型と多重ディスパッチ for 数学と物理におけるJuliaの活用 2023-07-10

型と多重ディスパッチ数学と物理におけるJuliaの活用チュートリアル講演(2) 2023/07/10 後藤俊介

本講義の予定 1. はじめに（5分） 2. 型システムの基本 (10分) 3. 複合型と抽象型 (10分) 4.
多重ディスパッチの基本（10分） 5. 実習：Julia の多重ディスパッチと型定義（10分） 6. まとめ（5分）

はじめに

講義の目的と目標 • 型（の基本）の理解 ◦ 型とは何か？ ◦ Julia の型システム ◦ 型の定義
◦ 型パラメータ、型制約 • 多重ディスパッチ（の基本）の理解 ◦ 多重ディスパッチとは？ ◦ メソッドの選択の仕組み

実験コード • 本講演資料に記載のサンプルコードを以下のURLで公開しています。 https://antimon2.github.io/julia_imi_workshop2023_tutorial/1st_examp le_type_md.html • チュートリアル(1) で Pluto.jl
を導入済の方は、上記URL→[Edit or Run] ボタン→「On your computer」の手順に従って手元の環境で実行できます。 • 実習課題も編集可能な状態で用意してありますのでご利用ください。

型システムの基本

型とは何か（1）プログラミング全般において… • その値（オブジェクト）が『何』であるかを表すもの。 • （Julia の場合） typeof()
関数でその値の型が分かる julia> typeof(1) Int64 julia> typeof("文字列") String julia> typeof([1.0, 2.0, 3.0]) Vector{Float64} (alias for Array{Float64, 1})

型とは何か（2）少し概念的な例えとして… • 物理で言えば『単位』 • 物理：『単位』を意識することで現象や状況を理解 • プログラミング：変数や式の値の『型』を意識することで
その式の意味や状況を理解

型とは何か（3）さらに抽象的な例えとして… • 数学（圏論）で言う『対象』画像は Wikipediaより引用 A, B, C
が『対象』、f, g, g∘f は『射』（Julia における関数に対応）

型とは何か（4）要するに… • 値（オブジェクト）を分類（もしくはラベル付け）したもの • その値（オブジェクト）が『どのような性質を持つのか』を表す • その値に対して『どのような操作ができるのか』を
規定する

Julia の型システム（1） Julia の型システムの基本… • 公称型システム (Nominative Type System) ◦
名前で型が決まる！ • 公称的サブタイピング (Nominal Subtyping) ◦ 明示的な宣言で型の基本型-派生型の関係が決まる！ • typeof() 関数、 <: 演算子、isa 演算子等 julia> typeof(1) === Int true # Int という型は唯一 julia> Int <: Signed <: Integer <: Real <: Number <: Any true # ↑ `<:` は派生型演算子（左辺が右辺の派生型なら `true`） julia> 1 isa Number true # `a isa T` は `typeof(a) <: T` と（ほぼ）等価

Julia の型システム（2）サブタイピングについて… • （直接の）基本型はただ1 つだけ ◦ supertype() 関数 •
派生型はいくらでもありうる ◦ subtypes() 関数 • Any型 ◦ 全ての型の基本型 julia> supertype(Int) Signed julia> supertype(String) AbstractString julia> subtypes(AbstractString) # 環境によって結果は変る 6-element Vector{Any}: Core.Compiler.LazyString LazyString String SubString SubstitutionString Test.GenericString julia> length(subtypes(Any)) # 環境によって結果は変る 587

Julia の型システム（3）型階層… • 型どうしのサブタイピング関係を図にするときれいな階層構造が出現（型階層） • （Anyを根とした）型階層
の図を『型ツリー』とも呼ぶ画像は拙著実践Julia入門より引用

代表的な型の紹介（1）整数型 • 符号付き整数 ◦ Int8, Int16, Int32, Int64, Int128
◦ Int は Int64 のエイリアス • 符号なし整数 ◦ UInt8, UInt16, UInt32, UInt64, UInt128 ◦ UInt は UInt64 のエイリアス • 多倍長整数（BigInt） • リテラル ◦ 10進表記なら符号付き、16 進表記（など）なら符号なし ◦ 桁数や大きさで型が自動的に決まる julia> typeof(4294967296) Int64 julia> typeof(9223372036854775808) Int128 julia> typeof(170141183460469231731687303715884105728) BigInt julia> typeof(0x01) UInt8 julia> typeof(0x0123456789abcdef) UInt64

代表的な型の紹介（2）浮動小数点数型 • Float16, Float32, Float64 • BigFloat • リテラルは様々な書式が
ある julia> typeof(1.0) === typeof(0.) === typeof(-.0) === Float64 true # よくある表記は大抵 Float64 julia> typeof(1e308) === typeof(0x193p-2) === Float64 true # `0x《16進表記》p《2の冪数》`という書式もOK julia> typeof(3.14f0) Float32 # `xxxfyy` と言う書式にすると Float32 になる julia> Float16(3.1416) # Float16 は明示的に指定 Float16(3.14) julia> big(π) # BigFloat の例 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445 92307816406286198

代表的な型の紹介（3）その他の数値型 • 有理数 ◦ ◦//△ • 複素数 ◦ ◦
+ △im julia> typeof(1//2) Rational{Int64} julia> -12//20 -3//5 # 結果は適宜約分される julia> 3//0 # これもOK（`0//0` のみエラー） 1//0 julia> im # 虚数単位（定数として定義済） im julia> typeof(1 + 2im) Complex{Int64} julia> typeof(0.0 + 1.0im) ComplexF64 (alias for Complex{Float64})

代表的な型の紹介（4）文字型と文字列型 • Julia では文字型と文字列型は別物 •
シングルクォーテーションで括ったものは文字型 (Char) • ダブルクォーテーションで括ったものは文字列型 (String) julia> typeof('a') Char julia> typeof("a") String julia> typeof(""" 複数行にわたる文字列これも String 型 """) String

代表的な型の紹介（5）配列型 • Julia では（同じ型の）値の列はリストではなく（1 次元）配列 • Julia の配列は1次元だ
けでなく多次元配列も OK • 要素の型と次元数は型パラメータ（後述）で表現 julia> typeof([1.0, 2.0, 3.0]) Vector{Float64} (alias for Array{Float64, 1}) # ↑リストではなくベクトル（＝1次元配列） julia> typeof([ 1 2 3 4 ]) # 行列（＝2次元配列） Matrix{Int64} (alias for Array{Int64, 2}) julia> typeof([1;2;;3;4;;;5;6;;7;8]) Array{Int64, 3} # 2×2×2 の3次元配列

代表的な型の紹介（6）辞書型・集合型 • 辞書型(Dict)：キーと値のマッピングで管理するコレクション • 集合型(Set)：重複を許さない値のコレクション •
配列型、辞書型、集合型と後述のタプル・名前付きタプルを総称してコレクション型と言う julia> Dict("Alice"=>1, "Bob"=>2, "Carol"=>3) Dict{String, Int64} with 3 entries: "Carol" => 3 "Alice" => 1 "Bob" => 2 # 結果は順不同 julia> Set([3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3]) Set{Int64} with 7 elements: 5 # 重複は排除される 4 6 2 9 3 1 # こちらも順不同

代表的な型の紹介（7）タプル型・名前付きタプル型 • タプル型(Tuple)：（同じ型とは限らない）値の列 • 名前付きタプル型 (NamedTuple)：タプルの各値に名前（キー）が紐付いているもの（辞書に類
似） • これらは、各値の型も情報として保持するのが特徴 julia> typeof((1, 'b', "三")) Tuple{Int64, Char, String} julia> typeof((a=1, b='b', c="三")) NamedTuple{(:a, :b, :c), Tuple{Int64, Char, String}}

型アノテーション • ｘ：：T という書式で型アノテーションを付けられる • 宣言時や代入時の左辺の
場合は（変数の）型の指定（変換に失敗するとエラー） • 代入時の右辺などの場合は型検査（互換性のない型だとエラー） • ※型ヒントではない！（重要） julia> let x::Int = sin(π) # == 0.0 なので変換されて 0 が代入される x end 0 julia> let x = (sin(π)::Int) # こちらはエラー（!(sin(π) <: Int) なので） x end ERROR: TypeError: in typeassert, expected Int64, got a value of type Float64 Stacktrace: [1] top-level scope @ REPL[XX]:2

複合型と抽象型

複合型(1) （構造体） • struct 《型名》～ end で構造体を定義可能
• 構造体として定義された型のことを複合型と呼ぶ • ※基本的な型以外のほとんどの型は複合型（有理数型・複素数型、辞書型・集合型・名前付きタプル型も実は複合型） julia> struct SSample x y end julia> ssample = SSample(1, 2) SSample(1, 2) julia> typeof(ssample) SSample

複合型(2) （フィールドの型指定） • 構造体のフィールドには型が指定できる（型アノテーション） • ※型アノテーションが付いていないフィールドは実は
::Any と同じ意味（詳細略） • 補足：目的がはっきりしているときはそのフィールドには型アノテーションを付けましょう（詳細後述） julia> struct SISample x::Int y::Int end julia> sisample = SISample(1, 2) SISample(1, 2) julia> typeof(sisample.x) Int64 julia> SISample(2.0, 3.14) # `3.14` の方でエラーが発生 ERROR: InexactError: Int64(3.14) # :《以下略》

複合型(3) （基本型の指定） • 型定義時に基本型を指定（その型の派生型という宣言）ができる • ※基本型の指定がない型定義は、<: Any（Any型
の派生型の定義）と同じ意味（詳細略） julia> struct MyDecimal <: Real value::BigInt point::Int end # 固定小数点数を意図した型定義 julia> MyDecimal(1, 0) isa Number true julia> MyDecimal(1, 0) isa Integer false

抽象型(1) • abstract type 《型名》 end で抽象型を定義できる
• 抽象型は他の抽象型や複合型等の基本型にできる（＝型階層が作れる） julia> abstract type AbstractFPoint end julia> struct FPoint2D <: AbstractFPoint x::Float64 y::Float64 end julia> struct FPoint3D <: AbstractFPoint x::Float64 y::Float64 z::Float64 end julia> FPoint2D(1.0, 2.0) isa AbstractFPoint true julia> FPoint3D(3, π, 99.9) isa AbstractFPoint true

型パラメータ(1) • 型定義時に {T} のように型パラメータを指定できる • 型パラメータの使い途：
◦ フィールドの型指定 ◦ 性質を表すパラメータ（フラグ）（詳細後述） julia> struct TWrapperSample{T} value::T end julia> intwrapper = TWrapperSample(1) TWrapperSample{Int64}(1) julia> typeof(intwrapper) TWrapperSample{Int64} julia> typeof(TWrapperSample("文字列")) TWrapperSample{String}

型制約(1) • 型パラメータ指定時に {T <: Real} のようにその型に制約を設けることができる（型制約） •
制約に合わない型が来るとエラーになる julia> abstract type AbstractPoint{T <: Real} end julia> struct Point2D{T} <: AbstractPoint{T} x::T y::T end julia> Point2D(1.0, 3.2) isa AbstractPoint{Float64} true julia> Point2D(1 + 0im, 0 + im) ERROR: TypeError: in AbstractPoint, in T, expected T<:Real, got Type{Complex{Int64}} # ：《以下略》

我々は何を見せられているのか…

型パラメータ(2) ＋型制約(2) この形　　　　　　　　　　　→ は非常によく見るので、　ぜひ覚えておきましょう！利点： • フィールドの型を特定しないので柔軟な設計が可能
• 実行時には確定するので型安定性に繋がる • 型制約と組み合わせるとさらに賢い設計に！ julia> abstract type AbstractPoint{T <: Real} end julia> struct Point2D{T} <: AbstractPoint{T} x::T y::T end

多重ディスパッチの基本

多重ディスパッチとは(1) 関数の多重定義(1) • Julia では同名の関数を引数の違いで多重定義できる • 個々の実体のことを
メソッドと呼ぶ • 引数の違いとは ◦ 引数の個数の違い ◦ 引数の型の違い ◦ その組み合わせ julia> add(x, y) = x + y add (generic function with 1 method) julia> add(x, y, z) = x + y + z add (generic function with 2 methods) julia> add(x, y, z...) = add(x + y, z...) add (generic function with 3 methods) julia> methods(add) # 3 methods for generic function "add" from Main: [1] add(x, y) [2] add(x, y, z) [3] add(x, y, z...)

多重ディスパッチとは(2) 関数の多重定義(2) • Julia では同名の関数を引数の違いで多重定義できる • 個々の実体のことをメソッドと呼ぶ
• 引数の違いとは ◦ 引数の個数の違い ◦ 引数の型の違い ◦ その組み合わせ julia> double(x) = 2x double (generic function with 1 method) julia> double(s::AbstractString) = s ^ 2 double (generic function with 2 methods) julia> double(x, y) = string(double(x), double(y)) double (generic function with 3 methods) julia> double(x::Number, y::Number) = double(x) + double(y) double (generic function with 4 methods) julia> methods(double) # 4 methods for generic function "double" from Main: # ：《略》

多重ディスパッチとは(3) ディスパッチ • 多重定義された関数は、呼び出し時の実引数の組み合わせで適切なメソッドが選択されて実行（＝ディスパッチ）される julia> double("文字列")
# "文字列" isa AbstractString なので s ^ 2 の実装（メソッド）が選択される "文字列文字列" julia> double(1, 2) # 1 isa Number かつ 2 isa Number なので double(x) + double(y) 6 julia> double(160, "円") # どうしてこうなるのか考えてみよう！ "320円円"

そもそも関数とは？（1）抽象的な例えとして… • 数学（圏論）で言う『射（射影）』画像は Wikipediaより引用（再掲） A, B,
C が『対象』、f, g, g∘f は『射』（Julia における関数に対応）

そもそも関数とは？（2）少し概念的な例えとして… • 物理で言えば『式』 • 物理：似たような『式』でも『単位』を意識することで表される現象や得られる結果が変わる •
Julia：『関数』に渡される『型』によってその挙動の意味や得られる結果が変わる

多重ディスパッチとは(4) 重要な概念として… • 関数の名前を固定することで、その関数に『役割』を与える。 ◦ 物理学において「だいたい同じ形の式で書けるものは似たような現象を表す」ことにだいたい相当 • その関数を型（の組み合わせや個数）の違いで多重定義（メソッドを定義）することで、特定の状況に置ける意味とその
結果を与える（実装する）。 ◦ 同じ式でも『単位』の違いで状況・意味・結果が変ることに類似

Juliaにおける多重ディスパッチの利用例(1) 引数の個数による意味分け • 同じ関数で、引数の個数によって意味を分ける • 例：log() 関数 •
例：atan() 関数 julia> log(20) # 自然対数 2.995732273553991 julia> log(5, 20) # 底を5とする対数 1.8613531161467862 julia> atan(0.3) # tan(θ) == 0.3 となる θ 0.2914567944778671 julia> atan(1, 3) # tan(θ) == 1/3 となる θ 0.3217505543966422

Juliaにおける多重ディスパッチの利用例(2) 演算子オーバーロード • 同じ演算子でも両辺（被演算子）の型で挙動（結果の値や型）に違いが出る • わかりやすい例：* 演算子
◦ 数値同士なら乗算 ◦ 文字列同士なら結合 ◦ 数値同士でも、型の違いによって適切な処理 julia> 1 * 2 # 整数どうしの `*` 演算は結果も整数 2 julia> 3.0 * π # 浮動小数点数と無理数の `*` 演算は浮動小数点数 9.42477796076938 julia> "Hello, " * "Julia!" # 文字列同士の `*` 演算は結合 "Hello, Julia!"

Juliaにおける多重ディスパッチの利用例(3) その他の例… • Holyトレイト ◦ 特殊な型による定義分けを利用して、関係ない型での共通の挙動（振る舞い）の定義（実装）を共有化するテクニック • アルゴリズムの分離・モジュール化 ◦
ソートアルゴリズムの定義など • 擬似値ディスパッチ • ポリモーフィズム

実習：Julia の多重ディスパッチと型定義

お題：double()関数(1) Step1: 型定義 • MyType という型（複合型）を定義する ◦ フィールドは value
1つだけ ◦ フィールドの型は型パラメータ T • ※これに関しては答えを示しておきます→ julia> struct MyType{T} value::T end julia> MyType(1) MyType{Int64}(1)

お題：double()関数(2) Step2: 関数の多重定義(1) • 先ほど例示した double() 関数を、 MyType 型が扱えるように多重定義する。
• まずは引数に MyType{T} 1つだけを受け取るメソッドの定義： ◦ フィールド value に double() 関数を適用した結果を格納する Mytype を返す julia> struct MyType{T} value::T end julia> MyType(1) MyType{Int64}(1) julia> double(mytype::MyType) = ... # ここを適切に実装 double (generic function with 5 methods) julia> double(MyType(1)) MyType{Int64}(2) julia> double(MyType("ABC")) MyType{String}("ABCABC")

お題：double()関数(3) Step3: 関数の多重定義(2) • double() 関数を、 MyType 型が扱えるように多重定義する。 •
引数を2つ（一方が MyType）を受け取るメソッドの定義（難易度高め）： ◦ 結果は MyType、ただし MyType{MyType{ ...}} のような入れ子にならないように注意！ julia> double(x::MyType, y::MyType) = ... # ここを適切に実装 double (generic function with 6 methods) julia> double(x::MyType, y) = ... # ここを適切に実装 double (generic function with 7 methods) julia> double(x, y::MyType) = ... # ここを適切に実装 double (generic function with 8 methods) julia> double(2, MyType(π)) MyType{Float64}(10.283185307179586) julia> double(MyType(35), "v") MyType{String}("70vv") julia> double(MyType("ABC"), MyType("XYZ")) MyType{String}("ABCABCXYZXYZ")

お題：double()関数(4) Extra Step（時間が余った人用） • double() 関数を、他の型にも適用しよう ◦ 例：文字型⇒文字列として扱う
◦ 例：コレクション型⇒各要素にdouble()を適用したコレクションにする ◦ 他⇒自分で仕様を考えて実装してみよう • 型パラメータの利用 ◦ 型パラメータの違いで処理を分ける、など julia> double(x::Char) = ... # ここを適切に実装 double (generic function with ? methods) julia> double(x::Tuple) = ... # ここを適切に実装 double (generic function with ? methods) julia> double(x::Array) = ... # ここを適切に実装 double (generic function with ? methods) julia> double((1, `b`, [1.0, 2.0, 3.0])) (2, “bb”, [2.0, 4.0, 6.0]) julia> double(x::MuType{T}) where {T <: Tuple} = ... # ここを適切に実装 double (generic function with ? methods) julia> double(Mytype((1, `b`, “三”))) #> MyType((1, `b`, “三”, 1, `b`, “三”)) # ←一例

まとめ

講義の目的と目標（再掲） ✓ 型（の基本）の理解 ☑ 型とは何か？ ☑ Julia の型システム ☑ 型の定義
☑ 型パラメータ、型制約 ✓ 多重ディスパッチ（の基本）の理解 ☑ 多重ディスパッチとは？ ☑ メソッドの選択の仕組み

お疲れさまでした

型と多重ディスパッチ for 数学と物理におけるJuliaの活用 2023-07-10

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