2024年度春学期　応用数学（解析）第8回　2階線形微分方程式（2） (2024. 5. 30)

関西大学総合情報学部浅野　晃応用数学（解析） 2024年度春学期第２部・基本的な微分方程式／第8回 2階線形微分方程式(2)

27 2 ２階線形微分方程式（復習）🤔🤔

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃２階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ +
Q(t)x = R(t)

Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］そうではないのが［非斉次］

Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］そうではないのが［非斉次］一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0

Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］そうではないのが［非斉次］一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃２階線形微分方程式 3 一般にはとりあえず， x ≡ 0
は解［自明解］ x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］そうではないのが［非斉次］一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃２階線形微分方程式 3 一般にはとりあえず， x ≡ 0
は解［自明解］ x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］そうではないのが［非斉次］一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式それ以外には？

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃２階線形微分方程式の解 4 x′′ + ax′ + bx
= 0 x(t) = eλt とりあえずにを代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 x(t) = eλt とりあえずにを代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0

x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ　λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえずにを代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0

x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ　λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえずにを代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t

x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ　λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえずにを代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃２階線形微分方程式を解く 5 定数係数の斉次形２階線形微分方程式 x′′ + ax′
+ bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 　　をみたす λ について x = eλt は解

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃２階線形微分方程式を解く 5 定数係数の斉次形２階線形微分方程式 x′′ + ax′
+ bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 　　をみたす λ について x = eλt は解特性方程式という

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃２階線形微分方程式を解く 5 定数係数の斉次形２階線形微分方程式特性方程式の解の形によって，３パターン x′′ +
ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 　　をみたす λ について x = eλt は解特性方程式という

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃２階線形微分方程式を解く 5 定数係数の斉次形２階線形微分方程式特性方程式の解の形によって，３パターン x′′ +
ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 　　をみたす λ について x = eλt は解特性方程式という異なる２つの実数解の場合異なる２つの虚数解の場合重解の場合

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃実数解が２つの場合 6 特性方程式の異なる２つの実数解 λ1, λ2 eλ1t,
eλ2t 　微分方程式の１次独立な解一般解は　 x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t 解表　

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃実数解が２つの場合 6 特性方程式の異なる２つの実数解（つまり，最初のとおり） λ1, λ2
eλ1t, eλ2t 　微分方程式の１次独立な解一般解は　 x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t 解表　

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃虚数解が２つの場合 7 一般解は　 x(t) = C1e(α+iβ)t
+ C2e(α−iβ)t 　

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃虚数解が２つの場合 7 さらに計算すると一般解は　 x(t) =
C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　　　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　

C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　　　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　オイラーの式による eiθ = cos θ + i sin θ

C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　　　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　オイラーの式による eiθ = cos θ + i sin θ 　　 x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 　定数を置き直して，一般解は

C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　　　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　オイラーの式による eiθ = cos θ + i sin θ 　　 x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 　定数を置き直して，一般解は振動を表している

C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　　　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　オイラーの式による eiθ = cos θ + i sin θ 　　 x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 　定数を置き直して，一般解は振動を表している（次の第3部で）

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃重解の場合 8 ふつうにやると，微分方程式の解はしか出て来ない C1 eλ1 t

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解はふつうにやると，微分方程式の解はしか出て来ない C1 eλ1
t

t 　 teλ1t 　　

t 　 teλ1t 　　確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる

t 　 teλ1t 　　　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　　確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる

t 　 teλ1t 　　　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　　確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる微分方程式の左辺に代入すると

t 　 teλ1t 　　　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　　確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は
しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　　　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　　確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると

しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　　　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　　確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると特性方程式の解と係数の関係により0

しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　　　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　　確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると特性方程式の解と係数の関係により0 C1eλ1t + C2teλ1t 一般解は

しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　　　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　　確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると特性方程式の解と係数の関係により0 見つけ方は前回のテキストで（定数変化法） C1eλ1t + C2teλ1t 一般解は

27 9 非斉次形２階線形微分方程式🤔🤔

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃非斉次形２階線形微分方程式 10 前回のは x′′ + ax′ +
bx = 0

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃非斉次形２階線形微分方程式 10 前回のは x′′ + ax′ +
bx = 0 定数係数の斉次方程式

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃非斉次形２階線形微分方程式 10 今回は前回のは x′′ + ax′
+ bx = 0 定数係数の斉次方程式

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃非斉次形２階線形微分方程式 10 今回は前回のは x′′ + ax′
+ bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t)

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃非斉次形２階線形微分方程式 10 今回は［非斉次］tの式前回のは x′′ +
ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t)

ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと

ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと非斉次形の一般解＝

ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと非斉次形の一般解＝非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）

ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと非斉次形の一般解＝非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）＋対応する斉次形の一般解

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃一般的にいうと 12 を，とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す

+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　行列で

+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　行列で x′ = A(t)x + b(t)

+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　行列で x′ = A(t)x + b(t) １階線形微分方程式の形になる

+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　行列で x′ = A(t)x + b(t) １階線形微分方程式の形になる何階線形微分方程式でも，この形にできる

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃一般的にいうと 13 非斉次形 n 階線形微分方程式の一般解 x′
= A(t)x + b(t) の任意の特殊解 xp(t) と xs(t)は対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　非斉次形方程式の一般解 xh(t) の和で表される。 xs(t) = xh(t) + xp(t)

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃一般的にいうと 13 非斉次形 n 階線形微分方程式の一般解 x′
= A(t)x + b(t) の任意の特殊解 xp(t) と xs(t)は対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　非斉次形方程式の一般解 xh(t) の和で表される。 xs(t) = xh(t) + xp(t) 何階微分方程式でも定数係数でなくても

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t)
　の解であることを確かめる非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) がまず

　の解であることを確かめる非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入まず

　の解であることを確かめる非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) まず

　の解であることを確かめる非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ まず

　の解であることを確かめる非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ まず斉次形 x′ = A(t)x

　の解であることを確かめる非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ まず斉次形非斉次形 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　

　の解であることを確かめる非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ = (xs(t))′ まず斉次形非斉次形 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　

　の解であることを確かめる非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ = (xs(t))′ （左辺）まず斉次形非斉次形 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　

　の解であることを確かめる非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) 本当に一般解か？どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？が右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ = (xs(t))′ （左辺）まず斉次形非斉次形 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　

　非斉次形方程式の一般解 xs(t) についてどんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

　非斉次形方程式任意の初期値 xs(t0) = x0 　　を考えるの一般解 xs(t) についてどんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

　非斉次形方程式任意の初期値 xs(t0) = x0 　　を考えるの一般解 xs(t) についてこのとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) についてどんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

　非斉次形方程式任意の初期値 xs(t0) = x0 　　を考えるの一般解 xs(t) についてこのとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について初期値をにとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) 　　どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

　非斉次形方程式任意の初期値 xs(t0) = x0 　　を考えるの一般解 xs(t) についてこのとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について初期値をにとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) 　　 xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

　非斉次形方程式任意の初期値 xs(t0) = x0 　　を考えるの一般解 xs(t) についてこのとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について初期値をにとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) 　　 xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 だから，これで非斉次形方程式の解で初期値を xs(t0) = x0 としたことになっているどんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

　非斉次形方程式任意の初期値 xs(t0) = x0 　　を考えるの一般解 xs(t) についてこのとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について初期値をにとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) 　　 xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 だから，これで非斉次形方程式の解で初期値を xs(t0) = x0 としたことになっているこの斉次形方程式は一意だから，斉次形方程式でこの初期値の特殊解はひとつどんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

　非斉次形方程式任意の初期値 xs(t0) = x0 　　を考えるの一般解 xs(t) についてこのとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について初期値をにとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) 　　 xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 だから，これで非斉次形方程式の解で初期値を xs(t0) = x0 としたことになっているこの斉次形方程式は一意だから，斉次形方程式でこの初期値の特殊解はひとつ非斉次形方程式の特殊解もひとつどんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

27 16 例題🤔🤔

ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと

ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと非斉次形の一般解＝

ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと非斉次形の一般解＝非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）

ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと非斉次形の一般解＝非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）＋対応する斉次形の一般解

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃非斉次形２階線形微分方程式 17 これを見つけるには，右辺の形に注目今回は［非斉次］tの式前回のは x′′
+ ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと非斉次形の一般解＝非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）＋対応する斉次形の一般解

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃例題 18 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ −
3x = 3t2 + 3t − 2

3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける

3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつけるこれを元の方程式に代入して整理すると

3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつけるこれを元の方程式に代入して整理すると −(3a + 3)t2 + (4a − 3b − 3)t + (2a + 2b − 3c + 2) = 0 　　　

3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつけるこれを元の方程式に代入して整理すると −(3a + 3)t2 + (4a − 3b − 3)t + (2a + 2b − 3c + 2) = 0 　　　これが t に関係なくなりたつから ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3a + 3 = 0 4a − 3b − 3 = 0 2a + 2b − 3c + 2 = 0 　　

3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつけるこれを元の方程式に代入して整理すると −(3a + 3)t2 + (4a − 3b − 3)t + (2a + 2b − 3c + 2) = 0 　　　これが t に関係なくなりたつから ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3a + 3 = 0 4a − 3b − 3 = 0 2a + 2b − 3c + 2 = 0 　　これを解くと a = −1, b = − 7 3 , c = − 14 9

3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつけるこれを元の方程式に代入して整理すると −(3a + 3)t2 + (4a − 3b − 3)t + (2a + 2b − 3c + 2) = 0 　　　これが t に関係なくなりたつから ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3a + 3 = 0 4a − 3b − 3 = 0 2a + 2b − 3c + 2 = 0 　　これを解くと a = −1, b = − 7 3 , c = − 14 9 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は

3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は

3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解定数

3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解定数特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0

3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解定数特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0 その解は λ = 1, −3

3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解定数特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0 その解は λ = 1, −3 異なる２つの実数解なので，斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t

3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解定数特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0 その解は λ = 1, −3 以上から，与えられた非斉次形方程式の一般解は異なる２つの実数解なので，斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t

3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解定数特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0 その解は λ = 1, −3 以上から，与えられた非斉次形方程式の一般解は異なる２つの実数解なので，斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t x = C1et + C2e−3t − t2 − 7 3 t − 14 9

3x = e2t

3x = e2t 特殊解を，と見当をつける x = ae2t

3x = e2t 特殊解を，と見当をつける x = ae2t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t

3x = e2t 特殊解を，と見当をつける x = ae2t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t これが t に関係なくなりたつから a = 1 5

3x = e2t 特殊解を，と見当をつける x = ae2t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t これが t に関係なくなりたつから a = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = 解は C 1 5 e2t

3x = e2t 特殊解を，と見当をつける x = ae2t 対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解定数一般解は x = C1et + C2e−3t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t これが t に関係なくなりたつから a = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = 解は C 1 5 e2t

3x = e2t 特殊解を，と見当をつける x = ae2t 対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解定数一般解は x = C1et + C2e−3t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t これが t に関係なくなりたつから a = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = 解は C 1 5 e2t 以上から，非斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t + 1 5 e2t

3x = 2 cos t 　　　

3x = 2 cos t 　　　特殊解を，と見当をつける x = A cos t + B sin t

3x = 2 cos t 　　　特殊解を，と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0

3x = 2 cos t 　　　特殊解を，と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明）

3x = 2 cos t 　　　特殊解を，と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0

3x = 2 cos t 　　　特殊解を，と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0 A = − 2 5 , B = 1 5

3x = 2 cos t 　　　特殊解を，と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0 A = − 2 5 , B = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 2 5 cos t + 1 5 sin t

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃例題 21 の一般解を求めよ。対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′
− 3x = 0 解定数一般解は x = C1et + C2e−3t x′′ + 2x′ − 3x = 2 cos t 　　　特殊解を，と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0 A = − 2 5 , B = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 2 5 cos t + 1 5 sin t

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃例題 21 の一般解を求めよ。対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′
− 3x = 0 解定数一般解は x = C1et + C2e−3t x′′ + 2x′ − 3x = 2 cos t 　　　特殊解を，と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0 A = − 2 5 , B = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 2 5 cos t + 1 5 sin t 以上から，非斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t − 2 5 cos t + 1 5 sin t

27 22 関数の１次独立とWronskian🤔🤔

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t) 　　と
x2(t) 　　　が１次独立とは，

x2(t) 　　　が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　がどんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0

x2(t) 　　　が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　がどんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　を t で微分すると

x2(t) 　　　が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　がどんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　を t で微分すると C1x′ 1 (t) + C2x′ 2 (t) = 0

x2(t) 　　　が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　がどんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　を t で微分すると C1x′ 1 (t) + C2x′ 2 (t) = 0 まとめて行列で書くと x1(t) x2(t) x′ 1 (t) x′ 2 (t) C1 C2 = 0 0

x2(t) 　　　が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　がどんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　を t で微分すると C1x′ 1 (t) + C2x′ 2 (t) = 0 まとめて行列で書くと x1(t) x2(t) x′ 1 (t) x′ 2 (t) C1 C2 = 0 0 解が C1 = C2 = 0 だけになるのは，この行列に逆行列が存在する時

x2(t) 　　　が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　がどんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　を t で微分すると C1x′ 1 (t) + C2x′ 2 (t) = 0 まとめて行列で書くと x1(t) x2(t) x′ 1 (t) x′ 2 (t) C1 C2 = 0 0 解が C1 = C2 = 0 だけになるのは，この行列に逆行列が存在する時 x1(t) x2(t) x′ 1 (t) x′ 2 (t) ̸≡ 0 つまり

x2(t) 　　　が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　がどんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　を t で微分すると C1x′ 1 (t) + C2x′ 2 (t) = 0 まとめて行列で書くと x1(t) x2(t) x′ 1 (t) x′ 2 (t) C1 C2 = 0 0 解が C1 = C2 = 0 だけになるのは，この行列に逆行列が存在する時 x1(t) x2(t) x′ 1 (t) x′ 2 (t) ̸≡ 0 つまり Wronskianという

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃関数の１次独立とWronskian（例） 24 関数 x1(t) 　　と
x2(t) 　　　が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　がどんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 とは？ cos t sin t

x2(t) 　　　が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　がどんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 とは？ cos t sin t Wronskianは cos t sin t −sin t cos t

x2(t) 　　　が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　　がどんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 とは？ cos t sin t Wronskianは cos t sin t −sin t cos t で，Wronskianが0でないので，とは1次独立 cos t sin t −sin t cos t = cos2 t + sin2 t = 1 cos t sin t

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃今日のまとめ 25 定数係数・非斉次形の２階線形微分方程式 x′′+ax′+bx = R(t)

非斉次形の一般解＝非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）＋対応する斉次形の一般解

非斉次形の一般解＝非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）＋対応する斉次形の一般解 x′′ + ax′ + bx = 0

非斉次形の一般解＝非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）＋対応する斉次形の一般解これを見つけるには右辺の形に注目 x′′ + ax′ + bx = 0

27 26 演習問題について（一部）

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃演習問題（3） 27 の一般解を求めよ。 x′′ + x =
cos 2t 　　

27 2023年度秋学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃演習問題（3） 27 の一般解を求めよ。特殊解を，と見当をつける x =
A cos 2t x′′ + x = cos 2t 　　

A cos 2t x′′ + x = cos 2t 　　このように「勘」をはたらかせる

A cos 2t ，なので，を元の方程式に代入すると x′ = − 2A sin 2t x′ ′ = − 4A cos 2t x′ , x′ ′ x′′ + x = cos 2t 　　このように「勘」をはたらかせる

A cos 2t ，なので，を元の方程式に代入すると x′ = − 2A sin 2t x′ ′ = − 4A cos 2t x′ , x′ ′ x′′ + x = cos 2t 　　このように「勘」をはたらかせる −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t

A cos 2t ，なので，を元の方程式に代入すると x′ = − 2A sin 2t x′ ′ = − 4A cos 2t x′ , x′ ′ x′′ + x = cos 2t 　　このように「勘」をはたらかせる −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t (−4A + A − 1)cos 2t = 0

A cos 2t ，なので，を元の方程式に代入すると x′ = − 2A sin 2t x′ ′ = − 4A cos 2t x′ , x′ ′ これが t に関係なくなりたつから, A = − 1 3 x′′ + x = cos 2t 　　このように「勘」をはたらかせる −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t (−4A + A − 1)cos 2t = 0

A cos 2t ，なので，を元の方程式に代入すると x′ = − 2A sin 2t x′ ′ = − 4A cos 2t x′ , x′ ′ これが t に関係なくなりたつから, A = − 1 3 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 1 3 cos 2t x′′ + x = cos 2t 　　このように「勘」をはたらかせる −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t (−4A + A − 1)cos 2t = 0

A cos 2t ，なので，を元の方程式に代入すると x′ = − 2A sin 2t x′ ′ = − 4A cos 2t x′ , x′ ′ これが t に関係なくなりたつから, A = − 1 3 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 1 3 cos 2t x′′ + x = cos 2t 　　このように「勘」をはたらかせる −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t (−4A + A − 1)cos 2t = 0 あとは，対応する斉次形の方程式の一般解を求めてください。 x′ ′ + x = 0

2024年度春学期 応用数学（解析）第8回 2階線形微分方程式（2） (2024. 5. 30)

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2024年度春学期　応用数学（解析）第8回　2階線形微分方程式（2） (2024. 5. 30)

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