2025年度秋学期　画像情報処理　第8回　行列の直交変換と基底画像 (2025. 11. 14)

画像情報処理 2025年度秋学期関西大学総合情報学部浅野　晃第2部・画像情報圧縮／第8回行列の直交変換と基底画像

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 JPEG方式による画像圧縮 2 画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らすひとつのセルを，これらの波の重ね合わせで表す 8×8ピクセルずつのセルに分解
細かい部分は，どの画像でも大してかわらないから，省略しても気づかない省略すると，データ量が減る（図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Karhunen-Loève変換（KL変換） 3 画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 1 p 第１～第p
/ 2 主成分だけを伝達する主成分に変換もとの画素に戻す p画素の画像（情報の損失が最小）

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Karhunen-Loève変換（KL変換） 3 画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 1 p 第１～第p
/ 2 主成分だけを伝達する主成分に変換もとの画素に戻す p画素の画像（情報の損失が最小）データ量が半分でも情報の損失は最小

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 KL変換の大問題 4 主成分を求めるには，分散共分散行列が必要分散共分散行列を求めるには，「いまから取り扱うすべての画像」が事前にわかっていないといけない

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 KL変換の大問題 4 主成分を求めるには，分散共分散行列が必要分散共分散行列を求めるには，「いまから取り扱うすべての画像」が事前にわかっていないといけないそんなことは不可能😵😵
（一応）

じゃあ，主成分を求めるのはあきらめて，どういう直交変換をするか「直観的」に🤔🤔

画像をベクトルにしてしまったら，直観がはたらかない…

行列の直交変換💡💡

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃画像を行列であらわす 8 平面のものを素直に表せばいいだけのことですが，前回はベクトルで考えていたので。ベクトルから行列に書き換える（戻す）ことを考える z =
P x 原画像を表すベクトル（m2要素）直交変換を表す行列（m2×m2）変換後の画像を表すベクトル（m2要素）

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃ベクトルを行列に書き換える 9 x =   
      x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル

      x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素

      x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素

      x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素 m要素

      x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素 m要素 m要素

      x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m×m行列 m要素 m要素 m要素

      x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m×m行列 zも同じ m要素 m要素 m要素

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃直交変換行列P′は？ 10 P′ がこういう形になっているのなら P = 
            r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm             

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃直交変換行列P′は？ 10 P′ がこういう形になっているのなら P = 
            r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              こういう形ってどういう形？

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃行列のKronecker積 11 P =   
          r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　

          r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 r11× C

          r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 r11× C r1m× C

          r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 r11× C r1m× C rm1× C

          r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃行列のKronecker積 11 Rの各要素に Cを貼付けたもの P = 
            r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C

            r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C P = R ⊗ C Kronecker積

            r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C P = R ⊗ C Kronecker積こうなっているのなら

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃行列の変換に書き換える 12 ベクトルxからベクトルzへの行列P′による変換 z =
P x Z = CXR 行列Xから行列Zへの行列CとR′による変換

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃行列の変換に書き換える 12 ベクトルxからベクトルzへの行列P′による変換 z =
P x Z = CXR 行列Xから行列Zへの行列CとR′による変換証明は…ひたすら計算💦💦（付録1）

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 P =  
           r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１直交行列…

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 P =  
           r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    P = R ⊗ C 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１直交行列… なら

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 C, Rそれぞれが直交行列なら， P′は直交行列 P
=              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    P = R ⊗ C 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１直交行列… なら

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃分離可能性 14 CXR =   
c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm       x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm       r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm   

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR =  
 c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm       x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm       r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm   

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR =  
 c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm       x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm       r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm    RはXの行に作用

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃分離可能性 14 CはXの列に作用縦方向と横方向の作用を分離できることを，分離可能(separable)という CXR =
   c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm       x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm       r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm    RはXの行に作用

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃行列の直交変換とユニタリー変換 15 縦横の作用を区別する必要はない場合，C=Rとする Z = RXR X
= R ZR ただし　RR′=I 行列Xの行列Rによる直交変換要素が複素数の場合は，R′のかわりに R′*を用いる行列Xの行列Rによるユニタリー変換

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃行列の直交変換とユニタリー変換 15 縦横の作用を区別する必要はない場合，C=Rとする Z = RXR X
= R ZR ただし　RR′=I 行列Xの行列Rによる直交変換要素が複素数の場合は，R′のかわりに R′*を用いる行列Xの行列Rによるユニタリー変換 *は複素共役（ i を(–i)にかえる）

ちょっと余談ですが☕

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが，現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが，現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる上下反転のほうが違和感が大きい

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが，現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる上下反転のほうが違和感が大きいだから

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 18 鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく前後。鏡実像鏡像

北を見ているなら

北を見ているなら南を見ている

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 実像鏡像「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 実像鏡像水平に回転「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 実像鏡像水平に回転 💃💃 💃💃
「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 左右が反転上下はそのまま実像鏡像水平に回転
💃💃 💃💃 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 左右が反転上下はそのまま実像 🐻🐻💭💭 正解はこれしかないでしょう？
鏡像水平に回転 💃💃 💃💃 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません鏡像物体

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません鏡像縦回転だって可能
物体

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません鏡像縦回転だって可能
🚀🚀 🚀🚀 物体

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 上下が反転左右はそのまま 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません鏡像
縦回転だって可能 🚀🚀 🚀🚀 物体

縦回転だって可能 🚀🚀 🚀🚀 物体水平回転が正しいと思うのは重力の都合でしかない

縦回転だって可能 🚀🚀 🚀🚀 物体水平回転が正しいと思うのは重力の都合でしかないここで参考動画を

基底画像🤔🤔

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃基底画像 22 Z = RXR どういうRを用いれば，最適に画像データを圧縮できるか？
それは，依然わからないしかし，画像をベクトルでなく行列で表したことで，直交変換の効果がヴィジュアルにわかる

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分ける Z =  
    z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       +       0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       + · · · +       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm      

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分けるを，上の各行列で行う。たとえば Z = 
     z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       +       0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       + · · · +       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm       X = R ZR

     z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       +       0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       + · · · +       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm       X = R ZR       z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0      

     z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       +       0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       + · · · +       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm       X = R ZR    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0      

     z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       +       0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       + · · · +       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm       X = R ZR    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm   

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃基底画像 24    r11 ·
· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　

· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　かけ算

· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 r11が残るかけ算

· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 r11が残るかけ算この列が残る

· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 r11が残るかけ算かけ算この列が残る

· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 r11が残る r11が残るかけ算かけ算この列が残る

· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 r11が残る r11が残るかけ算かけ算この列が残るこの行が残る

· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　 z11    r11 . . . r1m    (r11 · · · r1m) r11が残る r11が残るかけ算かけ算この列が残るこの行が残る

· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　ベクトルの直積（付録3） z11    r11 . . . r1m    (r11 · · · r1m) r11が残る r11が残るかけ算かけ算この列が残るこの行が残る

· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　ベクトルの直積（付録3） z11    r11 . . . r1m    (r11 · · · r1m) = z11       r11r11 r11r12 · · · r11r1m r12r11 r12r12 · · · r12r1m . . . . . . ... . . . r1mr11 r1mr12 · · · r1mr1m       r11が残る r11が残るかけ算かけ算この列が残るこの行が残る

· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　ベクトルの直積（付録3）行列，すなわち画像 z11    r11 . . . r1m    (r11 · · · r1m) = z11       r11r11 r11r12 · · · r11r1m r12r11 r12r12 · · · r12r1m . . . . . . ... . . . r1mr11 r1mr12 · · · r1mr1m       r11が残る r11が残るかけ算かけ算この列が残るこの行が残る

· · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　　ベクトルの直積（付録3）行列，すなわち画像 z11    r11 . . . r1m    (r11 · · · r1m) = z11       r11r11 r11r12 · · · r11r1m r12r11 r12r12 · · · r12r1m . . . . . . ... . . . r1mr11 r1mr12 · · · r1mr1m       r11が残る r11が残るかけ算かけ算この列が残るこの行が残るここでちょっと「直積ジョーク」を…😊😊

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃基底画像 25     X
= z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m つまり基底画像原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃つまり基底画像とは 26 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている（図はA. K. Jain,
Fundamentals of Digital Image Processingより転載）たとえば，64個（ )の基底画像が，右のようなとの直積になっているとすると m = 8 r1 …r8 r′ 1…r′ 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている（図はA. K. Jain,
Fundamentals of Digital Image Processingより転載）     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃つづきは 28 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている元の関数は，いろいろな周波数の波に，各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… 今日の最初にでてきた
これ（の8×8の１つ１つ）は基底画像の例です👉👉

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃つづきは 28 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている元の関数は，いろいろな周波数の波に，各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… 今日の最初にでてきた
これ（の8×8の１つ１つ）は基底画像の例です👉👉 　　第１部の 👈👈 これと同じ？（図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃つづきは 29 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている元の関数は，いろいろな周波数の波に，各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている…
つまり，逆フーリエ変換？フーリエ変換も，ユニタリー変換の一種

29 2025年度秋学期　画像情報処理／　関西大学総合情報学部　浅野　晃つづきは 29 フーリエ変換を基本に，画像圧縮に適した基底画像（一部を省略しても影響が少ない基底画像）を選ぶ原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている元の関数は，いろいろな周波数の波に，
各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… つまり，逆フーリエ変換？フーリエ変換も，ユニタリー変換の一種

2025年度秋学期 画像情報処理 第8回 行列の直交変換と基底画像 (2025. 11. 14)

2025年度秋学期 画像情報処理 第8回 行列の直交変換と基底画像 (2025. 11. 14)

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2025年度秋学期　画像情報処理　第8回　行列の直交変換と基底画像 (2025. 11. 14)

2025年度秋学期　画像情報処理　第8回　行列の直交変換と基底画像 (2025. 11. 14)