2026年度秋学期 画像情報処理 第2部・画像情報圧縮 ／ 第9回 離散フーリエ変換と離散コサイン変換（2026. 11. 20）

関西大学総合情報学部　画像情報処理（担当・浅野晃）
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2026a/IPPR/

1. 2026年度秋学期 画像情報処理 第2部・画像情報圧縮 ／ 第9回 離散フーリエ変換と 離散コサイン変換 関西大学総合情報学部 浅野 晃
2. JPEG方式による画像圧縮 画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らす ひとつのセルを， 8×8ピクセルずつのセルに分解 これらの波の重ね合わせで表す 細かい部分は，どの画像でも大してかわら ないから，省略しても気づかない 省略すると，データ量が減る （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2 28
3. Karhunen-Loève変換（KL変換） 画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 （情報の損失が最小） p画素の画像 1 主成分に 変換 p 第１～第p / 2 主成分だけを 伝達する もとの画 素に戻す データ量が半分でも 情報の損失は最小 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 3 28
4. KL変換の大問題 主成分を求めるには，分散共分散行列が必要 分散共分散行列を求めるには， 「いまから取り扱うすべての画像」が 事前にわかっていないといけない そんなことは不可能😵😵 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 4 28
5. そこで ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 28
6. そこで ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている X =        z11 r1 r1 + z12 r1 r2 + · · · + zmm rm rm m m 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 28
7. そこで ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている     どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める X =    z11 r1 r1 + z12 r1 r2 + · · · + zmm rm rm m m 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 28
8. そこで ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている     どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める X =    z11 r1 r1 + z12 r1 r2 + · · · + zmm rm rm m m 基底画像 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 28
9. そこで ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている     どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める X =    z11 r1 r1 + z12 r1 r2 + · · · + zmm rm rm m m 基底画像 基底画像 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 28
10. そこで ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている     どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める X =    z11 r1 r1 + z12 r1 r2 + · · · + zmm rm rm m m 基底画像 基底画像 基底画像 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 28
11. そこで ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている     どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める X =    z11 r1 r1 + z12 r1 r2 + · · · + zmm rm rm m m 基底画像 基底画像 こんな「基底画像セット」なら， 最後の方の基底画像は ごまかせそうだ 基底画像 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 28
12. そこで ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている     どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める X =    z11 r1 r1 + z12 r1 r2 + · · · + zmm rm rm m m 基底画像 基底画像 基底画像 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 6 28
13. そこで ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている     どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める X =    z11 r1 r1 + z12 r1 r2 + · · · + zmm rm rm m m 基底画像 基底画像 基底画像 基底画像として 波を用いる フーリエ変換 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 6 28
14. JPEG方式による画像圧縮 画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らす ひとつのセルを， 8×8ピクセルずつのセルに分解 これらの波の重ね合わせで表す このひとつ ひとつが 基底画像 細かい部分は，どの画像でも大してかわら ないから，省略しても気づかない 省略すると，データ量が減る 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 28
15. 8 20
16. 2次元離散フーリエ変換を行列で🤔🤔 8 20
17. ２次元フーリエ変換 F (νx , νy ) =  ∞ f (x, y) exp{−i2π(νx x + νy y)}dxdy −∞ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 9 28
18. ２次元フーリエ変換 F (νx , νy ) =  ∞ f (x, y) exp{−i2π(νx x + νy y)}dxdy −∞ 指数関数の性質から F (νx , νy ) =  ∞ f (x, y) exp(−i2πνx x) exp(−i2πνy y)dxdy −∞   ∞  ∞ f (x, y) exp(−i2πνx x)dx exp(−i2πνy y)dy = −∞ −∞ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 9 28
19. ２次元フーリエ変換 F (νx , νy ) =  ∞ f (x, y) exp{−i2π(νx x + νy y)}dxdy −∞ 指数関数の性質から F (νx , νy ) =  ∞ f (x, y) exp(−i2πνx x) exp(−i2πνy y)dxdy −∞   ∞  ∞ f (x, y) exp(−i2πνx x)dx exp(−i2πνy y)dy = −∞ −∞ x方向のフーリエ変換 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 9 28
20. ２次元フーリエ変換 F (νx , νy ) =  ∞ f (x, y) exp{−i2π(νx x + νy y)}dxdy −∞ 指数関数の性質から F (νx , νy ) =  ∞ f (x, y) exp(−i2πνx x) exp(−i2πνy y)dxdy −∞   ∞  ∞ f (x, y) exp(−i2πνx x)dx exp(−i2πνy y)dy = −∞ −∞ x方向のフーリエ変換 y方向のフーリエ変換 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 9 28
21. ２次元フーリエ変換 F (νx , νy ) =  ∞ f (x, y) exp{−i2π(νx x + νy y)}dxdy −∞ 指数関数の性質から F (νx , νy ) =  ∞ f (x, y) exp(−i2πνx x) exp(−i2πνy y)dxdy −∞   ∞  ∞ f (x, y) exp(−i2πνx x)dx exp(−i2πνy y)dy = −∞ −∞ x方向のフーリエ変換 y方向のフーリエ変換 ２次元フーリエ変換は分離可能 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 9 28
22. ２次元離散フーリエ変換 １次元離散フーリエ変換 U (k) = N −1  n=0 k u(n) exp(−i2π n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) N 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 28
23. ２次元離散フーリエ変換 １次元離散フーリエ変換 U (k) = N −1  n=0 k u(n) exp(−i2π n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) N 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 28
24. ２次元離散フーリエ変換 １次元離散フーリエ変換 U (k) = N −1  n=0 k u(n) exp(−i2π n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) N 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 28
25. ２次元離散フーリエ変換 １次元離散フーリエ変換 U (k) = N −1  n=0 k u(n) exp(−i2π n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) N ２次元離散フーリエ変換（分離可能な形式）   N −1 M −1   k l U (k, l) = u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) M N n=0 m=0 縦横の大きさが同じなら   N −1 N −1   k l U (k, l) = u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N n=0 m=0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 28
26. ２次元離散フーリエ変換 １次元離散フーリエ変換 U (k) = N −1  n=0 k u(n) exp(−i2π n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) N ２次元離散フーリエ変換（分離可能な形式）   N −1 M −1   k l U (k, l) = u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) M N n=0 m=0 縦横の大きさが同じなら   N −1 N −1   k l U (k, l) = u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N n=0 m=0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 28
27. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
28. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
29. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
30. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
31. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
32. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
33. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
34. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
35. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
36. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
37. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
38. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
39. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
40. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
41. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
42. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
43. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
44. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
45. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
46. 離散フーリエ変換を行列で表す 行列の直交変換の形で表す U (k, l) =  N −1 N −1   n=0 m=0 Z = RXR   k l u(m, n) exp(−i2π m) exp(−i2π n) N N k→  l↓ l↓ n↓ m↓  R (Z = U (k, l)) = (R) · (X = u(m, n)) · k→ n→ m→ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 28
47. 離散フーリエ変換を行列で表す 前ページのように行列を配置すると m↓  R = l↓ R=           e 0 −i2π N 0 .. . ··· .. . e 0 −i2π N m e e k→ k −i2π N 0 ··· k −i2π N m .. . .. 0 −i2π N (N −1) e e 0 −i2π N 0  ..  .   −i2π l 0 N  e  ..  .  −1 −i2π NN 0 e e . e ··· .. . −1 −i2π NN 0 e n→ 0 −i2π N n e −i2π Nl n ··· .. −1 −i2π NN (N −1) e 0 −i2π N (N −1) . e −1 −i2π NN (N −1)                   2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 12 28
48. 離散フーリエ変換を行列で表す 指数関数がややこしいので i2π ) WN = exp(− N とおくと，      R=    WN0·0 .. . WNl·0 .. . (N −1)·0 WN ··· .. . WN0·n · · · WNln .. 0·(N −1) WN . (N −1)(N −1) WN          Z = RXR 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 28
49. ところで，本当にユニタリー？ 「ある列」と「ある列の複素共役」の内積 異なる列なら０，同じ列なら１ ならユニタリー N −1  l=0 ln WNln · (WN ) ∗ = = = N −1  l=0 N −1  l=0 N −1  i2πln i2πln ) exp( ) exp(− N N i{(n − n )2π}l ) exp(− N (n−n )l WN l=0 異なる列（等比数列の和） N −1  (n−n )l WN = l=0 = = 同じ列 (n−n )N 1 − WN (n−n ) 1 − WN  N (n−n ) 1 − WN (n−n ) 1 − WN  1 − 1(n−n ) (n−n ) 1 − WN N −1  l=0 (n−n )l WN = N −1  1=N l=0 =0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 28
50. ところで，本当にユニタリー？ 「ある列」と「ある列の複素共役」の内積 異なる列なら０，同じ列なら１ ならユニタリー N −1  l=0 ln WNln · (WN ) ∗ = = = N −1  l=0 N −1  l=0 N −1  i2πln i2πln ) exp( ) exp(− N N i{(n − n )2π}l ) exp(− N (n−n )l WN l=0 異なる列（等比数列の和） N −1  (n−n )l WN = l=0 = = 同じ列 (n−n )N 1 − WN (n−n ) 1 − WN  N (n−n ) 1 − WN (n−n ) 1 − WN  1 − 1(n−n ) (n−n ) 1 − WN =0 N −1  l=0 (n−n )l WN = N −1  1=N l=0 OK 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 28
51. ところで，本当にユニタリー？ 「ある列」と「ある列の複素共役」の内積 異なる列なら０，同じ列なら１ ならユニタリー N −1  l=0 ln WNln · (WN ) ∗ = = = N −1  l=0 N −1  l=0 N −1  i2πln i2πln ) exp( ) exp(− N N i{(n − n )2π}l ) exp(− N (n−n )l WN l=0 異なる列（等比数列の和） N −1  (n−n )l WN = l=0 = = 同じ列 (n−n )N 1 − WN (n−n ) 1 − WN  N (n−n ) 1 − WN (n−n ) 1 − WN  1 − 1(n−n ) (n−n ) 1 − WN =0 N −1  l=0 (n−n )l WN = N −1  1=N NG l=0 OK 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 28
52. ユニタリー離散フーリエ変換 いままでに説明した R だと ∗ RR = N I 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 15 28
53. ユニタリー離散フーリエ変換 いままでに説明した R だと ∗ RR = N I ユニタリーでない 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 15 28
54. ユニタリー離散フーリエ変換 いままでに説明した R だと ∗ RR = N I ユニタリーでない 1 i2π ) WN = √ exp(− N N ∗ RR = I とおけば Z = RXR となって，ユニタリーになる ∗ ∗ X = R ZR 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 15 28
55. ユニタリー離散フーリエ変換 いままでに説明した R だと ∗ RR = N I ユニタリーでない 1 i2π ) WN = √ exp(− N N ∗ RR = I とおけば Z = RXR となって，ユニタリーになる ∗ ∗ X = R ZR 離散フーリエ変換はユニタリー変換の一種である → 離散フーリエ変換も「座標の回転」の一種である 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 15 28
56. ユニタリー離散フーリエ変換 いままでに説明した R だと ∗ RR = N I ユニタリーでない 1 i2π ) WN = √ exp(− N N ∗ RR = I とおけば Z = RXR となって，ユニタリーになる ∗ ∗ X = R ZR 離散フーリエ変換はユニタリー変換の一種である → 離散フーリエ変換も「座標の回転」の一種である 「画素値の並び」から，「『波』を表す基底画像の組み合わせ」へ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 15 28
57. 16 20
58. 離散コサイン変換🤔🤔 16 20
59. 離散コサイン変換 フーリエ変換では，複素数を扱う必要がある そこで，実数だけで計算できる変換 l↓ R = r(n, l) =      JPEG方式もこれを用いている n→ ..  . r(n, l) √1 N (2n+1)lπ √2 cos 2N N .. .  ,  l=0 l = 0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 28
60. 離散コサイン変換とフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ f(x) = f(−x) ）のフーリエ変換は，実数の計算になる F (νx ) = =  ∞ −∞  0 f (x) exp{−i2π(νx x)}dx f (x) exp{−i2π(νx x)}dx + −∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 第１項の x を −x に変数変換 F (νx ) =  0 f (−x) exp{−i2π(νx (−x))}(−dx) + ∞ ∞ ∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 28
61. 離散コサイン変換とフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ f(x) = f(−x) ）のフーリエ変換は，実数の計算になる F (νx ) = =  ∞ −∞  0 f (x) exp{−i2π(νx x)}dx f (x) exp{−i2π(νx x)}dx + −∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 第１項の x を −x に変数変換 F (νx ) =  0 f (−x) exp{−i2π(νx (−x))}(−dx) + ∞ ∞ ∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 28
62. 離散コサイン変換とフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ f(x) = f(−x) ）のフーリエ変換は，実数の計算になる F (νx ) = =  ∞ −∞  0 f (x) exp{−i2π(νx x)}dx f (x) exp{−i2π(νx x)}dx + −∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 第１項の x を −x に変数変換 F (νx ) =  0 f (−x) exp{−i2π(νx (−x))}(−dx) + ∞ ∞ ∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 28
63. 離散コサイン変換とフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ f(x) = f(−x) ）のフーリエ変換は，実数の計算になる F (νx ) = =  ∞ −∞  0 f (x) exp{−i2π(νx x)}dx f (x) exp{−i2π(νx x)}dx + −∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 第１項の x を −x に変数変換 F (νx ) =  0 f (−x) exp{−i2π(νx (−x))}(−dx) + ∞ ∞ ∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 28
64. 離散コサイン変換とフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ f(x) = f(−x) ）のフーリエ変換は，実数の計算になる F (νx ) = =  ∞ −∞  0 f (x) exp{−i2π(νx x)}dx f (x) exp{−i2π(νx x)}dx + −∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 第１項の x を −x に変数変換 F (νx ) =  0 f (−x) exp{−i2π(νx (−x))}(−dx) + ∞ ∞ ∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 28
65. 離散コサイン変換とフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ f(x) = f(−x) ）のフーリエ変換は，実数の計算になる F (νx ) = =  ∞ −∞  0 f (x) exp{−i2π(νx x)}dx f (x) exp{−i2π(νx x)}dx + −∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 第１項の x を −x に変数変換 i2π(vx x) F (νx ) =  0 f (−x) exp{−i2π(νx (−x))}(−dx) + ∞ ∞ ∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 28
66. 離散コサイン変換とフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ f(x) = f(−x) ）のフーリエ変換は，実数の計算になる F (νx ) = =  ∞ −∞  0 f (x) exp{−i2π(νx x)}dx f (x) exp{−i2π(νx x)}dx + −∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 第１項の x を −x に変数変換 i2π(vx x) F (νx ) =  0 f (−x) exp{−i2π(νx (−x))}(−dx) + ∞ ∞ f(x) ∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 28
67. 離散コサイン変換とフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ f(x) = f(−x) ）のフーリエ変換は，実数の計算になる F (νx ) = =  ∞ −∞  0 f (x) exp{−i2π(νx x)}dx f (x) exp{−i2π(νx x)}dx + −∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 第１項の x を −x に変数変換 i2π(vx x) F (νx ) =  0 f (−x) exp{−i2π(νx (−x))}(−dx) + ∞ ∞ f(x) ∞ ∫0 ∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 … dx 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 28
68. 偶関数のフーリエ変換 つまり F (νx ) =  ∞ 0 ∞ f (x) exp{i2π(νx x)}dx +  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 28
69. 偶関数のフーリエ変換 つまり F (νx ) =  ∞ f (x) exp{i2π(νx x)}dx +  ∞ f (x) [exp{i2π(νx x)} + exp{−i2π(νx x)}] dx 0 F (νx ) = ∞  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 28
70. 偶関数のフーリエ変換 つまり F (νx ) =  ∞ f (x) exp{i2π(νx x)}dx +  ∞ f (x) [exp{i2π(νx x)} + exp{−i2π(νx x)}] dx 0 F (νx ) =  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 ∞ 0 指数関数と三角関数の関係から 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 28
71. 偶関数のフーリエ変換 つまり F (νx ) =  ∞ f (x) exp{i2π(νx x)}dx +  ∞ f (x) [exp{i2π(νx x)} + exp{−i2π(νx x)}] dx 0 F (νx ) =  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 ∞ 0 指数関数と三角関数の関係から F (νx ) = 2  ∞ f (x) cos 2π(νx x)dx 0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 28
72. 偶関数のフーリエ変換 つまり F (νx ) =  ∞ f (x) exp{i2π(νx x)}dx +  ∞ f (x) [exp{i2π(νx x)} + exp{−i2π(νx x)}] dx 0 F (νx ) =  ∞ f (x) exp{−i2π(νx x)}dx 0 ∞ 0 指数関数と三角関数の関係から F (νx ) = 2  ∞ f (x) cos 2π(νx x)dx 実数の計算になる 0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 28
73. 離散コサイン変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 1次元の場合 u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 20 28
74. 離散コサイン変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 1次元の場合 折り返す u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 20 28
75. 離散コサイン変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 1次元の場合 折り返す u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 2N 要素の数列 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 20 28
76. 離散コサイン変換 N 要素の離散コサイン変換は U (k) =  N −1 1 √ u(n) n=0 N (2n+1)kπ √2 u(n) cos 2N N k=0 k = 0 k ≠ 0 の場合を考えると U (k) = = = N −1  2 (2n + 1)kπ √ u(n) cos 2N N n=0 N −1  cos を指数関数で表す N −1  1 1 i(2n + 1)kπ −i(2n + 1)kπ √ +√ u(n) exp u(n) exp 2N 2N N n=0 N n=0 N −1  N −1  1 1 −i((−n) − 1/2)kπ −i(n + 1/2)kπ √ +√ u(n) exp u(n) exp 2N 2N N n=0 N n=0 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 28
77. 離散コサイン変換 U (k) = N −1  N −1  1 1 −i((−n) − 1/2)kπ −i(n + 1/2)kπ √ +√ u(n) exp u(n) exp 2N 2N N n=0 N n=0 これは，折り返した数列に対して u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 28
78. 離散コサイン変換 U (k) = N −1  N −1  1 1 −i((−n) − 1/2)kπ −i(n + 1/2)kπ √ +√ u(n) exp u(n) exp 2N 2N N n=0 N n=0 これは，折り返した数列に対して u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) （0 番） 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 28
79. 離散コサイン変換 U (k) = N −1  N −1  1 1 −i((−n) − 1/2)kπ −i(n + 1/2)kπ √ +√ u(n) exp u(n) exp 2N 2N N n=0 N n=0 これは，折り返した数列に対して u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 1 番 2 （0 番） 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 28
80. 離散コサイン変換 U (k) = N −1  N −1  1 1 −i((−n) − 1/2)kπ −i(n + 1/2)kπ √ +√ u(n) exp u(n) exp 2N 2N N n=0 N n=0 これは，折り返した数列に対して u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 1 番 2 3 番 2 （0 番） 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 28
81. 離散コサイン変換 U (k) = N −1  N −1  1 1 −i((−n) − 1/2)kπ −i(n + 1/2)kπ √ +√ u(n) exp u(n) exp 2N 2N N n=0 N n=0 これは，折り返した数列に対して u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 1 番 2 3 番 … 2 （0 番） 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 28
82. 離散コサイン変換 U (k) = N −1  N −1  1 1 −i((−n) − 1/2)kπ −i(n + 1/2)kπ √ +√ u(n) exp u(n) exp 2N 2N N n=0 N n=0 これは，折り返した数列に対して u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 1 − 番 2 1 番 2 3 番 … 2 （0 番） 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 28
83. 離散コサイン変換 U (k) = N −1  N −1  1 1 −i((−n) − 1/2)kπ −i(n + 1/2)kπ √ +√ u(n) exp u(n) exp 2N 2N N n=0 N n=0 これは，折り返した数列に対して u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 3 1 − 番− 番 2 2 1 番 2 3 番 … 2 （0 番） 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 28
84. 離散コサイン変換 U (k) = N −1  N −1  1 1 −i((−n) − 1/2)kπ −i(n + 1/2)kπ √ +√ u(n) exp u(n) exp 2N 2N N n=0 N n=0 これは，折り返した数列に対して u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 3 1 … − 番− 番 2 2 1 番 2 3 番 … 2 （0 番） 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 28
85. 離散コサイン変換 U (k) = N −1  N −1  1 1 −i((−n) − 1/2)kπ −i(n + 1/2)kπ √ +√ u(n) exp u(n) exp 2N 2N N n=0 N n=0 これは，折り返した数列に対して u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 3 1 … − 番− 番 2 2 1 番 2 （0 番） 3 番 … 2 と番号をつけ直して フーリエ変換をしたのと同じ 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 28
86. 離散コサイン変換 U (k) = N −1  N −1  1 1 −i((−n) − 1/2)kπ −i(n + 1/2)kπ √ +√ u(n) exp u(n) exp 2N 2N N n=0 N n=0 これは，折り返した数列に対して u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 3 1 … − 番− 番 2 2 1 番 2 （0 番） 3 番 … 2 と番号をつけ直して フーリエ変換をしたのと同じ 2N項のフーリエ変換をしていることになるので， k = 0 が周波数0，k = 1,…, N − 1 の順に周波数が高くなる 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 28
87. 離散フーリエ変換と正負の周波数 ［周波数空間］ ［数列のフーリエ変換］ １次元の離散フーリエ変換では こういう折り返し ν １周期 N等分 ［離散フーリエ変換］ k 周波数0 U(0) 負の周波数 U(N – 1), U(N – 2), ..., U(N / 2) 正の周波数 U(1), U(2), ..., U(N / 2 – 1) 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 23 28
88. 離散フーリエ変換と正負の周波数 2次元の離散フーリエ変換でもこういう折り返しがあったが， 離散コサイン変換では折り返しはない k k N/2 B 入れ替える N/2 l C N–1 D 正の周波数 N–1 0 N/2 N–1 負の周波数 A 負の周波数 負の周波数 正の周波数 0 0 負の周波数 l 正の周波数 正の周波数 N/2–1 N/2 D C B A N–1 0 N/2–1 (a) (b) 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 24 28
89. 25 20
90. 実例📺📺 25 20
91. 基底画像の例 コサイン変換 サイン変換 A. K. Jain, Fundamentals of B. Digital Image Processing (1988) Hadamard変換(-1と1） Haar変換 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 26 28
92. 画像情報圧縮の例 データ量：80KB データ量：16KB （８×８ピクセルのセルが見える） 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 28
93. リンギング（モスキートノイズ） ※粗い波だけを重ねて エッジ（明暗の境界線）を 表すと生じる 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 28 28
94. リンギング（モスキートノイズ） ※粗い波だけを重ねて エッジ（明暗の境界線）を 表すと生じる 2026年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 28 28