Effect 処置がT=0からT=1に変化した 時のYの増加量の期待値 母集団全体に対して一律 M=m に設定 自然な直接効果 NDE: Natural Direct Effect 処置がT=0からT=1に変化した 時のYの増加量の期待値 T=0においてそれぞれの個体 がとったであろう値に固定 自然な間接効果 NIE: Natural Indirect Effect 処置がT=0に固定されていると きのYの増加量の期待値 T=1においてそれぞれの個体 がとったであろう値に固定 TEとCDEはdoオペレーターで記述することができ、データから推定することができる。 NDEと NIEを識別するためには別の仮定が必要になる。
37. 総合効果の分解 一般に総合効果TEは下記の通り分解することができる TE = NDE - NIE r … （4.48） ここで、NIE r はT=1からT=0へ逆向きの移行をしたときのNIE ➢ NDEとTEが識別可能であれば、NIEも識別可能
38. 自然な効果を識別するための条件
39. NDEの識別（定理4.5.2） 式4.49内のdo表記の識別可能性は条件A-3, A-4が保 証してくれており、バックドアorフロントドア基準により計 算可能です！ （4.49）
40. NDEの識別（系4.5.1） （∵式4.48） （4.50） （4.51） （4.52） 媒介公式 CDEの重み付き平均と 解釈できる （∵定義+非交絡）
41. TE・NDE・NIEを用いた3つの比 NDE / TE : Mを”凍結”したまま直接伝搬する反応の割合 (TE - NDE) / TE : 反応のうちMによるものの割合 NIE / TE : YがXに影響されないとき、 Mを経由して伝搬する反応の割合
42. 媒介公式の具体例 宿題・補習への取り組みと試験の合否（合格率） 処置 宿題 合格率 T M E[Y|T=t,M=m] 1 1 0.80 1 0 0.40 0 1 0.30 0 0 0.20 処置 宿題 T E[M|T=t] 0 0.40 1 0.75 表から - NDE = (0.4 - 0.2)(1 - 0.4) + (0.8 - 0.3)0.4 = 0.32 - NIE = (0.75 - 0.4)(0.3 - 0.2) = 0.035 - TE = 0.8*0.75 + 0.4*0.25 - (0.3*0.4 + 0.2*0.6) = 0.46 - NIE / TE = 0.07 - NDE / TE = 0.696 - (TE - NDE) / TE = 0.304 プログラムにより宿題に時間 をかけるようになった結果 合格率の増加（30.4%） 宿題の時間に増加 のみの合格率の増 加（7%） プログラム全体の合格率の増加（ 46%）
43. 媒介問題のまとめ - 反事実における効果はTE, CDE, NDE, NIEの4つ - TEとCDEはdo表記されているため実験データor観察調査から推定 可能であるが、NDEとNIEは別途4つの識別条件が必要 - 共変量が非交絡のとき媒介公式からNDEとNIEを計算することが できる
44. 練習問題
45. 4.5.1(1/2) Jonesさんは放射線治療を受けるべきであったか？
46. 4.5.1(2/2) Jonesさんは放射線治療を受けるべきであったか？ 無理やり解答っぽくしていますが、 P(x,y)が分かりませんでした ...分かった人教えて ...
47. 4.5.2 構造モデルのTE, NDE, NIEを求める (a) (b) U Y = aU M + b と置いて(a)と同様に計算するだけ。 答えは(a)と同じになります！ M T Y U M U Y 線形モデルなので TE = NDE + NIE
48. 4.5.3(a) 下記の構造モデルを考える T M Y W 解答するために勝手に仮定しました
49. 4.5.3(b) 下記の構造モデルを考える T M W Y 解答するために勝手に仮定しました
50. 4.5.4 性別・資格と採用（採用率） 性別 資格 採用率 T M E[Y|T=t,M=m] 1 1 0.80 1 0 0.40 0 1 0.30 0 0 0.20 性別 資格 T E[M|T=t] 0 0.40 1 0.75 表から - NDE = (0.4 - 0.2)(1 - 0.4) + (0.8 - 0.3)0.4 = 0.32 - NIE = (0.75 - 0.4)(0.3 - 0.2) = 0.035 - TE = 0.8*0.75 + 0.4*0.25 - (0.3*0.4 + 0.2*0.6) = 0.46 - NIE / TE = 0.07 - NDE / TE = 0.696 - (TE - NDE) / TE = 0.304 男性が資格を持っている 場合の採用率の増加 （30.4%） 資格のみによる 採用率の増加 （7%） 全体の採用における性差（ 46%） 男性が資格を持っている ことによる採用率の増加 （30.4%）
51. ご清聴ありがとうございました