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2024年度秋学期 画像情報処理 第4回 フーリエ変換とサンプリング定理 (2024. 10....

2024年度秋学期 画像情報処理 第4回 フーリエ変換とサンプリング定理 (2024. 10. 18)

関西大学総合情報学部 画像情報処理(担当・浅野晃)
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2024a/IPPR/

Akira Asano

October 08, 2024
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Transcript

  1. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 サンプリングとサンプリング定理 3 連続関数を 離散的に 輝度f(x) 位置x f(x)

    x サンプリング サンプリング定理 ある程度細かい間隔でサンプリングすれば,もとの連続関数に戻せる
  2. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 サンプリングとサンプリング定理 3 連続関数を 離散的に 輝度f(x) 位置x f(x)

    x サンプリング サンプリング定理 ある程度細かい間隔でサンプリングすれば,もとの連続関数に戻せる
  3. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 サンプリングとサンプリング定理 3 連続関数を 離散的に 輝度f(x) 位置x f(x)

    x サンプリング サンプリング定理 ある程度細かい間隔でサンプリングすれば,もとの連続関数に戻せる どのくらい細かくなければならないかは, もとの関数に含まれる最高の周波数による
  4. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 サンプリングとサンプリング定理 3 連続関数を 離散的に 輝度f(x) 位置x f(x)

    x サンプリング サンプリング定理 ある程度細かい間隔でサンプリングすれば,もとの連続関数に戻せる どのくらい細かくなければならないかは, もとの関数に含まれる最高の周波数による 「細かい」関数は 細かくサンプリング
  5. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 積分って何でしたっけ 7 この面積を 求めたい Δx → 0 区切りを無限に細かく

    f(x) x n−1 k=0 f(k∆x)∆x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 0 a a 0 f(x)dx これが積分 短冊の面積の合計
  6. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 積分って何でしたっけ 7 この面積を 求めたい Δx → 0 区切りを無限に細かく

    f(x) x n−1 k=0 f(k∆x)∆x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 0 a a 0 f(x)dx これが積分 短冊の面積の合計 🤔🤔💬💬 しかし,デルタ関数は 1点以外すべてゼロで幅はないから 面積もないはず…
  7. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ディラックのデルタ関数 δ(x) 8 x = 0 の1点以外すべてゼロ

    δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 x = 0 をはさんで積分すると1 0 x 幅はなくても面積はあるんです。 だから,こんな「↑」で表さざるを得ない
  8. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ディラックのデルタ関数 δ(x) 8 x = 0 の1点以外すべてゼロ

    δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 x = 0 をはさんで積分すると1 0 x 幅はなくても面積はあるんです。 だから,こんな「↑」で表さざるを得ない 高さは,何だともいえない
  9. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ディラックのデルタ関数 δ(x) 8 x = 0 の1点以外すべてゼロ

    δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 x = 0 をはさんで積分すると1 0 x 幅はなくても面積はあるんです。 だから,こんな「↑」で表さざるを得ない 高さは,何だともいえない ∞ −∞ kδ(x)dx = k (「無限」でもない。なぜなら→
  10. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 くし形関数 combT(x) とサンプリング 9 くし形関数 combT (x)

    = ∞ n=−∞ δ(x − nT) x ... ... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) デルタ関数を等間隔に並べたもの サンプリング周期 サンプリング周波数 T 1/T
  11. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 くし形関数 combT(x) とサンプリング 9 くし形関数 サンプリングとは,くし形関数とのかけ算 combT

    (x) = ∞ n=−∞ δ(x − nT) x ... ... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) fT (x) = f(x)combT (x) デルタ関数を等間隔に並べたもの サンプリング周期 サンプリング周波数 T 1/T
  12. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 くし形関数 combT(x) とサンプリング 9 くし形関数 サンプリングとは,くし形関数とのかけ算 combT

    (x) = ∞ n=−∞ δ(x − nT) x ... ... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) fT (x) = f(x)combT (x) 輝度f(x) 位置x デルタ関数を等間隔に並べたもの サンプリング周期 サンプリング周波数 T 1/T
  13. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 くし形関数 combT(x) とサンプリング 9 くし形関数 サンプリングとは,くし形関数とのかけ算 combT

    (x) = ∞ n=−∞ δ(x − nT) x ... ... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) fT (x) = f(x)combT (x) 輝度f(x) 位置x x ... ... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) × デルタ関数を等間隔に並べたもの サンプリング周期 サンプリング周波数 T 1/T
  14. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 くし形関数 combT(x) とサンプリング 9 くし形関数 サンプリングとは,くし形関数とのかけ算 combT

    (x) = ∞ n=−∞ δ(x − nT) x ... ... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) fT (x) = f(x)combT (x) 輝度f(x) 位置x f T (x) x x ... ... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) × = デルタ関数を等間隔に並べたもの サンプリング周期 サンプリング周波数 T 1/T
  15. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 こんなややこしい関数でなければいけない 10 ディラックのデルタ関数ではなく,「縦棒」を並べて,くし形関数にしてはだめ? だめです🙅🙅 x ... ...

    T ... 1 0 δ(x) = 0 (x = 0) 1 (x = 0)     縦棒の関数は,幅がなくて高さ1だから,積分したらゼロ →画像の輝度の合計がゼロのはずはない ディラックのデルタ関数は,幅がないのに積分したら1 というヘンな関数(超関数)
  16. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 こんなややこしい関数でなければいけない 10 ディラックのデルタ関数ではなく,「縦棒」を並べて,くし形関数にしてはだめ? だめです🙅🙅 x ... ...

    T ... 1 0 δ(x) = 0 (x = 0) 1 (x = 0)     縦棒の関数は,幅がなくて高さ1だから,積分したらゼロ →画像の輝度の合計がゼロのはずはない ディラックのデルタ関数は,幅がないのに積分したら1 というヘンな関数(超関数) ※ただ,こういうややこしい話になっているのは,「積分」をもとに考えを進めているからでもあります。   そのあたりは,次回の「離散フーリエ変換」で説明します。
  17. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 サンプリングされたら,周波数の範囲は? 11 輝度f(x) 位置x f(x) x サンプリング

    サンプリングされた関数である fT(x) のフーリエ変換を求める 周波数がある範囲内におさまっているとき サンプリングした後の周波数の範囲は?
  18. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 サンプリングされたら,周波数の範囲は? 11 輝度f(x) 位置x f(x) x サンプリング

    サンプリングされた関数である fT(x) のフーリエ変換を求める 周波数がある範囲内におさまっているとき サンプリングした後の周波数の範囲は? fT (x) = f(x)combT (x)
  19. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 サンプリングされたら,周波数の範囲は? 11 輝度f(x) 位置x f(x) x サンプリング

    サンプリングされた関数である fT(x) のフーリエ変換を求める 2つの関数のかけ算のフーリエ変換は? 周波数がある範囲内におさまっているとき サンプリングした後の周波数の範囲は? fT (x) = f(x)combT (x)
  20. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 かけ算のフーリエ変換 12 *は,コンヴォリューション(畳み込み)といいます こうなります FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν)

    ∗ FT[g(x)](ν) かけ算のフーリエ変換 フーリエ変換と フーリエ変換の ???🤔🤔 その意味は,少し後で… [f * g](t) = ∫ ∞ −∞ f(y)g(t − y)dy
  21. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 サンプリングされた関数のフーリエ変換 13 サンプリングされた 関数のフーリエ変換は もとの関数の フーリエ変換と くし形関数の

    フーリエ変換の つまり FT[fT (x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[combT (x)](ν) くし形関数のフーリエ変換は コンヴォリューション FT[combT (x)](ν) = 1 T comb1/T (ν)
  22. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 サンプリングされた関数のフーリエ変換 13 サンプリングされた 関数のフーリエ変換は もとの関数の フーリエ変換と くし形関数の

    フーリエ変換の つまり FT[fT (x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[combT (x)](ν) くし形関数のフーリエ変換は くし形関数のフーリエ変換はくし形関数,ただし間隔が逆数 コンヴォリューション FT[combT (x)](ν) = 1 T comb1/T (ν)
  23. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 くし形関数とのコンヴォリューション 14 サンプリングされた 関数のフーリエ変換は もとの関数の フーリエ変換と くし形関数の

    フーリエ変換の FT[fT (x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[combT (x)](ν) コンヴォリューション 「くし形関数とのコンヴォリューション」とは? 「デルタ関数とのコンヴォリューション」を並べたもの
  24. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 さて,コンヴォリューションとは 15 コンヴォリューションの での値は t [f *

    g](t) = ∫ ∞ −∞ f(y)g(t − y)dy 関数 と関数 を だけずらして重ねたときの, 重なりの面積 f g t 【参考リンク】のサイトを使って説明します。
  25. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 [f * δ](t)| t=0 = ∫ ∞

    −∞ f(y)δ(0 − y)dy デルタ関数とのコンヴォリューション 16 t = 0のとき デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ ある何かの関数 f(t) [f * g](t) = ∫ ∞ −∞ f(y)g(t − y)dy
  26. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 [f * δ](t)| t=0 = ∫ ∞

    −∞ f(y)δ(0 − y)dy デルタ関数とのコンヴォリューション 16 t = 0のとき デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ y = 0 のとき以外は積分に無関係 ある何かの関数 f(t) [f * g](t) = ∫ ∞ −∞ f(y)g(t − y)dy
  27. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 [f * δ](t)| t=0 = ∫ ∞

    −∞ f(y)δ(0 − y)dy デルタ関数とのコンヴォリューション 16 0 t f(t) t = 0のとき デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ デルタ関数を積分すると y = 0 のときだけ 1 y = 0 のとき以外は積分に無関係 ある何かの 関数 f(t) ある何かの関数 f(t) [f * g](t) = ∫ ∞ −∞ f(y)g(t − y)dy
  28. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 [f * δ](t)| t=0 = ∫ ∞

    −∞ f(y)δ(0 − y)dy デルタ関数とのコンヴォリューション 16 0 t f(t) t 0 t = 0のとき デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ デルタ関数を積分すると y = 0 のときだけ 1 f (0) が取り出される y = 0 のとき以外は積分に無関係 ある何かの 関数 f(t) ある何かの関数 f(t) [f * g](t) = ∫ ∞ −∞ f(y)g(t − y)dy
  29. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 [f * δ](t)| t=0 = ∫ ∞

    −∞ f(y)δ(0 − y)dy デルタ関数とのコンヴォリューション 16 0 t f(t) t 0 t = 0のとき デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ デルタ関数を積分すると y = 0 のときだけ 1 f (0) が取り出される t = 1のとき y = 0 のとき以外は積分に無関係 ある何かの 関数 f(t) ある何かの関数 f(t) [f * g](t) = ∫ ∞ −∞ f(y)g(t − y)dy
  30. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 [f * δ](t)| t=1 = ∫ ∞

    −∞ f(y)δ(1 − y)dy [f * δ](t)| t=0 = ∫ ∞ −∞ f(y)δ(0 − y)dy デルタ関数とのコンヴォリューション 16 0 t f(t) t 0 t = 0のとき デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ デルタ関数を積分すると y = 0 のときだけ 1 f (0) が取り出される t = 1のとき y = 0 のとき以外は積分に無関係 ある何かの 関数 f(t) ある何かの関数 f(t) [f * g](t) = ∫ ∞ −∞ f(y)g(t − y)dy
  31. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 [f * δ](t)| t=1 = ∫ ∞

    −∞ f(y)δ(1 − y)dy [f * δ](t)| t=0 = ∫ ∞ −∞ f(y)δ(0 − y)dy デルタ関数とのコンヴォリューション 16 0 t f(t) t 0 t = 0のとき デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ デルタ関数を積分すると y = 0 のときだけ 1 f (0) が取り出される t = 1のとき y = 1 のとき以外は積分に無関係 y = 0 のとき以外は積分に無関係 ある何かの 関数 f(t) ある何かの関数 f(t) [f * g](t) = ∫ ∞ −∞ f(y)g(t − y)dy
  32. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 [f * δ](t)| t=1 = ∫ ∞

    −∞ f(y)δ(1 − y)dy [f * δ](t)| t=0 = ∫ ∞ −∞ f(y)δ(0 − y)dy デルタ関数とのコンヴォリューション 16 0 t f(t) t 0 t = 0のとき デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ デルタ関数を積分すると y = 0 のときだけ 1 f (0) が取り出される t = 1のとき y = 1 のとき以外は積分に無関係 デルタ関数は積分すると y = 1 のときだけ1 0 t f(t) y = 0 のとき以外は積分に無関係 ある何かの 関数 f(t) ある何かの関数 f(t) [f * g](t) = ∫ ∞ −∞ f(y)g(t − y)dy
  33. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 [f * δ](t)| t=1 = ∫ ∞

    −∞ f(y)δ(1 − y)dy [f * δ](t)| t=0 = ∫ ∞ −∞ f(y)δ(0 − y)dy デルタ関数とのコンヴォリューション 16 0 t f(t) t 0 t = 0のとき デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ デルタ関数を積分すると y = 0 のときだけ 1 f (0) が取り出される t = 1のとき y = 1 のとき以外は積分に無関係 デルタ関数は積分すると y = 1 のときだけ1 0 t f(t) t 0 f (1) が取り出される y = 0 のとき以外は積分に無関係 ある何かの 関数 f(t) ある何かの関数 f(t) [f * g](t) = ∫ ∞ −∞ f(y)g(t − y)dy
  34. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 デルタ関数とのコンヴォリューション 17 0 t f(t) t 0

    t = α のとき, f(α)が取り出される つまり f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  35. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 デルタ関数とのコンヴォリューション 17 0 t f(t) t 0

    t = α のとき, f(α)が取り出される つまり f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身 0 t f(t) * t 0 = 0 t f(t)
  36. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 デルタ関数とのコンヴォリューション 17 0 t f(t) t 0

    t = α のとき, f(α)が取り出される つまり f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身 0 t f(t) * t 0 = 0 t f(t) 画像の「ぼけ」は, 画像と「ぼけ関数」とのコンヴォリュー ション 画像の各点をデルタ関数と考えると, 各点に「ぼけ関数」が重ねられている
  37. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 デルタ関数とのコンヴォリューション 17 0 t f(t) t 0

    t = α のとき, f(α)が取り出される つまり f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身 0 t f(t) * t 0 = 0 t f(t) 画像の「ぼけ」は, 画像と「ぼけ関数」とのコンヴォリュー ション 画像の各点をデルタ関数と考えると, 各点に「ぼけ関数」が重ねられている 【参考リンク】で説明します。
  38. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t) * t

    0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  39. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t) * t

    0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  40. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t) * t

    0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  41. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t) * t

    0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) * f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  42. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t) * t

    0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) * t 0 f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  43. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t) * t

    0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) * = t 0 f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  44. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 0 t くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t)

    * t 0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) * = t 0 f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  45. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 0 t くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t)

    * t 0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) * = t 0 f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  46. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 0 t くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t)

    * t 0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) * = t 0 f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  47. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 0 t くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t)

    * t 0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) * = t 0 f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  48. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 0 t くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t)

    * t 0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) * = t 0 f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  49. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 0 t くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t)

    * t 0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) * = t 0 f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  50. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 0 t くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t)

    * t 0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) * = t 0 f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  51. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 0 t くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t)

    * t 0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) * = t 0 f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  52. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 0 t くし形関数とのコンヴォリューション 18 0 t f(t)

    * t 0 = 0 t f(t) くし形関数は,デルタ関数が等間隔に並んでいる くし形関数とのコンヴォリューションは,元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 0 t f(t) * = t 0 f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは,f(x) 自身
  53. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 まとめると・サンプリングとフーリエ変換 19 x x f(x) fT (x)

    サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ... ... νc –νc FT[f(x)](ν) FT[fT (x)](ν)
  54. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 まとめると・サンプリングとフーリエ変換 19 x x f(x) fT (x)

    サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ... ... νc –νc FT[f(x)](ν) FT[fT (x)](ν) カットオフ周波数
  55. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 まとめると・サンプリングとフーリエ変換 19 x x f(x) fT (x)

    サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ... ... νc –νc FT[f(x)](ν) FT[fT (x)](ν) カットオフ周波数 サンプリング間隔 T
  56. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 まとめると・サンプリングとフーリエ変換 19 x x f(x) fT (x)

    サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ... ... νc –νc FT[f(x)](ν) FT[fT (x)](ν) カットオフ周波数 サンプリング間隔 T サンプリング周波数 1/T
  57. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 周波数空間での間隔 20 ν 1 / T ...

    ... 切り出す ν νc –νc νc –νc ν 1 / T ... ... 切り出す νc –νc ? (a) 2νc ≤ 1 / T (b) 2νc > 1 / T FT[fT(x)](ν) FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν)
  58. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 周波数空間での間隔 20 サンプリング周波数( )が, カットオフ周波数の2倍以上細かければ 1/T ν

    1 / T ... ... 切り出す ν νc –νc νc –νc ν 1 / T ... ... 切り出す νc –νc ? (a) 2νc ≤ 1 / T (b) 2νc > 1 / T FT[fT(x)](ν) FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν)
  59. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 周波数空間での間隔 20 サンプリング周波数( )が, カットオフ周波数の2倍以上細かければ 1/T ν

    1 / T ... ... 切り出す ν νc –νc νc –νc ν 1 / T ... ... 切り出す νc –νc ? (a) 2νc ≤ 1 / T (b) 2νc > 1 / T FT[fT(x)](ν) FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) ひとつだけ 切り出して
  60. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 周波数空間での間隔 20 サンプリング周波数( )が, カットオフ周波数の2倍以上細かければ 1/T ν

    1 / T ... ... 切り出す ν νc –νc νc –νc ν 1 / T ... ... 切り出す νc –νc ? (a) 2νc ≤ 1 / T (b) 2νc > 1 / T FT[fT(x)](ν) FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) これを 逆フーリエ変換して 元の関数に戻せる ひとつだけ 切り出して
  61. 21 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 周波数空間での間隔 20 サンプリング周波数( )が, カットオフ周波数の2倍以上細かければ 1/T ν

    1 / T ... ... 切り出す ν νc –νc νc –νc ν 1 / T ... ... 切り出す νc –νc ? (a) 2νc ≤ 1 / T (b) 2νc > 1 / T FT[fT(x)](ν) FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) これを 逆フーリエ変換して 元の関数に戻せる サンプリング間隔が粗いと,周波数空間で重なり 合ってしまい元には戻せない (エイリアジング) ひとつだけ 切り出して