Mathematical Optimization for Real Applications

最近は，多くの企業が数理最適化の活用に興味を持つようになり，産学連携の機会が急増しています．一方で，企業に数理最適化の専門家は少なく，大学から輩出できる人材にも限りがあるため，実務における数理最適化の活用はごく限定された範囲にとどまっているのが現状です．本講演では，多くの企業が抱える実務の各段階における問題解決の支援を通じて，企業において数理最適化の専門家を育成し，基幹事業において数理最適化を活用する枠組みの創出を目指す，数理最適化寄附講座の取り組みを紹介します．

Transcript

1. 実務につなげる数理最適化 数理最適化寄附講座の取り組み ⼤阪⼤学 ⼤学院情報科学研究科 梅⾕ 俊治 2023年9⽉12⽇ 数理最適化寄附講座ワークショップ
2. ⾃⼰紹介 • 梅⾕ 俊治（うめたに しゅんじ） • 所属︓⼤阪⼤学 ⼤学院情報科学研究科 数理最適化寄附講座 • 専⾨分野︓数理最適化(組合せ最適化)，アルゴリズム，離散数学など • 現在の主な研究テーマ︓ ü ⼤規模かつ汎⽤的な組合せ最適化問題に対するアルゴリズムの開発 ü 問題構造の解析に基づく組合せ最適化アルゴリズムの開発 ü 数理最適化モデルとアルゴリズムの現実問題への応⽤ • これまでに取り組んだ応⽤事例︓ ü 電気⾃動⾞の充放電計画 ü 対訳⽂の対応付け ü 紙パイプの切出し計画 ü ⾐服の型紙の配置 ü 無⼈搬送⾞の運⾏計画 ü ⼈の移動履歴の推定 2 ブレインパッドと富⼠通の 寄附により2020年10⽉に設⽴ リクルートからも寄附いただきました ü クーポンの配信計画 ü ホテル予約システムの表⽰順 ü カタログのレイアウト計画 ü ⾃動⾞船の配船・運航計画 ü ⾃動⾞船の積付け計画 ü その他いろいろ取り組み中
3. 「しっかり学ぶ数理最適化」 • 2020年10⽉に「しっかり学ぶ数理最適化」(講談社)を出版． • 1章︓数理最適化⼊⾨ • 2章︓線形計画 ü 線形計画問題の定式化，単体法， 緩和問題と双対定理 • 3章︓⾮線形計画 ü ⾮線形計画問題の定式化，制約なし最適化問題， 制約つき最適化問題 • 4章︓整数計画と組合せ最適化 ü 整数計画問題の定式化， アルゴリズムの性能と問題の難しさの評価， 効率的に解ける組合せ最適化問題， 分枝限定法と切除平⾯法，近似解法， 局所探索法，メタヒューリスティクス • 演習問題と解答 3 最適化問題の定式化からアルゴリズムまで幅広い内容を解説
4. 講演の概要 • 数理最適化による問題解決 • 数理最適化を活⽤した問題解決の実現 • 数理最適化の普及および専⾨家の育成 • 数理最適化の活⽤を促進する基盤技術の開発 4
5. 数理最適化による問題解決 • AIで問題解決しましたという多数のプレスリリースの実態は︖ • 数理科学（数理⼯学）︓現実問題を数理モデルに定式化し，数学的・ 科学的⼿法により解析することで問題解決を実現する． • 問題解決では，記述的段階（データの取得），予測的段階（データの 分析），処⽅的段階（計画作成）の⼿順を踏む． • 数理最適化による問題解決を実現するためには「最適化問題の定式 化」と「アルゴリズムの開発（もしくは利⽤）」が必要． 5 AIと⼀⼝には ⾔うものの ビッグデータ AI(機械学習) 数理最適化 現状把握・可視化 Description(記述) 要因・予測分析 Prediction(予測) 意思決定・計画作成 Prescription(処⽅) ⼈気商品に偏ってない︖ 予算内に収められる︖ 多様な制約を満たせる︖ 数百万の顧客に推薦する 商品の割当てを求める 超⼤規模な最適化問題 機械学習で個別の割当の 期待利得は推定できるが クーポン配信の事例
6. 数理最適化による問題解決 • AIで問題解決しましたという多数のプレスリリースの実態は︖ • 数理科学（数理⼯学）︓現実問題を数理モデルに定式化し，数学的・ 科学的⼿法により解析することで問題解決を実現する． • 問題解決では，記述的段階（データの取得），予測的段階（データの 分析），処⽅的段階（計画作成）の⼿順を踏む． • 数理最適化による問題解決を実現するためには「最適化問題の定式 化」と「アルゴリズムの開発（もしくは利⽤）」が必要． 6 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 アルゴリズムの 開発・利⽤ 分析・検証 最適化問題・アルゴリズムの修正
7. 数理最適化寄附講座 • 「ソリューションビジネスの基盤となる数理最適化技術の展開」 を主要なミッションとする新たな研究室を2020年10⽉に設置 （ブレインパッド，富⼠通，リクルートの寄附による）． • 産学連携と研究開発を主たる業務とし，数理最適化のソリューション ビジネスへの展開と基盤技術の開発に取り組む． • 数理最適化を活⽤した問題解決の実現 ü 数理最適化を基盤技術として，⽬標設定から，モデルの定式化，アルゴ リズムの開発，システムの実装・導⼊にいたるまで問題解決の各段階に て⽣じる多様な課題の解決に取り組む． • 数理最適化の普及と専⾨家の育成 ü ソリューションビジネスで活躍できる数理最適化の専⾨家の育成． ü 産業や学術の幅広い分野への数理最適化の普及． • 数理最適化の活⽤を促進する基盤技術の開発 ü 数理最適化をソリューションビジネスに展開する上でのボトルネックを 解消するための基盤技術の開発． ü 実務の幅広い⽤途に利⽤可能な汎⽤ソルバーの開発． 7
8. 講演の概要 • 数理最適化による問題解決 • 数理最適化を活⽤した問題解決の実現 • 数理最適化の普及および専⾨家の育成 • 数理最適化の活⽤を促進する基盤技術の開発 8
9. 数理最適化を活⽤した問題解決の実現 • ブレインパッド，富⼠通，リクルート，商船三井システムズなど 13社と共同研究を含む産学連携を実施． • 商船三井システムズとの取り組みでは，数理最適化を活⽤した⾃動⾞ 運搬船の配船計画システムおよび貨物積み付け計画システムの運⽤が 開始．プレスリリース3回，⽇刊⼯業新聞や⽇経産業新聞など複数の 新聞紙に掲載． • リクルートとの取り組みでは，17件の実務案件の問題解決に貢献． 成果をOR学会や⼈⼯知能学会にて発表． • 最適化の理論やアルゴリズムの専⾨知識があれば，現実問題が即座に 解決できるわけではなく，最適化問題の定式化にかかるインタビュー からシステムの実装・導⼊にいたるまで，これらの専⾨知識だけでは 解決しない課題が数多く存在する． • 数理最適化の研究者が企業と共同で現実問題に取り組む際に⽣じる課 題とその対策をまとめた． 9
10. 数理最適化を活⽤した問題解決の実現 • 汎⽤解法︓整数計画問題などに定式化して汎⽤ソルバーを適⽤する． • 専⽤解法︓個々の問題の構造を利⽤した専⽤ソルバーを開発する． • 論⽂の研究成果がそのまま現実問題に適⽤できることは稀． • 整数計画問題に定式化して汎⽤の数理最適化ソルバーを適⽤する． • ⼤規模・計算困難な問題は専⽤のアルゴリズムを開発する． 10 問題の特徴が利⽤できず⾼性能な アルゴリズムの実現が困難 アルゴリズムが適⽤可能な 範囲が狭く汎⽤性に⽋ける 多様な問題に適⽤可能な 汎⽤性の⾼いアルゴリズム 個々の問題の構造を利⽤した ⾼性能なアルゴリズム a 整数計画問題 分枝カット法 b c d e 現実世界 a b c d e 現実世界 問題 a 問題 b 問題 e アルゴリズム a アルゴリズム b アルゴリズム e 「汎⽤的」かつ「⾼性能」なソルバーの実現は困難
11. 数理最適化を活⽤した問題解決の実現 • 標準問題アプローチ(Ibaraki, 2010)︓代表的な標準問題のリストを 準備し，個々の標準問題に対する⾼性能なアルゴリズムを開発する． • できるだけ汎⽤性がありかつ問題の構造を利⽤すれば⾼性能なアルゴ リズムが開発可能な問題を標準問題として選ぶ． • 現実問題における特殊な制約条件や副次的な⽬的関数に対応するため に，ペナルティ関数を導⼊し，それらの重み付け和を最⼩化する． • ⼤規模な問題例も実⽤的に扱える，わずかな問題変形に対して⼤きく 性能が劣化しない頑健性を持つ，利⽤者が使い易い（⼊出⼒データが 簡便，パラメータ調整の⼿間が少ない）などの要件を満たすメタ ヒューリスティクスを開発する． 11 a b c d e 現実世界 標準問題 A 標準問題 B 標準問題 K アルゴリズム A アルゴリズム B アルゴリズム K 標準問題のリスト ü 制約充⾜問題 ü 資源制約付きプロジェクトスケ ジューリング問題 ü ⼀般化割当問題 ü 配送計画問題 ü 2次元箱詰め問題 ü 集合被覆問題 ü 最⼤充⾜可能性問題
12. 数理最適化を活⽤した問題解決の実現 • ⼀度も修正なしに妥当な最適化問題が得られることはまずない． • アルゴリズムの開発・修正には⾮常に⼿間がかかる． • 妥当な最適化問題が得られるまでは，汎⽤の数理最適化ソルバーを⽤ いて，アルゴリズムの開発・修正に要する⼿間を削減する． 12 ソルバーの適⽤ 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 分析・検証 最適化問題の修正 アルゴリズムの 開発と適⽤ 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 分析・検証 汎⽤の数理最適化ソルバーを⽤いた実証実験の後に 専⽤アルゴリズムの開発を検討する
13. 事例︓電⼦ジャーナルの購読計画 • 電⼦ジャーナルの価格⾼騰による包括契約からタイトル毎の個別契約 への移⾏により⽣じる諸問題の解決． • 限られた予算の下で購読タイトルを決定する問題を整数計画問題に定 式化．最⼩充⾜率の最⼤化することで，分野による偏りのない現実的 な購読計画案を実現． • 全体の充⾜率が66.05%→70.50%と向上． • 最⼩充⾜率も68.87%と分野による偏りを⼤幅に軽減． 13 0% 20% 40% 60% 80% 100% Veterinary Science and Veterinary Medicine Social and Behavioral Sciences Physics and Astronomy Pharmacology, Pharmaceutical Science and… Nursing Neuroscience Medicine Mathematics Materials Science Life Sciences Health Professions Environmental Sciences Engineering, Energy and Technology Economics, Business and Management Earth and Planetary Sciences Dentistry Computer Science Chemistry and Chemical Engineering Arts and Humanities Agricultural and Biological Sciences 0% 20% 40% 60% 80% 100% Veterinary Science and Veterinary Medicine Social and Behavioral Sciences Physics and Astronomy Pharmacology, Pharmaceutical Science and… Nursing Neuroscience Medicine Mathematics Materials Science Life Sciences Health Professions Environmental Sciences Engineering, Energy and Technology Economics, Business and Management Earth and Planetary Sciences Dentistry Computer Science Chemistry and Chemical Engineering Arts and Humanities Agricultural and Biological Sciences
14. 事例︓カタログレイアウトの作成 • 週次で商品カタログを配布し，顧客から注⽂を受けた商品を配送する 宅配事業会社において，1000点以上の商品を掲載している50〜100 ページのカタログのレイアウトを⾃動作成する． • 同種の商品を互いに近くに配置するレイアウトを⾃動作成する問題を (1)⻑⽅形詰込み問題，(2)割当問題の2通りに定式化した． • コマ割りのテンプレートをあらかじめ⽤意し，1ページあたり1秒で 実⽤的なレイアウトを作成するメタヒューリスティクスを開発． 14
15. 事例︓⾃動⾞船の配船・運航計画 • 世界各地を航海する約100隻の⾃動⾞専⽤船を4ヶ⽉先までの約200 ブッキング(約130万台)に割り当てる． • 各船の航海パターンの候補を列挙した後に，全てのブッキングを充⾜ する航海パターンの組み合わせを求める整数計画問題に定式化する． • 数理最適化ソルバーにより3分で実⽤的なスケジュールを作成． 15 Booking1 5000台 Booking2 3000台 Booking3 4000台 Booking4 4500台 Booking5 2500台 貨物船2:3000台 貨物船1:5000台 <latexit sha1_base64="tI4NbA88wk3UGDXGY96Hwj3VUrI=">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</latexit> <latexit sha1_base64="TvN/BVfDctszjWwBRC5rFEyjDRI=">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</latexit> <latexit sha1_base64="htk3V/2aYntsWzUxyIJ36MHWJ7U=">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</latexit> <latexit sha1_base64="wD8k2qTn7FJZuCWfggfI0/NHryM=">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</latexit> <latexit sha1_base64="0c977q0VdlK7Tvfijp+fdA27RJs=">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</latexit> <latexit sha1_base64="htbl/5wnPsioSaE2iOfxBj35DGc=">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</latexit> <latexit sha1_base64="mhFnBiJ3ht41i33JOJyqPTOG7LY=">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</latexit> 航海パターン候補は 約200万通り 双対問題を利⽤して 候補数を⼤幅に削減 4ヶ⽉間の航海数は 約200航海 4ヶ⽉間の荷量は 約130万台 船舶数は約100隻 (約50万台の輸送能⼒) 商船三井，⾃動⾞船の配船計画⽀援システムの運⽤を開始しDXを加速，プレスリリース， 2021/5/21．https://www.mol.co.jp/pr/2021/21046.html
16. 事例︓⾃動⾞船の積付け計画 • ⽇本の2〜3ヶ所の積み港から海外の2〜3ヶ所の揚げ港に運⾏する⾃ 動⾞船について，複数の⾞種から構成される約20ブッキングを⾃動 ⾞船内の約40ホールドに割り当てる． • 寄港時の⾞両の搬⼊出経路の確保などの条件を考慮してブッキングを ⾃動⾞船内のホールドに割り当てる問題を整数計画問題に定式化する． 16 揚げ港 X港 Y港 Z港 A港 100 200 2200 積み港 B港 300 2000 300 C港 1300 600 100 寄港順は A→B→C→X→Y→Z ホールド1 ブッキングの概要 ホールド2 ホールド3 ホールド4 ホールド5 ⾃動⾞専⽤船の概要 積付けの例 商船三井，⾃動⾞船業務DX推進プロジェクト「数理最適化」活⽤第2弾︕，プレスリリース， 2021/9/21．https://www.mol.co.jp/pr/2021/21081.html
17. 事例︓対訳⽂の対応付け • 統計的機械翻訳の前処理において，対訳⽂書の組から対訳関係にある ⽂の組を特定する． • ⽂章の並びに単調性があれば動的計画法で効率良く解けるが，実際は ⾮単調なため整数計画問題に定式化して対応付けを求める． 17 The man looks intently at the window. Then sees a shadow. It was in the trees. What was it? He is alarmed and awake. その男は窓を⾒ていた。 そして⽊の中に影を⾒つけた。 あれはなんだ︖ 彼は驚いて⾶び起きた。 ⻄野正彬，鈴⽊潤，梅⾕俊治，平尾努，永⽥昌明，集合分割問題に基づく系列アライメントの モデル化，⾃然⾔語処理，23 (2016), 175-194． 単調な対訳⽂の対応付け ⾮単調な対訳⽂の対応付け 英語 ⽇本語 英語 ⽇本語
18. 事例︓電気⾃動⾞の充放電計画 • 電気⾃動⾞に充放電させて蓄電池の代替として利⽤する． • 電気⾃動⾞を適切なタイミングで充放電させることで，ピーク時間帯 での配電系統からの受電量の平準化と低減を実現する． • 電気⾃動⾞は放電時には直流電源，充電時には負荷となり，出庫時に は電⼒ネットワークから離脱する． • 電⼒ネットワークを時間軸⽅向に拡張して，各枝のフロー量を決定す る(混合)整数計画問題として定式化する． 18 配電系統 AC負荷 AC/DC コンバータ DC/AC インバータ 太陽光発電 交流系統 EV 1 DC負荷 EV 2 AC/DC コンバータ 直流系統 配 電 系 統 AC負 荷 E V1 D C負 荷 E V2 太 陽 光 発 電 交 流 系 統 コ ン バ ー タ イ ン バ ー タ 時 刻 AC DC 直 流 系 統 交 流 系 統 直 流 系 統 交 流 系 統 直 流 系 統 S.Umetani, Y.Fukushima, H.Morita, A linear programming based heuristic algorithm for charge and discharge scheduling of electric vehicles in a building energy management system, Omega, 67(2017), 115-122.
19. 事例︓クーポンの配信計画 • ⼀部の⼈気商品に偏らない，各顧客に配信するクーポン数を抑える など，実務から⽣じる多様な制約の下で，期待利得の合計が最⼤と なるクーポン配信計画を整数計画問題に定式化． • 500商品，300万顧客の超⼤規模な問題例に対して，実⽤的な配信 計画を1時間で作成するメタヒューリスティクスを開発． 19 ⼈気商品に偏ってない︖ 予算内に収められる︖ 多様な制約を満たせる︖ 機械学習で個別の割当の 期待利得は推定できるが 顧客数が300万⼈以上の 超⼤規模な最適化問題 広告主 広告企業 クーポン配布 商品購⼊ 顧客 最低限の利益保証
20. 事例︓ECサイトの商品リスト作成 • ユーザの⼊⼒したキーワードに関連する商品をリストで表⽰する． • 類似した商品を続けて表⽰すると期待利得の伸びが鈍くなる． • 多様性を考慮した商品リストの作成は2次割当問題に定式化できる． • 汎⽤的な数理最適化ソルバーでは30個程度の商品が限界． • リスト先頭に表⽰されるk個のみ多様性を考慮する2段階法を採⽤． • 1段階⽬を(線形)割当問題に定式化することで計算時間を⼤幅に短縮． 20 … step1 step2 … … … … … 1. C, North, City hotel 2. B, North, City hotel 3. A, North, City hotel 4. D, North, City hotel 5. E, North, Budget hotel 6. H, South, Budget hotel 7. F, South, Budget hotel 8. G, South, Budget hotel … 1. B, North, City hotel 2. G, South, Budget hotel 3. A, North, City hotel 4. E, North, Budget hotel 5. H, South, Budget hotel 6. C, North, City hotel 7. F, South, Budget hotel 8. D, North, City hotel … 類似したホテルばか りで参考にならない ⾊々なホテルが掲載 されて参考になる リスト先頭のk個 のみ多様性を考慮
21. 事例︓ビットマップ図形の詰込み • ⾼解像・任意形状の図形を効率的に詰め込む最適化問題． • ビットマップ図形を隙間なく詰込む問題に対して局所探索法を開発． • ビットマップ図形を⽔平と垂直⽅向に⾛査して2種類のスキャンライ ン図形を作成した上で，ミンコフスキー差と呼ばれる補助データ構造 から各図形対の重なり度を⾼速に計算する⽅法を提案． • 1次元探索を繰り返し適⽤するメタヒューリスティクスを開発して， ベンチマーク問題例に適⽤． 21 Profiles2(75.9%) Profiles9(55.3%) 2048pixel Swim(72.7%) Mao (83.6%) S.Umetani, S. Murakami, Coordinate descent heuristics for the irregular strip packing problem of rasterized shapes, European Journal of Operational Research, 303(2022), 1009-1026.
22. 事例︓遺伝⼦発現解析 • 遺伝⼦発現量を測定して細胞種を推定． • シングルセル遺伝⼦発現解析︓細胞毎に遺伝⼦発現量を測定 • 空間トランスクリプトーム解析︓スポット毎に遺伝⼦発現量を測定 • スポット内に混在する複数の細胞の内訳を推定する問題を⼤規模な 線形計画問題に定式化． 22 ⽯井武，瀬尾茂⼈，梅⾕俊治，松⽥秀雄，空間トランスクリプトーム解析のための数理最適化 を⽤いた細胞⽐率の推定⼿法，第11回⽣命医薬情報学連合⼤会，2022/9/13． ⽣物の組織 シングルセル遺伝⼦発現解析 空間トランスクリプトーム解析 細胞 遺伝⼦発現量 遺伝⼦発現量 スポット 細胞種1 細胞種2 細胞種3 細胞種4
23. 共同研究の取り組み例︓リクルート • 2020年度から⽉次で相談会を開催し複数領域の実務案件を議論． • 実務案件の成功確度の向上 ü 専⾨家や担当外の参加者による異なる視点に基づくアドバイス ü 客観的な観点に基づくコメントで既存⼿法の調査や検証がより丁寧に • 社内分析者の知⾒獲得 ü 各⼈が⼀期で担当できる案件数には限りがある ü 担当外の案件の検討に参加することで問題解決の引き出しが増える • 社内分析者の活躍機会の創出 ü 技術適性のある担当外の案件に途中参加して新たな活躍機会が⽣まれる 23 *株式会社リクルート ⻄村直樹，数理最適化技術活⽤のための取り組みと事例 https://speakerdeck.com/recruitengineers/techmeetup4-nishimura 事業領域外 分析者 担当分析者 ディレクター 専⾨家 (⼤学教員) 最適化チームとして機能 専⾨家 (⼤学教員) 担当分析者
24. 現実問題における課題と対策 • ⽬標の設定︓コストの最⼩化や利益の最⼤化だけが⽬的ではない．現 場の計画担当者の作業を⾃動化・⽀援することで，意思決定の質と速 度を上げるさらには業務改⾰の実現が期待できる． • データの取得と利⽤︓現場の計画担当者に⼊⼒データを取得・作成す る新たな業務が⽣じるのは本末転倒． • 最適化問題の定式化︓必要な情報の多くは，⽇々業務に取り組む計画 担当者には改めて話題に挙げるまでもない常識． • 暫定的な計画案を提⽰することは，現場の計画担当者から最適化問題 の定式化に必要な情報を引き出すための⼿段だと割り切る． • 簡単な最適化問題から始めてインタビューと再検討を繰り返しつつ最 適化問題を完成に近づける． 24 ⾒積り回答に 数⽇かかる 顧客 営業 計画担当者 ⾒積り回答が 迅速に︕ 計画担当者の 負担を軽減 顧客 営業 システム 計画担当者の 負担が⼤きい
25. ⽬標の設定 • 現実問題の解決に関わる意思決定者の利害の衝突を事前に調整する． • 費⽤や売上を改善する計画案を作成することが⽬標か︖現場の計画担 当者の作業を⾃動化・⽀援することが⽬標か︖ • 計画業務の⾃動化により，多様な状況下でのシミュレーション，ス テークホルダー間のコミュニケーション効率化などが可能になる． • 複数の業務から構成される⼤規模な事業の全体を最適化しようとして も，意思決定者が多く⽬標の設定すらおぼつかないこともある． 25 研究者 コンサルタント 責任者・経営者 計画担当者 複数の意思決定者のインセンティブを 踏まえた落とし所を⾒つける 意思決定者が増えるとコミュニケー ションコストは急激に増⼤する ⽣産 物流 ⼩売 ⽣産 物流 ⼩売 横串通して全体最適化 したいとは⾔うものの
26. データの取得と利⽤ • 現場の計画担当者に⼊⼒データを取得・作成する新たな業務が⽣じる のは本末転倒． • データを取得できる環境が整備されていないなら，まずはそのプロ ジェクトを⽴ち上げることを勧めるべき． • 取得したデータを可視化するだけでも業務の改善につながる多くの知 ⾒が得られる． • 現実のデータが必要というわけではなく，提案⼿法を検証できる現実 的なデータであれば良い． • 取得したデータには⽋損や誤りが含まれるだけではなく，業務のあら ゆる段階で改変が⽣じる可能性がある． 26 ビッグデータ AI(機械学習) 数理最適化 現状把握・可視化 Descriptive(記述的) 要因・予測分析 Predictive(予測的) 意思決定・計画策定 Prescriptive(処⽅的) 前段階が滞りなく実施できることが前提
27. 最適化問題の定式化 • 最適化問題の定式化に必要な情報の多くは，⽇々業務に取り組む計画 担当者には改めて話題に挙げるまでもない常識． • コンサルタントが慎重にインタビューを重ねても必要な情報を引き出 すことはなお困難． • 暫定的な計画案を提⽰することは，現場の計画担当者から最適化問題 の定式化に必要な情報を引き出すための⼿段だと割り切る． • 限られた期間で最適化問題の定式化を繰り返し再検討するために，ア ルゴリズムの開発・修正にかかる⼿間を減らすことが重要． 27 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 アルゴリズムの 開発・適⽤ 分析・検証 最適化問題(+アルゴリズム)の修正
28. 最適化問題の定式化 • 簡単な最適化問題から始めてインタビューと再検討を繰り返しつつ 最適化問題を完成に近づける． • いきなり複雑な最適化問題を定式化することは困難． • ⼊⼒データの項⽬を抑えることが期待できる． • 現場の計画担当者が挙げる要件を絶対制約と考慮制約に分類できる． • 実⾏可能解が得られない場合に原因となる制約を特定し易くなる． • 計画担当者が過去に作成した計画案を⼊⼿できれば要件の整理に⼤い に役⽴つ． 28 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 アルゴリズムの 開発・適⽤ 分析・検証 最適化問題(+アルゴリズム)の修正
29. システムの実装と導⼊ • 現場の計画担当者が，明らかに実⾏不能な⼊⼒データを与えることは 少なくない． • (1)最⼩限の要件を満たす解を求める最適化問題と，(2)全ての要件を 満たす解を求める最適化問題の2段階に分けて求解すると，短時間で ⼊⼒データの不具合を特定し易い． • 現場の計画担当者だけがシステムの利⽤者とは限らない．営業さらに はマネジメント層が利⽤することも視野に⼊れる． • 営業が⾒積り回答のために計画案を作成するなら，最⼩限の要件を満 たす解を求めるだけで良いこともある． • 計画案を可視化してフィードバックを得る環境を整える． 29 ⾒積り回答の ための計画案 顧客 営業 計画担当者 最低限の要件 のみを考慮 全ての要件 を考慮 顧客 営業 計画担当者 システム 運⽤のための 計画案
30. 講演の概要 • 数理最適化による問題解決 • 数理最適化を活⽤した問題解決の実現 • 数理最適化の普及および専⾨家の育成 • 数理最適化の活⽤を促進する基盤技術の開発 30
31. 数理最適化の普及と専⾨家の育成 • 2020年10⽉に講談社より『しっかり学ぶ数理最適化︓モデルからア ルゴリズムまで』を出版． • ブレインパッド，富⼠通，リクルート，商船三井システムズなど9社 にて，数理最適化に関する連続セミナーを実施． • 富⼠通では，14回のセミナーを実施し，各回平均で100名以上の参 加者を集めた． • ブレインパッドやリクルートでは，連続セミナーの開催に加えて社内 勉強会にもオブザーバーで参加． • 2022年6⽉にOR学会セミナー「メタヒューリスティクスの設計と実 装」を企画し，160名以上の参加者を集めた． • 教育普及と研究開発を相互に連動させることは，産学連携活動の継続 と拡⼤に⾮常に効果的． • 幅広い層に対応するための多様なカリキュラムが必要． 31
32. 数理最適化の普及と専⾨家の育成 • ⼤学だけではなく企業にも数理最適化の専⾨家を増やしたいが，研究 室から輩出できる学⽣の数は限られる． • 18歳⼈⼝の減少にともなう専⾨教育市場の縮⼩に対応するには︖ • 社会⼈博⼠やMBAは就業時間外に受講するため個⼈の負担が⼤きい． • データサイエンス・AIは競合が⽣じつつあり，数理最適化により付加 価値を提供できるメリットは⼤きい． • IT分野では社内外の勉強会が盛んで専⾨教育に対する関⼼は⾼い． • データサイエンス・AIの業務に従事する企業のエンジニアやコンサル タントに数理最適化を指導する． • 企業での研修や勉強会など就業時間内に専⾨教育を実施する． 32 18歳⼈⼝ 18歳⼈⼝ 18歳⼈⼝ 社会⼈
33. 数理最適化の普及と専⾨家の育成 • 新規事業の開拓につながる技術開発に取り組むには，企業の研究者・ 技術者がこれまでに経験のない専⾨分野の知識を習得する必要がある． • 共同研究だけでは⻑続きしない．専⾨教育を並⾏することで取り組み の継続と拡⼤が期待できる． • 数理最適化を活⽤するにはエキスパートだけを育成すれば良いわけで はない．Lv1-2の⼈材を増やし裾野を広げることが普及に不可⽋． Lv1︓数理最適化の概要と応⽤事例が分かる． Lv2︓最適化問題の定式化，数理最適化ソルバーの利⽤ができる． Lv3︓最適化アルゴリズムの設計・実装ができる． 33 コンサルタント データサイエンティスト エンジニア Lv2 Lv3 Lv1 営業 マネージャー クライアント 専⾨教育 共同研究 ⼈事部を巻き込んで継続 開発部⾨から事業部への拡⼤
34. 講演の概要 • 数理最適化による問題解決 • 数理最適化を活⽤した問題解決の実現 • 数理最適化の普及および専⾨家の育成 • 数理最適化の活⽤を促進する基盤技術の開発 34
35. 数理最適化の活⽤を促進する基盤技術の開発 • ⼤規模な2値整数計画問題に対する効率的な重み付き局所探索法． • 2021年3⽉にNTTデータ数理システムの汎⽤数理最適化パッケージ Nuorium Optimizerのアルゴリズムの1つとして製品化． • 産業や学術の幅広い分野における現実問題の迅速な解決． • 実⽤性とは何か︖「最適化問題の修正」「アルゴリズムの開発」に かかる⼿間を削減することが最も重要な課題． • データ基盤の拡充にともなう超⼤規模最適化問題への対応． • モデルだけではなくデータに着⽬した最適化のための機械学習． 35 「実⽤性とは何か︖」を追求する アルゴリズムの 開発と適⽤ 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 分析・検証 最適化問題の修正
36. 最適化のための機械学習 • 汎⽤的な組合せ最適化問題はアルゴリズム性能向上に利⽤できる構造 がない︖ • 個々の現実問題の⼊⼒データは特徴的な構造を持った部分の組合せと なる場合がほとんど． • ⼊⼒データの特徴を事前知識として利⽤できれば，理論的に計算困難 な問題でも実⽤的に優れたアルゴリズムを開発できる． 36 データ(instance) 問題(problem) 問題に良い構造が ないから難しいよ︕ NP困難問題だしなあ 任意のデータを考えればNP困難 だけど，与えられたデータの問題 例が難しいとは限らないですよ x1 x98 x809 x701 x141 x765 x749 x784 x365 x662 x2 x186 x810 x99 x303 x275 x291 x247 x204 x766 x825 x750 x785 x142 x663 x148 x702 x241 x1040 x417 x3 x100 x811 x304 x187 x78 x143 x703 x891 x767 x826 x751 x786 x418 x657 x205 x292 x276 x995 x391 x166 x682 x4 x79 x491 x85 x1064 x101 x658 x167 x188 x392 x833 x426 x368 x463 x775 x10 x398 x689 x173 x382 x160 x758 x1186 x144 x704 x892 x665 x5 x102 x813 x705 x492 x369 x893 x828 x769 x753 x788 x145 x659 x427 x834 x997 x6 x493 x1066 x731 x208 x777 x428 x162 x760 x685 x394 x7 x494 x309 x104 x86 x370 x429 x475 x424 x707 x395 x170 x11 x690 x174 x8 x495 x87 x105 x708 x83 x430 x371 x476 x642 x1127 x12 x175 x668 x691 x896 x310 x171 x396 x461 x192 x9 x496 x311 x106 x193 x84 x431 x372 x477 x643 x267 x381 x709 x1014 x254 x283 x298 x210 x664 x688 x397 x172 x194 x497 x735 x284 x211 x958 x299 x432 x763 x561 x108 x821 x711 x373 x836 x761 x779 x1190 x1070 x196 x388 x764 x287 x301 x212 x499 x13 x500 x274 x416 x435 x185 x900 x14 x109 x318 x712 x1151 x901 x260 x601 x437 x15 x199 x502 x110 x319 x375 x866 x1115 x242 x153 x713 x261 x602 x438 x16 x827 x111 x714 x277 x768 x752 x1179 x787 x200 x320 x376 x671 x293 x903 x1153 x17 x112 x1074 x201 x155 x715 x278 x504 x1180 x868 x244 x1117 x18 x1075 x113 x202 x829 x420 x279 x716 x322 x378 x869 x245 x1118 x754 x770 x789 x19 x203 x114 x487 x1119 x830 x20 x831 x323 x281 x1077 x756 x816 x773 x790 x191 x907 x972 x507 x772 x21 x115 x508 x1078 x324 x717 x154 x56 x282 x444 x832 x871 x22 x116 x509 x718 x325 x1079 x1185 x818 x792 x672 x675 x445 x1030 x425 x774 x23 x117 x510 x326 x1080 x676 x719 x1142 x873 x1143 x446 x1035 x1159 x272 x910 x58 x24 x118 x1081 x835 x157 x383 x720 x776 x1187 x1188 x251 x1125 x874 x25 x209 x286 x513 x253 x876 x794 x300 x195 x912 x448 x1051 x26 x514 x119 x329 x449 x385 x1146 x722 x837 x450 x877 x1147 x1037 x913 x1161 x27 x723 x120 x330 x288 x386 x679 x677 x1148 x451 x1019 x914 x1162 x467 x28 x289 x331 x915 x948 x453 x1150 x839 x29 x121 x290 x726 x686 x389 x30 x122 x846 x520 x727 x339 x390 x994 x917 x455 x1164 x647 x681 x687 x31 x847 x728 x1091 x123 x221 x408 x1158 x791 x803 x521 x32 x124 x222 x522 x1092 x729 x1166 x919 x457 x584 x33 x125 x730 x523 x342 x223 x684 x393 x458 x920 x1160 x1016 x464 x849 x36 x527 x128 x226 x345 x734 x588 x851 x654 x807 x37 x129 x736 x1099 x227 x926 x1173 x399 x38 x1102 x130 x532 x214 x797 x738 x402 x470 x39 x739 x1103 x853 x131 x176 x692 x403 x215 x533 x798 x348 x40 x534 x740 x132 x349 x854 x472 x404 x799 x693 x230 x367 x471 x1165 x41 x741 x1105 x350 x855 x133 x694 x405 x217 x535 x800 x231 x42 x134 x856 x351 x742 x179 x1167 x232 x473 x294 x695 x43 x135 x858 x353 x743 x538 x234 x1169 x802 x1170 x44 x744 x136 x1109 x354 x539 x235 x178 x181 x804 x1000 x1034 x859 x409 x1171 x1048 x596 x45 x355 x137 x860 x540 x236 x1110 x182 x745 x974 x410 x478 x1172 x1015 x1049 x805 x46 x138 x861 x356 x746 x237 x183 x699 x696 x47 x238 x139 x862 x543 x1112 x413 x357 x747 x806 x480 x1174 x48 x748 x140 x863 x358 x239 x1038 x49 x302 x481 x50 x1072 x656 x77 x51 x360 x483 x1041 x629 x482 x1073 x52 x419 x305 x884 x484 x503 x812 x53 x362 x631 x990 x1043 x306 x485 x54 x146 x263 x421 x660 x1137 x886 x307 x486 x1076 x55 x771 x264 x755 x1138 x887 x147 x265 x889 x1139 x488 x489 x1012 x57 x266 x890 x366 x619 x490 x248 x606 x1140 x149 x249 x1141 x340 x554 x59 x150 x268 x312 x250 x608 x206 x1123 x555 x60 x1082 x269 x1124 x1031 x61 x151 x270 x667 x895 x1145 x641 x314 x62 x152 x1085 x1018 x315 x271 x515 x1191 x780 x63 x781 x1086 x838 x560 x64 x273 x434 x257 x1149 x899 x1054 x628 x65 x1055 x442 x246 x374 x1120 x423 x308 x66 x443 x1056 x670 x67 x1057 x1122 x607 x1042 x68 x1058 x377 x872 x69 x1059 x156 x207 x673 x70 x447 x379 x674 x327 x512 x71 x1062 x252 x380 x1126 x313 x1013 x72 x1063 x159 x757 x328 x73 x1128 x567 x74 x161 x759 x255 x878 x819 x1065 x1129 x1050 x511 x568 x75 x1067 x256 x571 x1130 x945 x76 x163 x1068 x1131 x518 x762 x165 x454 x332 x519 x883 x683 x80 x168 x189 x81 x169 x190 x363 x336 x82 x296 x460 x127 x526 x297 x1001 x528 x341 x572 x732 x344 x400 x733 x737 x88 x407 x967 x1028 x537 x1046 x89 x177 x595 x90 x583 x969 x848 x91 x92 x180 x411 x474 x93 x412 x697 x542 x1017 x587 x94 x698 x598 x795 x95 x414 x544 x911 x96 x415 x700 x184 x545 x97 x888 x462 x904 x937 x953 x905 x971 x954 x103 x706 x894 x666 x909 x466 x897 x107 x710 x898 x669 x498 x865 x1177 x867 x1116 x243 x441 x505 x793 x880 x220 x582 x585 x651 x126 x34 x343 x525 x586 x999 x465 x35 x850 x1020 x347 x1006 x1008 x592 x593 x844 x1135 x636 x918 x935 x1045 x506 x1011 x158 x1061 x611 x817 x1053 x678 x384 x724 x721 x164 x680 x725 x1069 x334 x959 x530 x1121 x870 x1029 x1152 x902 x1154 x1009 x1095 x922 x338 x908 x1157 x923 x559 x941 x973 x924 x612 x942 x626 x985 x1036 x925 x627 x927 x977 x563 x197 x864 x1113 x240 x198 x1114 x600 x259 x603 x262 x422 x618 x213 x576 x840 x987 x961 x796 x882 x1021 x841 x333 x1007 x1023 x578 x989 x952 x216 x335 x1104 x1025 x1010 x1155 x991 x965 x1044 x218 x801 x1026 x845 x1106 x857 x604 x992 x219 x993 x557 x640 x594 x982 x224 x652 x570 x983 x597 x1003 x976 x228 x620 x649 x980 x621 x650 x981 x996 x1047 x1052 x625 x653 x984 x614 x1002 x613 x479 x1004 x258 x1132 x1133 x1134 x885 x1136 x949 x591 x565 x951 x955 x562 x929 x1022 x551 x934 x564 x1027 x637 x968 x566 x556 x639 x950 x843 x440 x921 x280 x906 x1156 x337 x998 x459 x558 x940 x1033 x285 x944 x529 x574 x575 x978 x590 x979 x229 x589 x646 x946 x1005 x1039 x814 x524 x617 x623 x316 x433 x823 x782 x1193 x317 x436 x501 x546 x928 x630 x547 x548 x930 x321 x516 x573 x783 x1194 x456 x957 x346 x468 x517 x469 x966 x552 x635 x352 x1168 x938 x406 x295 x359 x361 x577 x579 x1024 x364 x553 x581 x605 x638 x936 x439 x622 x387 x879 x824 x970 x1098 x401 x531 x648 x536 x624 x1111 x956 x655 x986 x549 x632 x931 x550 x633 x932 x1184 x822 x452 x615 x1087 x960 x1178 x943 x644 x975 x1032 x233 x541 x225 x962 x963 x964 x580 x634 x933 x645 x569 x875 x599 x916 x609 x610 x939 x616 x947 x661 x1060 x1084 x1192 x1088 x815 x1183 x778 x820 x1083 x1189 x1090 x842 x1093 x1094 x1096 x1097 x1100 x1101 x852 x1163 x1108 x808 x1175 x881 x988 x1071 x1089 x1107 x1144 x1176 x1181 x1182 データに潜む構造を使えば 上⼿く解けるんじゃない︖
37. アルゴリズムの⾃動構成 • 重み付き局所探索法をひな形に汎⽤的なヒューリスティクスを構築． • ⼊⼒データから性能向上に役⽴つ特徴的な問題構造を抽出． • 問題構造に応じて実⾏時にアルゴリズムの構成と設定を⾃動決定． • データマイニングと数理最適化の技術を融合することで，汎⽤的かつ ⾼性能な数理最適化ソルバーを実現． 37 a b c d e 汎⽤的な組合せ最適化問題 アルゴリズム ⼊⼒データの特徴 的な構造を抽出 実⾏時にアルゴリズムの 設定と構成を決定 現実世界 アルゴリズムの部品 データマイニングを利⽤した数理最適化アプローチ
38. 2値整数計画問題に対する重み付き局所探索法 • 幅広い組合せ最適化問題を定式化できる2値整数計画問題に対応 • 複数の変数を同時に反転する近傍操作に基づく局所探索法 • 変数間の関係に着⽬した探索空間の絞り込み • 適応的なペナルティ重みの調整による実⾏可能解の探索 • 補助記憶を利⽤した評価関数の効率的な計算 38 1-flip neighborhood search start 2-flip neighborhood search (3,4)-flip neighborhood search exit Update penalty weight Local search
39. 離散構造を考慮した局所探索法 • 離散構造は特徴的な制約式の組合せで表される． → 割当制約，ナップサック制約，フロー制約など • 専⽤解法の基本操作は整数計画問題では多くの変数を同時に反転する 操作になる． • k個の変数を同時に反転して得られる解候補の数はO(nk)個なので， 全ての解候補を⾛査するのは効率が悪い． 39 割当制約に対する交換近傍操作
40. 離散構造を考慮した局所探索法 • 離散構造は特徴的な制約式の組合せで表される． → 割当制約，ナップサック制約，フロー制約など • 専⽤解法の基本操作は整数計画問題では多くの変数を同時に反転する 操作になる． • k個の変数を同時に反転して得られる解候補の数はO(nk)個なので， 全ての解候補を⾛査するのは効率が悪い． 40 2つの0-1変数を 同時にフリップ X i xik = X j xkj xik xkj j k xkj' xkj i j k フロー制約に対する近傍操作 xik xkj 4つの0-1変数を 同時にフリップ i i j k kʼ jʼ xik' xk'j
41. 近傍グラフによる探索空間の縮⼩ • 同時に反転すると改善解が得られる可能性の⾼い変数の組合せを 効率良く⾒付けたい． • 同じ制約に同時に現れる頻度が⾼い2つの変数を同時に反転すると 改善解が得られ易い． • ⼊⼒データから特殊な制約に同時に現れる変数の組合せを解析して ネットワークを⽣成する ← データマイニングにおける近傍探索* 41 同じ制約条件に同時に 現れる頻度が⾼い 変数間の関係を表すk-近傍グラフ x1 x98 x809 x701 x141 x765 x749 x784 x365 x662 x2 x186 x810 x99 x303 x275 x291 x247 x204 x766 x825 x750 x785 x142 x663 x148 x702 x241 x1040 x417 x3 x100 x811 x304 x187 x78 x143 x703 x891 x767 x826 x751 x786 x418 x657 x205 x292 x276 x995 x391 x166 x682 x4 x79 x491 x85 x1064 x101 x658 x167 x188 x392 x833 x426 x368 x463 x775 x10 x398 x689 x173 x382 x160 x758 x1186 x144 x704 x892 x665 x5 x102 x813 x705 x492 x369 x893 x828 x769 x753 x788 x145 x659 x427 x834 x997 x6 x493 x1066 x731 x208 x777 x428 x162 x760 x685 x394 x7 x494 x309 x104 x86 x370 x429 x475 x424 x707 x395 x170 x11 x690 x174 x8 x495 x87 x105 x708 x83 x430 x371 x476 x642 x1127 x12 x175 x668 x691 x896 x310 x171 x396 x461 x192 x9 x496 x311 x106 x193 x84 x431 x372 x477 x643 x267 x381 x709 x1014 x254 x283 x298 x210 x664 x688 x397 x172 x194 x497 x735 x284 x211 x958 x299 x432 x763 x561 x108 x821 x711 x373 x836 x761 x779 x1190 x1070 x196 x388 x764 x287 x301 x212 x499 x13 x500 x274 x416 x435 x185 x900 x14 x109 x318 x712 x1151 x901 x260 x601 x437 x15 x199 x502 x110 x319 x375 x866 x1115 x242 x153 x713 x261 x602 x438 x16 x827 x111 x714 x277 x768 x752 x1179 x787 x200 x320 x376 x671 x293 x903 x1153 x17 x112 x1074 x201 x155 x715 x278 x504 x1180 x868 x244 x1117 x18 x1075 x113 x202 x829 x420 x279 x716 x322 x378 x869 x245 x1118 x754 x770 x789 x19 x203 x114 x487 x1119 x830 x20 x831 x323 x281 x1077 x756 x816 x773 x790 x191 x907 x972 x507 x772 x21 x115 x508 x1078 x324 x717 x154 x56 x282 x444 x832 x871 x22 x116 x509 x718 x325 x1079 x1185 x818 x792 x672 x675 x445 x1030 x425 x774 x23 x117 x510 x326 x1080 x676 x719 x1142 x873 x1143 x446 x1035 x1159 x272 x910 x58 x24 x118 x1081 x835 x157 x383 x720 x776 x1187 x1188 x251 x1125 x874 x25 x209 x286 x513 x253 x876 x794 x300 x195 x912 x448 x1051 x26 x514 x119 x329 x449 x385 x1146 x722 x837 x450 x877 x1147 x1037 x913 x1161 x27 x723 x120 x330 x288 x386 x679 x677 x1148 x451 x1019 x914 x1162 x467 x28 x289 x331 x915 x948 x453 x1150 x839 x29 x121 x290 x726 x686 x389 x30 x122 x846 x520 x727 x339 x390 x994 x917 x455 x1164 x647 x681 x687 x31 x847 x728 x1091 x123 x221 x408 x1158 x791 x803 x521 x32 x124 x222 x522 x1092 x729 x1166 x919 x457 x584 x33 x125 x730 x523 x342 x223 x684 x393 x458 x920 x1160 x1016 x464 x849 x36 x527 x128 x226 x345 x734 x588 x851 x654 x807 x37 x129 x736 x1099 x227 x926 x1173 x399 x38 x1102 x130 x532 x214 x797 x738 x402 x470 x39 x739 x1103 x853 x131 x176 x692 x403 x215 x533 x798 x348 x40 x534 x740 x132 x349 x854 x472 x404 x799 x693 x230 x367 x471 x1165 x41 x741 x1105 x350 x855 x133 x694 x405 x217 x535 x800 x231 x42 x134 x856 x351 x742 x179 x1167 x232 x473 x294 x695 x43 x135 x858 x353 x743 x538 x234 x1169 x802 x1170 x44 x744 x136 x1109 x354 x539 x235 x178 x181 x804 x1000 x1034 x859 x409 x1171 x1048 x596 x45 x355 x137 x860 x540 x236 x1110 x182 x745 x974 x410 x478 x1172 x1015 x1049 x805 x46 x138 x861 x356 x746 x237 x183 x699 x696 x47 x238 x139 x862 x543 x1112 x413 x357 x747 x806 x480 x1174 x48 x748 x140 x863 x358 x239 x1038 x49 x302 x481 x50 x1072 x656 x77 x51 x360 x483 x1041 x629 x482 x1073 x52 x419 x305 x884 x484 x503 x812 x53 x362 x631 x990 x1043 x306 x485 x54 x146 x263 x421 x660 x1137 x886 x307 x486 x1076 x55 x771 x264 x755 x1138 x887 x147 x265 x889 x1139 x488 x489 x1012 x57 x266 x890 x366 x619 x490 x248 x606 x1140 x149 x249 x1141 x340 x554 x59 x150 x268 x312 x250 x608 x206 x1123 x555 x60 x1082 x269 x1124 x1031 x61 x151 x270 x667 x895 x1145 x641 x314 x62 x152 x1085 x1018 x315 x271 x515 x1191 x780 x63 x781 x1086 x838 x560 x64 x273 x434 x257 x1149 x899 x1054 x628 x65 x1055 x442 x246 x374 x1120 x423 x308 x66 x443 x1056 x670 x67 x1057 x1122 x607 x1042 x68 x1058 x377 x872 x69 x1059 x156 x207 x673 x70 x447 x379 x674 x327 x512 x71 x1062 x252 x380 x1126 x313 x1013 x72 x1063 x159 x757 x328 x73 x1128 x567 x74 x161 x759 x255 x878 x819 x1065 x1129 x1050 x511 x568 x75 x1067 x256 x571 x1130 x945 x76 x163 x1068 x1131 x518 x762 x165 x454 x332 x519 x883 x683 x80 x168 x189 x81 x169 x190 x363 x336 x82 x296 x460 x127 x526 x297 x1001 x528 x341 x572 x732 x344 x400 x733 x737 x88 x407 x967 x1028 x537 x1046 x89 x177 x595 x90 x583 x969 x848 x91 x92 x180 x411 x474 x93 x412 x697 x542 x1017 x587 x94 x698 x598 x795 x95 x414 x544 x911 x96 x415 x700 x184 x545 x97 x888 x462 x904 x937 x953 x905 x971 x954 x103 x706 x894 x666 x909 x466 x897 x107 x710 x898 x669 x498 x865 x1177 x867 x1116 x243 x441 x505 x793 x880 x220 x582 x585 x651 x126 x34 x343 x525 x586 x999 x465 x35 x850 x1020 x347 x1006 x1008 x592 x593 x844 x1135 x636 x918 x935 x1045 x506 x1011 x158 x1061 x611 x817 x1053 x678 x384 x724 x721 x164 x680 x725 x1069 x334 x959 x530 x1121 x870 x1029 x1152 x902 x1154 x1009 x1095 x922 x338 x908 x1157 x923 x559 x941 x973 x924 x612 x942 x626 x985 x1036 x925 x627 x927 x977 x563 x197 x864 x1113 x240 x198 x1114 x600 x259 x603 x262 x422 x618 x213 x576 x840 x987 x961 x796 x882 x1021 x841 x333 x1007 x1023 x578 x989 x952 x216 x335 x1104 x1025 x1010 x1155 x991 x965 x1044 x218 x801 x1026 x845 x1106 x857 x604 x992 x219 x993 x557 x640 x594 x982 x224 x652 x570 x983 x597 x1003 x976 x228 x620 x649 x980 x621 x650 x981 x996 x1047 x1052 x625 x653 x984 x614 x1002 x613 x479 x1004 x258 x1132 x1133 x1134 x885 x1136 x949 x591 x565 x951 x955 x562 x929 x1022 x551 x934 x564 x1027 x637 x968 x566 x556 x639 x950 x843 x440 x921 x280 x906 x1156 x337 x998 x459 x558 x940 x1033 x285 x944 x529 x574 x575 x978 x590 x979 x229 x589 x646 x946 x1005 x1039 x814 x524 x617 x623 x316 x433 x823 x782 x1193 x317 x436 x501 x546 x928 x630 x547 x548 x930 x321 x516 x573 x783 x1194 x456 x957 x346 x468 x517 x469 x966 x552 x635 x352 x1168 x938 x406 x295 x359 x361 x577 x579 x1024 x364 x553 x581 x605 x638 x936 x439 x622 x387 x879 x824 x970 x1098 x401 x531 x648 x536 x624 x1111 x956 x655 x986 x549 x632 x931 x550 x633 x932 x1184 x822 x452 x615 x1087 x960 x1178 x943 x644 x975 x1032 x233 x541 x225 x962 x963 x964 x580 x634 x933 x645 x569 x875 x599 x916 x609 x610 x939 x616 x947 x661 x1060 x1084 x1192 x1088 x815 x1183 x778 x820 x1083 x1189 x1090 x842 x1093 x1094 x1096 x1097 x1100 x1101 x852 x1163 x1108 x808 x1175 x881 x988 x1071 x1089 x1107 x1144 x1176 x1181 x1182 *この「近傍探索」は機械学習における類似データの探索を指す．
42. 近傍グラフによる探索の集中化 • 各変数xj について同じ制約に同時に現れる変数を列挙． • ivu06-big(約227万変数)など変数が⾮常に多い問題例は少なくない． • 組合せの数がn2(nは変数の数)となるので，xj と同時に現れる頻度の ⾼い変数のみを残して近傍グラフを構成． • 多くの計算時間を要するので，変数xj を反転する際に近傍グラフの 必要な部分のみ遅延⽣成する ← 実際に利⽤されるのは⼀部分だけ 42 x1 x98 x809 x701 x141 x765 x749 x784 x365 x662 x2 x186 x810 x99 x303 x275 x291 x247 x204 x766 x825 x750 x785 x142 x663 x148 x702 x241 x1040 x417 x3 x100 x811 x304 x187 x78 x143 x703 x891 x767 x826 x751 x786 x418 x657 x205 x292 x276 x995 x391 x166 x682 x4 x79 x491 x85 x1064 x101 x658 x167 x188 x392 x833 x426 x368 x463 x775 x10 x398 x689 x173 x382 x160 x758 x1186 x144 x704 x892 x665 x5 x102 x813 x705 x492 x369 x893 x828 x769 x753 x788 x145 x659 x427 x834 x997 x6 x493 x1066 x731 x208 x777 x428 x162 x760 x685 x394 x7 x494 x309 x104 x86 x370 x429 x475 x424 x707 x395 x170 x11 x690 x174 x8 x495 x87 x105 x708 x83 x430 x371 x476 x642 x1127 x12 x175 x668 x691 x896 x310 x171 x396 x461 x192 x9 x496 x311 x106 x193 x84 x431 x372 x477 x643 x267 x381 x709 x1014 x254 x283 x298 x210 x664 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43. 近傍グラフを利⽤した⼤規模近傍探索 • 1-flip近傍操作だけでは精度の良い解は得られない． • 変数が⾮常に多い問題例では，多数の変数を同時に反転する近傍操作 は時間がかかり過ぎる． • 2-flip近傍操作はネットワークの辺にある変数の組合せのみ適⽤する． • 2-flip近傍操作で改善しなかったものの有望な組合せを記憶しておき， これらを組合せて(3,4)-flip近傍操作を実現する． 43 x998 x1032 x610 x939 x1 x98 x809 x701 x141 x765 x749 x784 x365 x662 x2 x186 x810 x99 x303 x275 x291 x247 x204 x766 x825 x750 x785 x142 x663 x148 x702 x241 x1040 x417 x3 x100 x811 x304 x187 x78 x143 x703 x891 x767 x826 x751 x786 x418 x657 x205 x292 x276 x995 x391 x166 x682 x4 x79 x491 x85 x1064 x101 x658 x167 x188 x392 x833 x426 x368 x463 x775 x10 x398 x689 x173 x382 x160 x758 x1186 x144 x704 x892 x665 x5 x102 x813 x705 x492 x369 x893 x828 x769 x753 x788 x145 x659 x427 x834 x997 x6 x493 x1066 x731 x208 x777 x428 x162 x760 x685 x394 x7 x494 x309 x104 x86 x370 x429 x475 x424 x707 x395 x170 x11 x690 x174 x8 x495 x87 x105 x708 x83 x430 x371 x476 x642 x1127 x12 x175 x668 x691 x896 x310 x171 x396 x461 x192 x9 x496 x311 x106 x193 x84 x431 x372 x477 x643 x267 x381 x709 x1014 x254 x283 x298 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44. データの再利⽤に基づく数理最適化 • 現実世界から収集された⼤規模なデータに基づく最適化問題では多 くの共通部分を持つ⼊⼒データが繰返し与えられる場合が多い． • 最短路問題では出発・⽬的地は変化する⼀⽅で地図データの変更は ほとんど⽣じないため，地図データを縮約した補助データを利⽤す ることで探索を⾼速化できる． • 多くの⼊⼒データに現れる共通部分からアルゴリズムの性能向上に 役⽴つ情報を抽出・縮約した補助データを利⽤し探索空間を絞込む． 44 ⼊⼒データ 最適化 解（出⼒） ⼀般的な最適化アルゴリズム ⼊⼒データ（不変） ⼊⼒データ（可変） 最適化 機械学習 解（出⼒） 補助データ 情報検索におけるインデックスの 構築と利⽤を考えれば分り易い︖ 補助データを利⽤した最適化アルゴリズム バックグラウンド実⾏ 応答時間＝計算時間 応答時間 << 計算時間
45. まとめ • 数理最適化寄附講座のあらまし → 企業に数理最適化の専⾨家を増やす → 研究開発だけではない専⾨教育を通じた産学連携 • 数理最適化を活⽤した問題解決の実現 → 汎⽤の数理最適化ソルバーを利⽤した最適化モデリング → 数理最適化を継続的に活⽤するためのチーム作り → 現実問題における課題と対策 • 数理最適化の普及および専⾨家の育成 → 企業内での研修の⼀環として連続セミナーを開催 → 開発者から利⽤者まで幅広い層に対応する多様なカリキュラム • 数理最適化の活⽤を促進する基盤技術の開発 → 「最適化問題の修正」「アルゴリズムの開発」にかかる⼿間を 削減するための汎⽤ソルバーの開発 → モデルだけではなくデータに着⽬した最適化のための機械学習 → データ基盤の拡充にともなう超⼤規模な最適化問題への対応 45
46. 参考⽂献 • 梅⾕俊治，しっかり学ぶ数理最適化︓モデルからアルゴリズムまで，講談社，2020． • T. Ibaraki, A personal perspective on solving by general purpose solvers, International Transactions in Operational Research, 17 (2003), 303-315. • 梅⾕俊治，組合せ最適化による問題解決の実践的なアプローチ，オペレーションズ・ リサーチ，66 (2021)，362-366． • 坂本淳⼦, ⼤野修平, 永橋幸⼤, 鈴⽊保乃加, 梅⾕俊治，⾃動⾞船の運航業務に数理最適 化を適⽤するための実践的なアプローチ, オペレーションズ・リサーチ 66 (2021), 414-421. • S. Umetani, Exploiting variable associations to configure efficient local search algorithm in large-scale binary integer programs, European Journal of Operational Research, 263 (2017), 72-81. (open access) • S. Umetani, Exploiting variable associations to configure efficient local search algorithm in large-scale set partitioning problems, Proc. of 29th AAAI Conference on Artificial Intelligence (AAAI-15), 1226-1232. 46