A summary of the paper: Brodersen KH, Gallusser F, Koehler J, Remy N, Scott SL. Inferring causal impact using Bayesian structural time-series models. Ann Appl Stat 2015;9. https://doi.org/10.1214/14-AOAS788.
DID (traditional DID) Difference In Difference (DID) Causal Impact (CI) post-intervention pre-intervention post-intervention pre-intervention Causal Effect at any given time point Counterfactual time series Observed time series Treatment group Control group • Parallel trends assumption • Synthetic control (Abadie et al., 2010) 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑇𝑟𝑒𝑎𝑡𝑖 + 𝛽2 𝑃𝑜𝑠𝑡𝑖 + 𝜷𝟑 𝑇𝑟𝑒𝑎𝑡𝑖 × 𝑃𝑜𝑠𝑡𝑖 + 𝛽4 𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑒𝑠𝑖 + 𝑒𝑖 実際には,DID の中でも,特に Synthetic Control に inspire されているといって良さそう 論文中で使用される "control" という word は,普通の統制群の意味ではなく,この synthetic control の control の意に近いと思う
に inspire されているといっても 良さそう ◼ A/B test 等の場合と異なり非介入群が存在しない場合,介入をうけていない reference data から「任意の時系列の 加重平均で求まる,介入群と似た性質をもつ時系列」を生成して比較に使用する手法 => Causal Impact と目的は同 じで,統制群がなくても impact を推定したい時に使う ◼ 例えば,Abadie and Gardeazabal, 2003 はスペインの Basque 州において発生したテロが経済に与えた影響を, synthetic control で推定した.その際に,2 つの別のスペインの地域の経済の時系列を組み合わせて,統制群を作 成した.他にも US の California における禁煙キャンペーンの影響を synthetic control で推定した例もある (Abadie et al., 2010) ◼ 擬似統制群の構築に使用可能な情報 1. 介入前の目的変数そのもの(トレンド・季節性など) 2. 他の時系列 - 介入の影響が無い - 介入前の目的変数に対する予測力がある 3. 事前分布に使用可能な知識(過去の研究結果など) これらは,Causal Impact でも同様に使用可能 Using units from the rest of the U.S. to make a synthetic control. A synthetic control matches to the interved time-seriese. Abadie et al., 2010 (Abadie et al., 2010; Abadie and Gardeazabal, 2003)
i.i.d. であることを前提とした静的な回帰モデルを 使用するため,推定した係数の標準誤差の過小評価に伴う Type I error が大 きい ◼ 大部分の DID は,介入前後の二時点のみの比較であり,介入効果がその後ど うなっていくかを分析しない(できない) ◼ DID の枠組み内で,統制群が存在しない場合に使用可能な "Synthetic Control" は,統制群の構成の仕方に数理的な制約がある.詳しくは以下参照. (Abadie et al., 2010; Abadie and Gardeazabal, 2003)
data arg? yes no ConstructModel Main components of "CausalImpact" package impact_model.R in "CausalImpact" CompilePosteriorInferences impact_inferece.R in "CausalImpact" Boom::SdPrior bsts::AddLocalLevel bsts::AddSeasonal bsts::bsts bsts::AddDynamicRegression Dynamic regression? yes no ※ The details of this flow are not shown here. ComputeResponseTrajectories GetPosteriorStateSamples ComputePointPredictions ComputeCumulativePredictions "bsts" functions
著,朝倉書店,2010 4. George et al., 1997. Approaches for Bayesian variable selection. Statist.Sinica, 7, 339–374. 5. Durbin et al., 2002. A simple and efficient simulation smoother for state space time series analysis. Biometrika. 89:603–16. 6. Abadie et al., 2010. Synthetic control methods for comparative case studies: Estimating the effect of California’s tobacco control program. J. Amer. Statist. Assoc. 105 493–505. 7. Scott et al., 2014. Predicting the present with Bayesian structural time series. International Journal of Mathematical Modeling and Optimization 5 4–23. 8. Nakajima J, West M. Bayesian Analysis of Latent Threshold Dynamic Models. Journal of Business & Economic Statistics 2013;31:151–64. https://doi.org/10.1080/07350015.2012.747847. 9. Vaver J, Koehler J. Periodic Measurement of Advertising Effectiveness Using Multiple-Test-Period Geo Experiments. Google Inc.; 2012. References