高校数学B「統計的な推測」 分野の問題と課題

高校数学B「統計的な推測」分野における指導上の課題について整理した発表資料です。

仮説検定における表現の問題、二項分布の正規近似の扱い、信頼区間（Wald／Wilson）の選択などを取り上げ、教科書記述や評価の在り方について統計学的観点から検討します。

統計学習会（2026年1月17日）での発表資料。

Transcript

1. 高校数学B「統計的な推測」 分野の問題と課題 清水団（Dan Shimizu） 城北中学校・高等学校　数学科・校長 2026年1月17日 統計学習会 1
2. 本日の内容 1. 仮説検定における表現の問題 2. 二項分布の正規近似における計算方法の曖昧さ 3. 信頼区間の推定方法の選択 2
3. 問題1: 仮説検定の表現 現状の問題点 「検定を行った後に判断できる」という表現 教科書では検定結果から直接的な判断を下す流れ 3
4. ASA（アメリカ統計学会）の指摘 p値だけで判断するのは不適切 p値は効果の大きさや重要性を測定しない p値だけでは科学的結論や政策決定はできない 「統計的に有意」≠「科学的に重要」 4
5. Greenlandらの提案 p値は「悪者」ではない p値そのものが問題なのではなく、使い方が問題 総合的な判断をする際の一つの指標として活用 Compatibility（相性）という概念 データと仮説の「相性の良さ」を見る指標 「判断できる」→「相性が良い/悪い」という表現へ 参考: Greenland (2022)「統計学改革の推進」 5
6. 関連事項：期待値による判断の問題 仮説検定と同様の構図 よくある問題： 「参加料と期待値を比較して、ゲームに参加するのは得か損か？」 実際には期待値だけで判断していない（例：宝くじ） 改善案：単に「得か損か」ではなく、 「期待値で比較したらどうなるか」と明示 → 判断基準を明確にすることが重要 6
7. 問題2: 二項分布の正規近似 3つの計算方法が存在 1. 二項分布のまま計算（正確だが計算量大） 2. 正規近似（連続性補正なし） （教科書標準） 3. 正規近似（連続性補正あり） （より正確） → 方法により答えが異なる 具体例（数研出版「数学B」の教科書より） 硬貨を 回投げるとき、表の出る相対度数を とする。 、すなわち、 を求めよ。 n = 100 R P(∣R − 1/2∣ ≦ 0.05) P(45 ≦ X ≦ 55) 7
8. Juliaで計算してみる using Distributions n, p = 100, 0.5 X = Binomial(n, p) μ, σ = n*p, √(n*p*(1-p)) Y = Normal(μ, σ) # 1) 二項で厳密 prob_exact = sum(pdf(X, x) for x in 45:55) # 2) 正規近似（連続性補正なし） prob_normal = cdf(Y, 55) - cdf(Y, 45) # 3) 正規近似（連続性補正あり） prob_cc = cdf(Y, 55.5) - cdf(Y, 44.5) prob_exact, prob_normal, prob_cc 8
9. 計算結果の比較 方法 確率 差 二項分布（正確） 0.728747 - 正規近似（補正なし） 0.682689 -0.046058（約6.3%小さい） 正規近似（補正あり） 0.728668 -0.000079（ほぼ一致） 重要な知見 連続性補正なしの正規近似は約6.3%の誤差（0.046の差） 教科書標準の方法では正確な値と大きく異なる 連続性補正ありは二項分布とほぼ完全に一致 離散値（45≤X≤55）を連続値で近似する際の境界処理が重要 どの方法を使うか明示しないと、答えが定まらない 9
10. 二項分布正規近似の問題点と改善案 現状：手計算を前提とした教科書 暗黙の了解で「正規近似・補正なし」を使用 Excel等の表計算ソフトやプログラミングを用いれば、どの方法でも計算可能な時代 他の方法で解いた場合の評価が不明確 改善案 使用する方法を問題文で明示すべき 「正規近似を用いて」 「連続性補正は行わない」等 試行回数（n）が適切かどうかも考慮 二項分布で計算した解答も正答として認める （値が極端に異なる場合は問題が不適切） 10
11. 問題3: 信頼区間の推定方法 Wald信頼区間（現行教科書） ​ ± p ^ z ​ ​ α/2 ​ n ​ (1 − ​ ) p ^ p ^ 計算が比較的簡単だが、統計的な精度に課題 Wilson信頼区間（より適切） ​ 1 + ​ n z2 ​ + ​ ± z ​ p ^ 2n z2 ​ + ​ n ​ (1− ​ ) p ^ p ^ 4n2 z2 二次不等式の処理が必要（高校生でも解けるが． ． ． ） 11
12. 具体例：WaldとWilsonの信頼区間を比較 問題（数研出版「数学B」の教科書より） ある県の高校3年生から無作為に400人を選び、むし歯がある生徒を数えたところ200人 であった。この県の高校3年生のむし歯の保有率 に対する信頼度95%の信頼区間を求め よ。 パラメータ （標本サイズ） （むし歯のある生徒数） （標本比率） 信頼度95%（ ） p n = 400 x = 200 ​ = p ^ 0.5 z = 1.96 12
13. Juliaで両方の信頼区間を計算 using Distributions n, x = 400, 200 p̂ = x / n # 0.5 z = quantile(Normal(0, 1), 0.975) # 1.96 # Wald信頼区間 wald_se = √(p̂ * (1 - p̂) / n) wald_lower = p̂ - z * wald_se wald_upper = p̂ + z * wald_se @show wald_lower, wald_upper # Wilson信頼区間 wilson_lower = (p̂ + z^2/(2n) - z*√(p̂*(1-p̂)/n + z^2/(4n^2))) / (1 + z^2/n) wilson_upper = (p̂ + z^2/(2n) + z*√(p̂*(1-p̂)/n + z^2/(4n^2))) / (1 + z^2/n) @show wilson_lower, wilson_upper 13
14. 計算結果の詳細比較 方法 下限 上限 Wald 0.451001 0.548999 Wilson 0.451235 0.548765 差 +0.000234 -0.000234 重要な知見 小数第4位から差が出始める Wilsonの方が区間が若干狭い（対称性が高い） この例（ ）では差は小さいが、 が や に近い場合や、 が小さい 場合は差が顕著になる どちらの方法を使うか明示することが重要 ​ = p ^ 0.5, n = 400 ​ p ^ 0 1 n 14
15. 信頼区間の推定：計算ツールの活用 WaldとWilson、どちらを使うべきか？ Wald信頼区間：計算が簡単（手計算向き） 、置き換えが不自然。 Wilson信頼区間：統計的により正確（二次不等式の処理が必要） 、置き換えが自然。 現代の計算環境 表計算ソフトやプログラミング言語を使えば、Wilson信頼区間も容易に計算可能 関数を書いたり、グラフを描いたりすることで視覚的に理解 改善案 どの方法を使うか明示することが重要 計算ツールの活用を前提とした教育も検討すべき 15
16. 信頼区間：P値関数の可視化（1/4） ステップ1：ライブラリの読み込み using Plots, Distributions using PlotsGRBackendFontJaEmoji # 日本語フォント対応 ステップ2：WilsonのP値関数を定義 function wilson_pvalue(p, n, x) p̂ = x / n # 標本比率 z = (p̂ - p) / sqrt(p * (1 - p) / n) # 検定統計量 2ccdf(Normal(), abs(z)) # 両側検定のp値 end 16
17. 信頼区間：P値関数の可視化（2/4） ステップ3：パラメータの設定とpの範囲設定 n = 400 # 標本サイズ x = 200 # 成功数（むし歯のある生徒数） # 0.25から0.75まで0.001刻みで設定 p_range = 0.25:0.001:0.75 # 各pに対してP値を計算 pvalues = [wilson_pvalue(p, n, x) for p in p_range] 17
18. 信頼区間：P値関数の可視化（3/4） ステップ4：グラフを描画 plot(p_range, pvalues, xlabel="p (母比率)", ylabel="P値", title="WilsonのP値関数 (n=400, x=200)", label="P値関数", linewidth=2, legend=:topright) # P=0.05の基準線を追加 hline!([0.05], label="P=0.05", linewidth=2, linestyle=:dash, color=:red) 18
19. 信頼区間：P値関数の可視化（4/4） 19
20. まとめ：次期学習指導要領への期待 1. 仮説検定: 「判断できる」→「compatibility（相性） 」的表現へ 2. 正規近似: 使用する方法を明示、複数解答を認める 3. 信頼区間: 使用する方法を明示、Wilson信頼区間の導入も検討 → 暗黙の了解を排除し、統計的により適切な内容へ → 計算ツールの活用と視覚化の重視 20
21. 参考文献 Greenland (2022) "Advancing statistics reform, part 4" https://biostatistics.ucdavis.edu/sites/g/files/dgvnsk4966/files/inline- files/Greenland.Advancing statistics reform%2C part 4.Slides 1-110%2C 01 June 2022.pdf 日本語訳: https://github.com/genkuroki/public/blob/main/0055/GreenlandSlide2022Japanese Translation/GreenlandSlide2022JapaneseTranslation.pdf ASA Statement on p-values (2016) https://www.amstat.org/asa/files/pdfs/p-valuestatement.pdf 日本語訳: https://www.biometrics.gr.jp/news/all/ASA.pdf 21
22. 参考文献（続きd） 「比率のP値函数達」 （黒木玄） https://nbviewer.org/github/genkuroki/public/blob/main/0036/P-value functions of proportions.ipynb 「二項分布の半整数補正をJuliaで確認」 （清水団） https://zenn.dev/dannchu/articles/f430c636f50d5c 「高校数学における統計の未来」 （清水団） https://zenn.dev/dannchu/articles/685d8edefa2e2b 22
23. ご清聴ありがとうございました 質問・ディスカッションをお待ちしています 23