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物理ベースレンダラedupt解説

hole
July 28, 2022

 物理ベースレンダラedupt解説

eduptはC++で書かれたパストレーシングによるシンプルでコンパクトな物理ベースレンダラです。 ソースコードはGithubで公開されており、日本語によるコメントが付けられています。
このスライドは、パストレーシング・物理ベースレンダリング・eduptのソースコード、の解説スライドです。

オリジナルのスライドは以下で公開しています。
http://kagamin.net/hole/edupt/index.htm

hole

July 28, 2022
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  1. 目次 1. 物理ベースコンピュータグラフィックス 2. eduptコード解説(ユーティリティ編) 1. 各種定数 2. 画像出力 3.

    乱数 3. eduptコード解説(幾何編) 1. ベクトル 2. 球 3. シーンデータ 4. パストレーシング 1. 光の物理量 2. レンダリング方程式 3. モンテカルロ積分 4. パストレーシング 5. ロシアンルーレット 5. eduptコード解説(レンダリング編) 1. カメラ設定 2. 画像生成 3. radiance() 4. 完全拡散面 5. 完全鏡面・ガラス面
  2. どんな物理モデルを使う? CGにおいて考慮すべき物理モデルは光に関 する物理学、光学についてのモデル 様々な光学モデル • 幾何光学 • 波動光学 • 量子光学

    • etc 現代のCGでは、基本的に幾何光学をモデルとして 用いる。これは、目に映る風景や写真によって描 き出される像が幾何光学によって十分再現できる からである。 ※もちろん、幾何光学では再現できない物理現象 もあり、そういった現象を再現したい場合は別の モデルを採用する。
  3. CG的には何ができるのか?  幾何光学で表現できることは何でもできる • グローバルイルミネーション • 被写界深度 • モーションブラー •

    etc eduptでは特に光の相互反射による影響を考慮した グローバルイルミネーションの実現を重視してい る。幾何光学でグローバルイルミネーションを実 現するための物理モデルはこのスライドの後々取 り扱う。
  4. eduptファイル概要  main.cpp edupt::render()を呼び出すだけ。  constant.h 各種定数。  intersection.h 交差判定の結果を格納する構造体IntersectionとHitpoint。

     material.h Color型と物体材質について記述するReflectionTypeと屈折率の設定。  ppm.h レンダリング結果をppm画像として書き出すための関数save_ppm_file()。  radiance.h ある方向からの放射輝度を得る関数radiance()。パストレーシングのメイン処理。  random.h 乱数生成クラスXorShift。  ray.h 一つ一つの光線、レイを表現する構造体Ray。  render.h レンダリング画像サイズやサンプル数を受け取り、radiance()を使って各ピクセルの具体的な値を決定する関数 render()。  scene.h レンダリングするシーンのデータspheres[]とそのシーンに対する交差判定を行う関数intersect_scene()。  sphere.h 基本的な形状としての球を表現するSphere構造体。  vec.h ベクトルを表現する構造体Vec。
  5. eduptファイル概要  main.cpp edupt::render()を呼び出すだけ。  constant.h 各種定数。  intersection.h 交差判定の結果を格納する構造体IntersectionとHitpoint。

     material.h Color型と物体材質について記述するReflectionTypeと屈折率の設定。  ppm.h レンダリング結果をppm画像として書き出すための関数save_ppm_file()。  radiance.h ある方向からの放射輝度を得る関数radiance()。パストレーシングのメイン処理。  random.h 乱数生成クラスXorShift。  ray.h 一つ一つの光線、レイを表現する構造体Ray。  render.h レンダリング画像サイズやサンプル数を受け取り、radiance()を使って各ピクセルの具体的な値を決定する関数 render()。  scene.h レンダリングするシーンのデータspheres[]とそのシーンに対する交差判定を行う関数intersect_scene()。  sphere.h 基本的な形状としての球を表現するSphere構造体。  vec.h ベクトルを表現する構造体Vec。
  6. constant.h  各種定数を記録したヘッダ – kPI • 円周率π。 – kINF •

    非常に大きい定数。 – kEPS • 0.0に非常に近い定数。交差判定等で使う。(球の交差判 定のところで解説)
  7. save_ppm_file()  eduptはppm形式で保存 – http://netpbm.sourceforge.net/doc/ppm.html – ppmはテキスト形式で画像を記録できるフォーマット。 – ヘッダに”P3 (改行)

    幅 高さ (改行) 255”と記録することで、 指定したサイズのRGB画像(RGBの階調は256段階)を記 録する、という指定になる。 – ヘッダに続けて”R値 G値 B値“を画素数の分だけ並べる。
  8. ガンマ補正  物理ベースレンダリングの結果はリニアスペースなので ディスプレイの出力輝度値を画像の値に比例させたい – ガンマ補正 – γ値の逆数のべき乗をディスプレイに対する入力にする。 – eduptではγ=2.2と仮定して画像の保存の際値を

    1 2.2 乗している。 プログラム側の輝度値 (入力) 1.0 0.7 0.5 0.3 0.0 1.0 0.7 0.5 0.3 0.0 ディスプレイによって 出力される 物理的な輝度値 ガンマ補正 出力= 補正値𝛾 1.0 0.85 0.73 0.58 0.0 補正値= 入力 1 𝛾 補正値
  9. 乱数  パストレーシングは確率的なアルゴリズム – さまざまな局面で乱数が必要になる。 – 質の高い乱数が求められる。  擬似乱数アルゴリズム –

    線形合同法 – メルセンヌツイスター – Xorshift – Random123 – etc パストレーシングがモンテカルロ積分をその基礎においているため、サンプルを 得るために乱数が必要になる。準モンテカルロ法の様な、より進んだアルゴリズ ムを使うなら、乱数の変わりに低食い違い量列というものを使うこともある。 eduptでは実装の単純さと速度、質 などのバランスからXorshiftを乱数 生成機として使用している
  10. Xorshift  eduptでの実装 – WikipediaのXorshiftの項目 • http://ja.wikipedia.org/wiki/Xorshift – Xorshiftのseed初期化 •

    http://meme.biology.tohoku.ac.jp/klabo- wiki/index.php?%B7%D7%BB%BB%B5%A1%2FC%2B%2B – を参考にしました。 – next01()によって[0.0, 1.0]の範囲で乱数を得る。  Random型にtypedefして他の場所で使用
  11. eduptファイル概要  main.cpp edupt::render()を呼び出すだけ。  constant.h 各種定数。  intersection.h 交差判定の結果を格納する構造体IntersectionとHitpoint。

     material.h Color型と物体材質について記述するReflectionTypeと屈折率の設定。  ppm.h レンダリング結果をppm画像として書き出すための関数save_ppm_file()。  radiance.h ある方向からの放射輝度を得る関数radiance()。パストレーシングのメイン処理。  random.h 乱数生成クラスXorShift。  ray.h 一つ一つの光線、レイを表現する構造体Ray。  render.h レンダリング画像サイズやサンプル数を受け取り、radiance()を使って各ピクセルの具体的な値を決定する関数 render()。  scene.h レンダリングするシーンのデータspheres[]とそのシーンに対する交差判定を行う関数intersect_scene()。  sphere.h 基本的な形状としての球を表現するSphere構造体。  vec.h ベクトルを表現する構造体Vec。
  12. Vec構造体  ベクトル同士の加算  ベクトル同士の減算  ベクトルとスカラ量の乗算  ベクトルとスカラ量の除算 

    二乗長さ、長さを求める関数length_squared()とlength() – 各要素の二乗の和の平方根がベクトルの長さ(三平方の定理)
  13. dot() 二つのベクトルの内積を計算する 𝑢 𝑣 𝜃 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢

    𝑣 cos 𝜃 内積 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢𝑥 𝑣𝑥 + 𝑢𝑦 𝑣𝑦 + 𝑢𝑧 𝑣𝑧 特に長さ1のベクトル同士の内積は二つのベクトルの成す角のcosとなる。 二つのベクトルの成す角を得たいときは内積を取るのが定石。
  14. cross() 二つのベクトルの外積を計算する 𝑢 𝑣 𝜃 𝑢 × 𝑣 外積 𝑢

    × 𝑣 = (𝑢𝑦 𝑣𝑧 − 𝑢𝑧 𝑣𝑦 , 𝑢𝑧 𝑣𝑥 − 𝑢𝑥 𝑣𝑧 , 𝑢𝑥 𝑣𝑦 − 𝑢𝑦 𝑣𝑥 ) 外積によって、二つのベクトルのどちらとも直交するベクトルが得られる。 その向きは右ネジの進む方向になる。 外積の長さ 𝑢 × 𝑣 = 𝑢 𝑣 sin 𝜃 外積の長さは二つのベクトルの長さと成す角のsinとの積になる。 また、二つのベクトルによって作られる平行四辺形の面積に等しい。
  15. ray.h  レイ(光線)を表現する構造体 – 始点orgと向きdirを持つ。 – 始点は位置ベクトルとしてVecで表現する。 – eduptでは基本的にdirの長さは1になるようにしている。 •

    何か所かこの仮定を用いている処理がある。 • もちろんこの仮定をなくしてもよい。(ただしこの仮定を用 いている処理は修正しないといけない) 𝑑𝑖𝑟 𝑜𝑟𝑔
  16. Sphere構造体  eduptにおける唯一の幾何形状 – 中心座標 positionと半径 radius – 発光色 emission

    – 反射率 color – 材質(表面における反射の種類)reflection_type position radius
  17. 球との交差判定  球の方程式 – 𝑝 は球の中心で𝑟は球の半径。 – 以下を満たすような𝑥 は球の表面上の点。 

    あるレイとこの球との交差点を計算したいとする – 𝑜 はレイの始点で𝑑 はレイの方向。 – 𝑃 𝑡 は始点から𝑑 の方向に距離𝑡進んだ位置にある点。 𝑝 − 𝑥 = 𝑟 𝑃 𝑡 = 𝑜 + 𝑡𝑑
  18. 球との交差判定 𝒕についての二次方程式になる – この式の解がレイと球の交差点に対応する。 𝑑 ∙ 𝑑 𝑡2 − 2𝑑

    ∙ 𝑝 − 𝑜 𝑡 + 𝑝 − 𝑜 ∙ 𝑝 − 𝑜 − 𝑟2 = 0 𝐴 = 𝑑 ∙ 𝑑 𝐵 = −2𝑑 ∙ 𝑝 − 𝑜 𝐶 = 𝑝 − 𝑜 ∙ 𝑝 − 𝑜 − 𝑟2
  19. intersect() 二次方程式の判別式を用いて解の存在を判定 – さっきの式から判別式を作れる。 判別式 𝐷 4 = 𝐵2 −

    4𝐴𝐶 4 = 𝑑 ∙ 𝑝 − 𝑜 2 − 𝑑 ∙ 𝑑 𝑝 − 𝑜 ∙ 𝑝 − 𝑜 − 𝑟2 ただし、Ray構造体の向きの長さは1にするという約束があったので 𝑑 ∙ 𝑑 = 1 になる。 判別式が負で、解がない場合は 交差しないことを意味する
  20. intersect() 判別式を使って解を計算する – 二次方程式の解の公式より 𝑡 = −𝐵 ± 𝐷 2𝐴

    = − 𝐵 2 ± 𝐷 4 𝐴 = 𝑏 ± 𝐷 4 𝐴 = 𝑏 ± 𝐷 4 𝐴 = 𝑑 ∙ 𝑑 = 1という約束 𝐵 2 = −𝑑 ∙ 𝑝 − 𝑜 = −𝑏
  21. intersect()  得られた二つの解について – 𝒕𝟏 がkEPSより大きいとき • 𝑡1 < 𝑡2

    なので𝑡2 もkEPSより大。 • レイと球の交差点は幾何的には 二点ある。 • 物理的には始点から発射された レイは最初にぶつかった点で反 射するので、始点に近いほうの 交差点、すなわち𝑡1 が交差点に なる。 – 𝒕𝟏 がkEPSより小さいとき • 1つ前のif文を通過しているので 𝑡2 はkEPSより大きい。 • よって𝑡2 が交差点。
  22. intersect_scene()  シーンに存在する各物体とレイとの交差判定関数 – 各交差点の内、一番レイの始点に近いものを求める。 (一番近い点で反射するから) – 交差判定はすべての物体に対して行う。(全探索) • 計算量はO(N)

    (Nは物体の数) レンダリングにおいて最も重い部分の一 つはレイトレによる交差判定、すなわち この関数である。 eduptのシーンデータはかなり単純なので 全探索しても問題になりにくいが、交差 判定をする対象が何百万個ものポリゴン になったりすると線形の全探索ではもち ろんどうにもならない。 こういった場合はkd-tree、BVH、Octree などの空間分割木を使って計算量を O(logN)にするのが定石。
  23. 放射輝度(Radiance) 放射輝度は放射照度の立体角密度(単位立 体角あたりの放射照度) 𝐿 𝑥, 𝜔 = 𝑑𝐸𝜔 𝑥 𝑑𝜔

    [ W m2 ∙ sr ] 𝜔 𝑥 𝐸𝜔 𝑑𝜔 𝐸𝜔 は𝜔方向に垂直な微小領域における放射照度 ある点においてある方向に通過するフォトンの量が放射輝度と考えることが できる。パストレーシングにおいて一つ一つのレイが運ぶ物理量は放射輝度
  24. 放射輝度(Radiance) Lambertのコサイン則より𝑑𝐸𝜔 cos 𝜃 = 𝑑𝐸 𝐿 𝑥, 𝜔 =

    𝑑𝐸 𝑥 𝑑𝜔 cos 𝜃 = 𝑑2Φ 𝑥 𝑑𝐴𝑑𝜔 cos 𝜃
  25. Lambertのコサイン則  領域𝐴をΦ[W]の光が通過しているとすると、領域 𝐴の放射照度は𝐸 = Φ 𝐴 で、領域𝐴𝜔 = 𝐴

    cos 𝜃の放射 照度は𝐸𝜔 = Φ 𝐴𝜔 = Φ 𝐴 cos 𝜃  よって、一般に𝐸𝜔 cos 𝜃 = 𝐸が成り立つ。 𝐴 𝐴𝜔 𝜔 𝜃 Φ
  26. レンダリング方程式 ある空間における光の伝達を記述した方程式 – 光の相互反射、グローバルイルミネーションが考慮された式 𝐿𝑜 𝑥, 𝜔 = 𝐿𝑒 𝑥,

    𝜔 + 𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔′ 𝐿𝑖 𝑥, 𝜔′ cos 𝜃 𝑑𝜎(𝜔′) Ω𝑥 𝜔 𝜔′ 𝜃 𝐿𝑜 𝐿𝑖 𝑥 ※真空を仮定
  27. レンダリング方程式 ある空間における光の伝達を記述した方程式 𝐿𝑜 𝑥, 𝜔 = 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 +

    𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔′ 𝐿𝑖 𝑥, 𝜔′ cos 𝜃 𝑑𝜎(𝜔′) Ω𝑥 𝜔 𝜔′ 𝜃 𝐿𝑜 𝐿𝑖 𝑥 𝒙から𝝎方向への放射輝度 画像の各ピクセルについてカメラからレイを飛ばしシーンとの交差点を𝑥とすると、この 𝐿𝑜 を求めることでカメラが受け取る放射輝度が求まる。=シーンのレンダリングができる。
  28. レンダリング方程式 ある空間における光の伝達を記述した方程式 𝐿𝑜 𝑥, 𝜔 = 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 +

    𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔′ 𝐿𝑖 𝑥, 𝜔′ cos 𝜃 𝑑𝜎(𝜔′) Ω𝑥 𝜔 𝜔′ 𝜃 𝐿𝑜 𝐿𝑖 𝑥 𝒙から𝝎方向への自己発光による放射輝度 位置𝑥が光源上にあった場合のみ、この値は0じゃなくなる。Sphere構造体でいうところ のemissionがこれ。
  29. レンダリング方程式 ある空間における光の伝達を記述した方程式 𝐿𝑜 𝑥, 𝜔 = 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 +

    𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔′ 𝐿𝑖 𝑥, 𝜔′ cos 𝜃 𝑑𝜎(𝜔′) Ω𝑥 𝜔 𝜔′ 𝜃 𝐿𝑜 𝐿𝑖 𝑥 𝒙におけるBRDF 𝜔′方向から届き位置𝑥で𝜔方向に反射される光について、反射される程度を示す。放射輝 度を放射照度で微分した量として定義される。
  30. レンダリング方程式 ある空間における光の伝達を記述した方程式 𝐿𝑜 𝑥, 𝜔 = 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 +

    𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔′ 𝐿𝑖 𝑥, 𝜔′ cos 𝜃 𝑑𝜎(𝜔′) Ω𝑥 𝜔 𝜔′ 𝜃 𝐿𝑜 𝐿𝑖 𝑥 𝝎′方向から𝒙への放射輝度 周囲から𝑥へ降り注ぐ光。この入射光について位置𝑥を中心とした半球上で積分すること で、位置𝑥に降り注ぐ光の総量を計算できる。それにBRDFをかけることで位置𝑥に降り注 ぎ𝜔′方向へと反射していく光𝐿𝑜 が求まる。
  31. レンダリング方程式 ある空間における光の伝達を記述した方程式 𝐿𝑜 𝑥, 𝜔 = 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 +

    𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔′ 𝐿𝑖 𝑥, 𝜔′ cos 𝜃 𝑑𝜎(𝜔′) Ω𝑥 𝜔 𝜔′ 𝜃 𝐿𝑜 𝐿𝑖 𝑥 コサイン項 面に垂直に入射する光と面に横から入射する光では、同じ放射輝度値でも前者の方が位 置𝑥における影響が強い。(極端な話、真横から入射した光は影響が無い)放射照度と放 射輝度の関係式に出てくるcos項と本質的には同じ。
  32. レンダリング方程式 ある空間における光の伝達を記述した方程式 𝐿𝑜 𝑥, 𝜔 = 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 +

    𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔′ 𝐿𝑖 𝑥, 𝜔′ cos 𝜃 𝑑𝜎(𝜔′) Ω𝑥 𝜔 𝜔′ 𝜃 𝐿𝑜 𝐿𝑖 𝑥 𝒙から𝝎方向へのレイとシーンの交差点を𝒓(𝒙, 𝝎)とすると 𝑳𝒊 𝒙, 𝝎′ = 𝑳𝒐 (𝒓 𝒙, 𝝎′ , −𝝎′)という関係が成り立ち 右の積分は再帰的な形になる。
  33. モンテカルロ積分  𝑳𝒐 𝒙, 𝝎 を計算するには複雑な形の積分を解く必要がある – 再帰的 – 非連続

    – 高次元  モンテカルロ積分 – 被積分関数の値を何らかの形で計算できさえすれば解ける。 • 再帰的に評価 – 高次元な積分についても誤差の収束速度が次元数の影響を受けない。 • 次元の呪いを受けない
  34. モンテカルロ積分  積分したい式 – 𝑓 𝑥 は𝑥が与えられれば計算できるがこの積分を解くこ と自体は難しい→モンテカルロ積分  モンテカルロ積分による推定器

    𝐼 = 1 𝑁 𝑓 𝑋𝑖 𝑝𝑑𝑓(𝑋𝑖 ) 𝑁 𝑖=1 𝐼 = 𝑓(𝑥)𝑑𝜇(𝑥) 𝐷 サンプル数𝑁 𝑋𝑖 は確率変数で確率密度関数pdfに従ってサンプリングされる (もちろん𝑋𝑖 ∈ 𝐷)
  35. モンテカルロ積分 𝑵を増加させていくと推定値𝑰 の真値𝑰に対 する誤差は減少していく – 𝑂( 1 𝑁 )の速度で減少 𝐼

    = 1 𝑁 𝑓 𝑋𝑖 𝑝𝑑𝑓(𝑋𝑖 ) 𝑁 𝑖=1 Consistentな推定器(アルゴリズム) 𝑁を無限大に大きくしたとき𝐼 が真値𝐼に収束する。 Unbiasedな推定器(アルゴリズム) 𝐼 の期待値が真値𝐼と等しい。
  36. レンダリング方程式に対するモンテカルロ積分 積分したい式 モンテカルロ積分による推定器 𝐼 = 𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔′ 𝐿𝑖

    𝑥, 𝜔′ cos 𝜃 𝑑𝜎(𝜔′) Ω𝑥 𝐼 = 1 𝑁 𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔𝑖 ′ 𝐿𝑖 𝑥, 𝜔𝑖 ′ cos 𝜃 𝑝𝑑𝑓(𝜔𝑖 ′) 𝑁 𝑖=1 サンプル数𝑁 𝜔𝑖 ′は確率変数で確率密度関数pdfに従ってサンプリングされる。 このケースでは、𝜔𝑖 ′は半球上の方向を示すので、半球上で確率密度 関数pdfに従って𝑁個の方向をサンプリングすることになる。
  37. レンダリング方程式に対するモンテカルロ積分 合体・展開 𝐿𝑜 𝑥, 𝜔 = 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 +

    1 𝑁 𝑓 𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔𝑖 ′ 𝐿𝑖 𝑥, 𝜔𝑖 ′ cos𝜃 𝑝𝑑𝑓(𝜔𝑖 ′) 𝑁 𝑖=1 𝐿𝑜 𝑥, 𝜔 = 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 + 1 𝑁 𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔𝑖 ′ cos 𝜃 𝑝𝑑𝑓 𝜔𝑖 ′ 𝑁 𝑖=1 (𝐿𝑒 𝑥1 , −𝜔𝑖 ′ + 1 𝑁 𝑓𝑟 𝑥1 , −𝜔𝑖 ′, 𝜔𝑗 ′ 𝐿𝑖 𝑥1 , 𝜔𝑗 ′ cos 𝜃 𝑝𝑑𝑓(𝜔𝑗 ′) 𝑁 𝑗=1 ) 𝐿𝑖 𝑥, 𝜔′ = 𝐿𝑜 (𝑟 𝑥, 𝜔′ , −𝜔′)より 𝑟 𝑥, 𝜔′ = 𝑥1 とすると再び𝐿𝑜 についてのモンテカルロ積分になり 同様に 𝐿𝑜 𝑥, 𝜔 = 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 + 1 𝑁 𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔𝑖 ′ cos 𝜃 𝑝𝑑𝑓 𝜔𝑖 ′ 𝑁 𝑖=1 (𝐿𝑒 𝑥1 , −𝜔𝑖 ′ + 1 𝑁 𝑓𝑟 𝑥1 , −𝜔𝑖 ′, 𝜔𝑗 ′ cos 𝜃 𝑝𝑑𝑓 𝜔𝑗 ′ 𝑁 𝑗=1 (𝐿𝑒 𝑥2 , −𝜔𝑖 ′ + 1 𝑁 𝑓 𝑟 𝑥2 , −𝜔𝑗 ′, 𝜔𝑘 ′ 𝐿𝑖 𝑥2 , 𝜔𝑘 ′ cos 𝜃 𝑝𝑑𝑓(𝜔𝑘 ′ ) 𝑁 𝑘=1 ))
  38. パストレーシング  反射のたびにサンプリングする方向の個数を1個に制限 – 指数の底が1になるのでレイの数が指数的に増加することがなくなる。  パストレーシングによるモンテカルロ積分 – 以下をそのままプログラムにしてやればよい。 –

    𝐿𝑜 は確率変数になるので、何回も評価して(パストレーシングして) その平均をとることで真値𝐿𝑜 に収束する。 𝐿𝑜 𝑥, 𝜔 = 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 + 𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔𝑖 ′ 𝐿𝑜 (𝑟 𝑥, 𝜔′ , −𝜔′) cos 𝜃 𝑝𝑑𝑓(𝜔𝑖 ′)
  39. パストレーシング  擬似コード  𝑳𝒐 𝒙, 𝝎 :位置𝒙から𝝎方向への放射輝度 1. 位置𝑥を中心とした半球上で1方向サンプリング。(サ

    ンプルは確率密度関数pdfに従うとする) 2. 得られたサンプルを𝜔′とする 3. 位置𝑥から𝜔′へレイトレーシング。交差点を𝑥′とする。 4. 𝜃=位置𝑥における法線と𝜔′方向の成す角 5. return 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 + 𝑓𝑟 𝑥,𝜔,𝜔′ 𝐿𝑜 𝑥′,−𝜔′ cos 𝜃 𝑝𝑑𝑓(𝜔′) 𝑥 𝜔′ 𝑥′ 𝜃
  40. ロシアンルーレット  再帰を続けるか否かをある確率𝒒に基づいて決める – 𝑢を[0, 1]の乱数とし、 0 < 𝑞 ≤

    1とする。 • 𝑢 < 𝑞なら普通に再帰 – ただし再帰によって得られた結果を𝑞で割る • さもなければ処理を打ち切る – 期待値を計算すると、ロシアンルーレット導入以前と 同じ値になる。  𝒒の値は任意にとれるが、再帰によって得られる結果に比 例させるように決めると分散が小さくなり誤差が小さく なりやすい – eduptでは物体反射率に基づいて決めている。
  41. パストレーシング  擬似コード(ロシアンルーレット)  𝑳𝒐 𝒙, 𝝎 :位置𝒙から𝝎方向への放射輝度 1. 0から1の範囲の乱数を得て𝒒との大小比較

    1. 𝒒以上ならreturn 𝑳𝒆 𝒙, 𝝎 として再帰終了 2. さもなければそのまま処理を続行 2. 位置𝑥を中心とした半球上で1方向サンプリング。(サ ンプルは確率密度関数pdfに従うとする) 3. 得られたサンプルを𝜔′とする 4. 位置𝑥から𝜔′へレイトレーシング。交差点を𝑥′とする。 5. 𝜃=位置𝑥における法線と𝜔′方向の成す角 6. return 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 + 𝑓𝑟 𝑥,𝜔,𝜔′ 𝐿𝑜 𝑥′,−𝜔′ cos 𝜃 𝑝𝑑𝑓 𝜔′ ∙ 𝟏 𝒒
  42. ロシアンルーレットの注意  無限ループに陥る確率は極めて低くなるとはいえ、ロシ アンルーレットをたまたまうまく通過してしまった場合、 再帰の深さが深くなりすぎてスタックオーバーフローす ることがある – ある一定以上の深さになったらロシアンルーレットの 通過確率を極端に下げる。 •

    深くなりすぎる確率は激減するが、それでも0ではない。 • Unbiasedなレンダラにこだわる限り、0にすることはできない。 • eduptはこの方法。 – 非再帰パストレーシングにする。 • うまく工夫すると非再帰版に書き直すことが出来る。 – Unbiasedなレンダラを諦める • 再帰の回数に制限を設ければスタックオーバーフローを防ぐことがで きる(が、Biasが入る)
  43. eduptファイル概要  main.cpp edupt::render()を呼び出すだけ。  constant.h 各種定数。  intersection.h 交差判定の結果を格納する構造体IntersectionとHitpoint。

     material.h Color型と物体材質について記述するReflectionTypeと屈折率の設定。  ppm.h レンダリング結果をppm画像として書き出すための関数save_ppm_file()。  radiance.h ある方向からの放射輝度を得る関数radiance()。パストレーシングのメイン処理。  random.h 乱数生成クラスXorShift。  ray.h 一つ一つの光線、レイを表現する構造体Ray。  render.h レンダリング画像サイズやサンプル数を受け取り、radiance()を使って各ピクセルの具体的な値を決定する関数 render()。  scene.h レンダリングするシーンのデータspheres[]とそのシーンに対する交差判定を行う関数intersect_scene()。  sphere.h 基本的な形状としての球を表現するSphere構造体。  vec.h ベクトルを表現する構造体Vec。
  44. HDRイメージ  物理ベースレンダリングではより表現できる輝度の幅が 大きいHigh Dynamic Range画像がしばしば使われる – 物理モデルによる画像は自然界同様非常にダイナミックレンジが 広いため。 –

    RGBそれぞれ8ビットより大きい階調・幅(32ビット等)。 – ディスプレイはLDRによる表示しか対応していないことがほとん どなので、HDR画像を表示するにはなんらかの方法でLDR画像に 変換する必要がある → トーンマッピング  代表的なフォーマット – Radiance (.hdr) – OpenEXR (.exr) • http://www.openexr.com/ – Floating point TTF
  45. 画像生成  OpenMP – ディレクティブを指定することで簡単に並列化。 – eduptでは画像の行ごとに別々のスレッドで処理させて いる。  並列化の処理単位は奥深い問題

    – なるべく全てのコアを常に100%使用したい。 CGのレンダリングはピクセル間の依存が 少なかったり無かったりすることが多い ため、非常に並列化しやすい問題として 知られている。そのため、このように単 純なディレクティブを一行指定するだけ でもうまく並列化され、高速化が期待で きる。
  46. radiance()  radiance()はレイの方向からの放射輝度値を計算 する関数 – レイとシーンの交差を𝑥とすると𝐿𝑜 (𝑥, −𝜔)の値を求め ればよいことがわかる –

    𝐿𝑜 はモンテカルロ積分によって求まるのでradiance()も 確率的な関数になるということ radiance() 𝐿𝑜 𝑥, 𝜔 = 𝐿𝑒 𝑥, 𝜔 + 𝑓𝑟 𝑥, 𝜔, 𝜔′ 𝐿𝑖 𝑥, 𝜔′ cos 𝜃 𝑑𝜎(𝜔′) Ω𝑥 𝑥 𝜔 −𝜔 レンダリング方程式 𝐿𝑜
  47. radiance()のアルゴリズム  擬似コード(パストレーシングによる𝐿𝑜 の推定を基にしている)  radiance 𝒙, 𝝎 :位置𝒙に𝝎方向からくる放射輝度 1.

    𝑥から𝜔方向にレイトレーシング。交差点を𝑥′とする 2. 0から1の範囲の乱数を得て𝑞との大小比較 1. 𝑞以上ならreturn 𝐿𝑒 𝑥′, 𝜔 として再帰終了 2. さもなければそのまま処理を続行 3. 位置𝑥′を中心とした半球上で1方向サンプリング。(サンプ ルは確率密度関数pdfに従うとする) 4. 得られたサンプルを𝜔′とする 5. 𝜃=位置𝑥′における法線と𝜔′方向の成す角 6. return 𝐿𝑒 𝑥′, 𝜔 + 𝑓𝑟 𝑥′,𝜔,𝜔′ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒(𝑥′,𝜔′) cos 𝜃 𝑝𝑑𝑓 𝜔′ ∙ 1 𝑞
  48. 完全拡散面におけるインポータンスサンプリング 完全拡散面において – 𝑓𝑟 𝑥′, 𝜔, 𝜔′ 、すなわちBRDFは𝜎 𝜋 になる。(𝜎は反射率)

    – radiance()は未知。 – 確率密度関数をcos 𝜃 𝜋 として、その確率分布に従って方向 をサンプリングすることにする。
  49. 完全拡散面におけるインポータンスサンプリング (ただの計算)  確率密度関数 𝑝𝑑𝑓 𝜃, 𝜙 = cos 𝜃

    𝜋  累積分布関数 𝐹 𝜃, 𝜙 = 1 𝜋 cos 𝜃 𝑑𝜔 𝐹 𝜃, 𝜙 = 1 𝜋 cos 𝜃′ sin 𝜃′ 𝑑𝜃′ 𝜃 0 𝑑𝜙′ 𝜙 0 = 1 𝜋 𝑑𝜙′ cos 𝜃′ sin 𝜃′ 𝑑𝜃′ 𝜃 0 𝜙 0 = 𝜙 𝜋 − cos2 𝜃′ 2 0 𝜃 = 𝜙 2𝜋 (1 − cos2 𝜃) 𝐹 𝜙 = 𝜙 2𝜋 , 𝐹 𝜃 = 1 − cos2 𝜃
  50. 完全拡散面におけるインポータンスサンプリング  確率密度関数 𝑝𝑑𝑓 𝜃, 𝜙 = cos 𝜃 𝜋

     上のpdfに従って方向をサンプリングする方法 – 一つまえのスライドの累積密度関数Fの逆関数を考えると  上の式に従って乱数を使ってサンプリング、極座標を使って反射方向 dirを計算する。 𝜙𝑖 = 2𝜋𝑢1 𝜃𝑖 = cos−1 𝑢2 ただし𝑢1 , 𝑢2 は0から1の範囲の乱数
  51. radiance() REFLECTION_TYPE_REFRACTION – ガラス面 – 屈折率は material.hのkIor  まずSnellの法則によって屈折する方向を求める –

    屈折する方向によっては屈折が起こらず、入射した光が全て反射さ れる全反射が起こる。(その場合は完全鏡面と同じ処理になる)
  52. Snellの法則  入射前の物体の屈折率を𝑛1 、入射後の物体の屈折率を𝑛2 と する。 𝑛1 sin 𝜃1 =

    𝑛2 sin 𝜃2 (Snellの法則) 𝐷 𝑅 𝜃1 𝜃1 𝜃2 𝑇 𝑛1 𝑛2 cos2 𝜃2 = 1 − 𝑛1 𝑛2 2 (1 − −𝐷 ∙ 𝑁 2 ) 𝑁 右辺が0未満になったとき、𝜃2 が90度を超えた ということで、全反射。
  53. Snellの法則 屈折の方向 𝐷 𝑅 𝜃1 𝜃1 𝜃2 𝑇 𝑛1 𝑛2

    𝑇 = 𝑛1 𝑛2 𝐷 − ( 𝑛1 𝑛2 𝐷 ∙ 𝑁 + cos2 𝜃2 )𝑁 𝑁
  54. Fresnelの式 反射光の運ぶ光の割合はFresnelの式に従う Schlickの近似が良く使われる – 入射光に対する反射光の運ぶ光の割合𝐹𝑟 𝜃 について入射角度の関 数として近似。 𝐹𝑟 𝜃1

    = 𝐹0 + 1 − 𝐹0 1 − cos 𝜃1 5 𝐹0 は垂直入射における反射の量で 𝐹0 = 𝑛1 − 𝑛2 2 𝑛1 + 𝑛2 2 𝐷 𝑅 𝜃1 𝜃1 𝜃2 𝑇 𝑛1 𝑛2 𝑁 𝑛1 > 𝑛2 のときは𝐹𝑟 𝜃1 = 𝐹0 + 1 − 𝐹0 1 − cos 𝜃2 5
  55. Fresnelの式 反射光の運ぶ光の割合 𝐹𝑟 𝜃1 = 𝐹0 + 1 − 𝐹0

    1 − cos 𝜃1 5 𝑛1 > 𝑛2 のときは𝐹𝑟 𝜃1 = 𝐹0 + 1 − 𝐹0 1 − cos 𝜃2 5
  56. Fresnelの式 屈折光の運ぶ光の割合 – 基本的には1 − 𝐹𝑟 𝜃1 レイが運ぶのは放射輝度 – 放射輝度は屈折の前後で値が変化する。

    – 放射輝度が単位立体角あたりの値なのが理由。 屈折直後の放射輝度= 𝑛2 𝑛1 2 屈折直前の放射輝度
  57. 収束について 16 sample/pixel 13秒 Intel Core i7 980 (3.33GHz) 10スレッド

    64 sample/pixel 44秒 256 sample/pixel 174秒 1024 sample/pixel 690秒 4096 sample/pixel 2764秒
  58. 参考文献  Kevin Beason “smallpt http://www.kevinbeason.com/smallpt/”  David Cline “smallpt

    presentation http://www.kevinbeason.com/smallpt/#moreinfo”  Henrik Wann Jensen (著), 苗村 健 (翻訳) “フォトンマッピング―実写に迫る コンピュータグラフィックス“  Philip Dutre, Philippe Bekaert, Kavita Bala “Advanced Global Illumination, Second Edition”  Matt Pharr, Greg Humphreys “Physically Based Rendering, Second Edition: From Theory To Implementation”  Kevin Suffern “Ray Tracing from the Ground Up”  Matt Pharr “Image Synthesis (Stanford cs348b) http://candela.stanford.edu/”