Julia言語と高校数学 5日間の夏期講習会のレポート

清水 団（しみず だん）は、城北中学校・高等学校の数学科教諭・校長。
2018年頃より Julia 言語に出会い、「数学を理解するための道具」としてプログラミングを教育現場に取り入れてきた。

本セッションでは、Google Colab が Julia に正式対応したことを契機に実現した、高校数学 × Julia × クラウド環境による新しい授業実践を紹介する。
関数の可視化、最適化、統計処理、確率シミュレーションなどを題材に、紙と鉛筆中心の従来型数学授業が、どのように「探究的で自由な学び」へと変化したのかを、具体的な授業事例とともに解説する。

プログラミングは単なるスキルではなく、数学的思考を拡張するための思考の補助輪である――。
Julia 言語を用いた実践を通して、これからの数学教育の可能性と、教育現場における Julia の役割を考える。

Transcript

1. Julia 言語と高校数学 5 日間の夏期講習会のレポート 城北中学校・高等学校　清水団 2025 年12 月13 日 JuliaLang Japan 2025 1
2. 自己紹介 清水団（しみず だん） 城北中学校・高等学校（東京都板橋区） 数学科教諭・校長 経歴・活動 城北中学校・高等学校に勤務 Julia 言語との出会い：2018 年頃〜 コーディングを用いた数学学習支援に関 心があります Mac ，Julia ，Typst などを好んで使ってま す 2
3. Julia 言語との関わり これまでの発信活動 発表など Julia Tokai #22 （2025/6/22 ） Julia 言語と高校数学 https://colab.research.google.com/github/shimizudan/20250622julia- tokai/blob/main/20250622.ipynb?hl=ja Julia Tokai #21 （2025/3/21 ） 大学入試とJulia 言語 https://shimizudan.github.io/20250327tokyo-u/327001.html#/title-slide Julia tokyo #12 （2024/8/31 ） 高校数学とJulia https://shimizudan.github.io/20240831juliatokyo/ オンラインでの発信・ブログなど Zenn https://zenn.dev/dannchu X https://x.com/dannchu 3
4. なぜJulia 言語なのか 1. 数学的記法の親和性 # 数学の式をほぼそのまま書ける f(x) = 2x + 3 g(x) = f(sin(x))/2π 2. 高速な数値計算 複雑な計算も瞬時に実行 グラフ描画もシンプルで高速 3. 豊富な数学ライブラリ 統計、最適化、線形代数など便利です。 組み合わせ・素数パッケージなどもよく利用します。 4
5. 転機：Google Colab 対応（2025 年3 月） 2025 年3 月6 日 Google Colab がJulia 言語に正式対応！ これにより実現できたこと 環境構築不要 PC にJulia をインストール不要 ブラウザだけで実行可能 デバイスを選ばない PC だけでなくiPad でも利用可能 生徒が自宅でも継続学習可能 Google Classroom との連携 課題の配布・回収がスムーズ 生徒の進捗管理が容易 5
6. 本校の教育環境 Google Workspace for Education 導入済み インフラ整備状況 教職員・生徒全員にGoogle アカウント付与 Google Classroom を日常的に活用 生徒はGoogle Workspace に習熟 生成AI の活用 校内で生成AI 利用ガイドラインを策定 Gemini 等の積極的活用を推進 プログラミング学習でもAI 活用を推奨 Google Colab + Classroom + Gemini + 今回はJulia 言語 6
10. 今回の夏期講習会の目的・ねらい 主な教育目標 1. 数学概念の深い理解 計算だけでなく視覚化で理解を促進 抽象的な概念を具体的に体験 2. プログラミング的思考の習得 問題解決のプロセスを体験 試行錯誤を通じた学び 3. データリテラシーの向上 データを読み取り分析する力 統計的思考の基礎 4. 自律的学習態度の育成 自分で調べ、試し、修正するサイクル AI(Gemini) を活用した問題解決 10
11. 講習の実施概要 参加生徒数：約80 名 中学3 年生・高校1 年生 実施期間 2025 年8 月24 日（日）〜 8 月28 日（木）の5 日間 実施形式 会場：講堂 時間：午前中50 分×2 コマ制（A 帯・B 帯） 形式：ハンズオン形式 デバイス：生徒各自のPC/ タブレット（キーボード推奨） 使用ツール Google Colab （Julia ）+ Google Classroom 11
12. 従来の数学教育との対比 観点 従来の数学教育 Julia× プログラミング教育 アプローチ 計算中心 - 公式の暗記と適用 - 紙と鉛筆での手計算 - 計算ミスの多さ 視覚化中心 - 概念の理解を重視 - コンピュータで高速計算 - 本質的な思考に集中 理解の仕方 抽象的 - グラフは教科書の図のみ - データは少数の例題だけ - 理論先行型 具体的 - 自由にグラフを描画 - 大量のデータで実験 - 実験→理論の帰納的学習 学習スタイル 受動的 - 教師の説明を聞く - 問題を解く - 解答を確認 能動的 - 自分でコードを書く - 試行錯誤して発見 - AI(Gemini) を活用 12
13. 5 日間のカリキュラム構成 実施形式 各日、解説PDF （スライド）とコンテンツ（.ipynb ファイル）をGoogle クラスルームに配置 簡単な解説の後、生徒はワーク（演習）に取り組む Google Colab 上でJulia を使って実習 5 日間のテーマ Day 1 ：Google Colab の紹介とJulia 言語で計算してみよう Day 2 ：関数を定義してグラフを描こう Day 3 ：関数の最大・最小を求めよう Day 4 ：データの可視化と統計処理 Day 5 ：確率とシミュレーション 13
14. Day 1 の詳細：Google Colab の紹介とJulia 言語で計算してみよう 学習内容 Google Colab 環境の設定（Julia ランタイム選択） 基本的な四則演算 数学定数（π 、ℯ ）と数学関数 変数を使った計算 Julia 特有の数学的記法（ 2π 、 2sqrt(3) など） 演習問題 展開と計算の検証 三角関数の値の計算 手計算とJulia での計算結果の比較 14
15. Day 1 の詳細：従来との対比 従来の数学の授業での展開計算 問題： を計算せよ 従来のアプローチ 1. 分配法則を適用して展開 2. 同類項をまとめる 3. 計算ミスがないか何度も確認 生徒の困難点 計算ミスが多い の扱いが難しい 答えが合っているか不安 15
17. Day 1 の詳細：Julia での実践 Julia でのアプローチ # 左辺をそのまま計算 left = (2sqrt(3) + 5) * (sqrt(3) - 1) # 展開した右辺を計算 right = 1 + 3sqrt(3) # 等しいか確認 left ≈ right # → true 生徒の学び 計算結果の即座の検証 数学的記法の自然な表現 計算過程への注目（答え合わせツールではな い） 重要なポイント Julia は「カンニングツール」ではなく「理解を 深めるツール」 まず手計算→Julia で検証→間違いがあれば考え 直す 17
18. Day 2 ：関数を定義してグラフを描こう 学習内容 Julia 言語での関数定義（ f(x) = 2x + 1 ） Plots.jl パッケージの利用 1 次関数、2 次関数、三角関数のグラフ描画 複数のグラフを重ねて比較 グラフの見た目のカスタマイズ 演習問題 2 次関数の頂点を視覚的に確認 三角関数の周期を観察 自分で面白い関数を作ってグラフ化 18
19. Day 2 の詳細：従来との対比 従来の数学の授業でのグラフ描画 2 次関数のグラフを描く場合 1. 頂点の座標を計算 2. いくつかの点を計算して表を作成 3. 方眼紙に点をプロット 4. なめらかな曲線で結ぶ 生徒の困難点 時間がかかる（1 つのグラフで10 分以上） 描画ミスで形が歪む 複数のグラフを比較するのが困難 パラメータを変えて実験できない 19
20. Day 2 の詳細：Julia での実践 Julia でのアプローチ # 関数定義 f(x) = x^2 - 4x + 3 # グラフ描画（一瞬で完成） plot(f, xlim=(-1, 5), label="f(x) = x² - 4x + 3") # 複数のグラフを重ねる g(x) = -x^2 + 4x + 1 plot!(g, label="g(x) = -x² + 4x + 1") 生徒の学び パラメータを変えて瞬時に結果を確認 グラフの形の変化のパターンを発見 複数の関数を簡単に比較 重要なポイント 10 分 → 数秒でグラフ完成 1 つ → 何十個でも比較可能 手作業の苦労 → 数学的思考に集中 20
23. Day 3 ：関数の最大・最小を求めよう 学習内容 グラフによる最大・最小の視覚的理解 数値的探索による最適解の発見 制約条件付き最適化 三角関数の最適化 理論的解法との比較 演習問題 2 次関数の最小値を数値的に求める 3 次関数の区間内での最大・最小 応用問題：複雑な関数の最適化 23
24. Day 3 の詳細：従来との対比 従来の数学の授業での最適化 問題： の最大値を求めよ 従来のアプローチ 1. 平方完成： 2. よって最大値は のとき 生徒の困難点 平方完成のテクニックが難しい 3 次関数以上では高校範囲では解けない 理論だけで直感的理解が難しい 24
25. Day 3 の詳細：Julia での実践 Julia でのアプローチ # 関数定義とグラフ描画 f(x) = -x^2 + 4x + 1 plot(f, lw=3, label="f(x)") # 数値的に最大値を探索 X = -10:0.01:10 Y = f.(X) y_max = maximum(Y) x_max = X[argmax(Y)] println("x = $x_max のとき最大値 $y_max") # 最大値の点をグラフに追加 scatter!([x_max], [y_max], ms=8, color=:red,label="最大値") 生徒の学び グラフで視覚的に理解→数値で検証 複雑な関数でも同じ手法で解ける 理論解と数値解の比較 25
26. Day 3 の詳細：新しいアプローチの価値 従来は解けなかった問題にも挑戦可能 例：複雑な関数の最適化 従来の高校数学 微分を使っても計算が複雑 Julia でのアプローチ h(x) = 2sin(x) + cos(2x) plot(h, 0:0.01:2π) # グラフで全体像を把握 # 数値探索 X = 0:0.001:2π x_max = X[argmax(h.(X))] 高度な問題にも同じ手法で対応可能 視覚的理解と数値計算の組み合わせ 26
30. Day 4 ：データの可視化と統計処理 学習内容 基本統計量（平均、中央値、標準偏差）の計算 ヒストグラムによるデータ分布の可視化 散布図と相関分析 回帰直線の導出 箱ひげ図による複数グループの比較 演習問題 テスト成績データの統計分析 学習時間と成績の相関分析 2 つのクラスの成績比較 30
31. Day 4 の詳細：従来との対比 従来の数学の授業でのデータ分析 問題：15 人のテスト結果の平均と標準偏差を求めよ 従来のアプローチ 1. 電卓で15 個の数値を足し算 2. 15 で割って平均を計算 3. 偏差を計算して二乗 4. 分散、標準偏差を計算 生徒の困難点 計算ミスが頻発 時間がかかる（10 分以上） データの「感覚」が掴めない グラフ化は実質不可能 31
32. Day 4 の詳細：Julia での実践 Julia でのアプローチ # テスト結果 test_scores = [85, 92, 78, 88, 95, 82, 90, 87, 83, 91, 76, 89, 94, 80, 86] # 統計量を一括計算 println("平均値：", mean(test_scores)) println("中央値：", median(test_scores)) println("標準偏差：", std(test_scores)) # ヒストグラムで分布を可視化 histogram(test_scores, bins=5, title="点数分布", alpha=0.7) vline!([mean(test_scores)], lw=3, color=:red, label="平均値") 生徒の学び データ全体の分布を視覚的に把握 統計量の意味を直感的に理解 大量のデータでも瞬時に処理 32
35. Day 4 の詳細：相関分析 従来は扱えなかった高度な分析 学習時間と成績の関係を分析 # データ study_hours = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] exam_scores = [45, 55, 60, 68, 75, 80, 85, 88, 92, 95] # 相関係数 correlation = cor(study_hours, exam_scores) println("相関係数：", correlation) # → 0.99... # 散布図と回帰直線 scatter(study_hours, exam_scores, label="データ") # 回帰直線を追加... 生徒の発見 データから関係性を見出す力 相関と因果の違いを考える 予測モデルの基礎を体験 35
38. Day 5 ：確率とシミュレーション 学習内容 コイン投げシミュレーションと大数の法則 サイコロの確率分布 誕生日のパラドックス モンテカルロ法による円周率の計算 確率論と実験の関係 演習問題 ジャンケンの確率シミュレーション 3 つのサイコロの最大値の確率 モンティ・ホール問題 ランダムウォーク 38
39. Day 5 の詳細：従来との対比 従来の数学の授業での確率 問題：コインを100 回投げたとき、表が出る確率は？ 従来のアプローチ 理論：確率は である 実験：実際に100 回投げて確かめる（時間がかかる） 問題：試行回数が限られる 生徒の理解 「理論上は だけど、本当？」 大数の法則を体験できない 複雑な確率問題は実験不可能 39
40. Day 5 の詳細：Julia での実践 シミュレーションで大数の法則を体験 # コイン投げシミュレーション function simulate_coin_flips(n) heads_count = sum([rand() < 0.5 for _ in 1:n]) return heads_count / n end # 様々な試行回数で実験 for n in [10, 100, 1000, 10000, 100000] prob = simulate_coin_flips(n) println("$(n)回: 確率 = $(round(prob, digits=4))") end # 結果例 # 10回: 確率 = 0.4000 # 100回: 確率 = 0.4900 # 1000回: 確率 = 0.5010 # 10000回: 確率 = 0.4998 # 100000回: 確率 = 0.5001 試行回数が増えると理論値に収束する様子を体験！ 40
42. Day 5 の詳細：誕生日のパラドックス 直感に反する確率現象を実験で確かめる 問題：30 人のクラスで、同じ誕生日の人が2 人以上いる確率は？ 生徒の直感 「365 日あるから、確率は低そう... 」 「10% くらい？」 理論計算 複雑な計算が必要 高校数学の範囲でギリギリ 42
43. Julia でのシミュレーション function has_birthday_collision(n_people) birthdays = rand(1:365, n_people) return length(unique(birthdays)) < n_people end # 10000回試行 n_trials = 10000 prob = sum([has_birthday_collision(30) for _ in 1:n_trials]) / n_trials println("30人で同じ誕生日: $(prob*100)%") # → 約70%！ 43
45. Day 5 の詳細：モンテカルロ法 高度な数学的手法を体験 問題：ランダムな点を使って円周率π を求める アイデア 1. 正方形内にランダムに点を打つ 2. 円の内側に入る点の割合を数える 3. π ≈ 4 × ( 円内の点数) / ( 全体の点数) 45
46. function estimate_pi(n_points) inside_circle = 0 for _ in 1:n_points x, y = rand() * 2 - 1, rand() * 2 - 1 if x^2 + y^2 <= 1 inside_circle += 1 end end return 4 * inside_circle / n_points end estimate_pi(1000000) # → 3.1415... 大学レベルの数値計算手法を高校生が体験！ 46
48. まとめ コードで広がる数学の可能性 プログラミングを活用することで、数学学習のアプローチが大きく拡張されます 従来の数学教育 紙と鉛筆での計算が中心 限られた例題・問題のみ扱える 理論先行で抽象的になりがち Julia 言語を使った数学学習 視覚化と実験で概念を具体的に理解 大量のデータや複雑な問題にも挑戦可能 試行錯誤を通じて自分で発見する学び 48
49. 数学が「自由」になる プログラミングがもたらす学びの変化 数学は暗記科目ではなく、探究する学問へ 自由に実験できる：パラメータを変えて何度でも試せる 自由に可視化できる：グラフや図で直感的に理解できる 自由に挑戦できる：高度な問題にも同じ手法で取り組める 自由に創造できる：自分のアイデアをコードで表現できる 生徒たちは「数学＝計算の正確さ」から解放され、数学的思考そのものを楽しむようになります。 49
50. 今回のコースウェア すべての教材をオープンに公開 今回の5 日間の夏期講習で使用した教材は、以下のサイトにまとめてあります。 Julia 言語と高校数学　夏期講習コース https://shimizudan.github.io/julia-summer-course/ すべてのスライド（PDF ） Jupyter Notebook 形式の演習ファイル（.ipynb ） Google Colab で直接開いて実行可能 どなたでも自由にご利用いただけます。 50
51. 今後の展望 Julia × 教育の可能性 Google Colab 対応により実現したこと 環境構築不要で誰でもすぐに始められる デバイスを選ばず学習できる Google Classroom との連携で授業運営がスムーズ これからの数学教育 プログラミングは「ツール」ではなく「思考の拡張」 データサイエンス、AI 時代に必要な力を育成 生徒が主体的に探究する学びへ Julia 言語は、数学教育の未来を切り拓く強力なパートナーです 51