「これが最小になる値はな〜んだ？」問題_最適化問題を考える_近藤憲児

キーワード: 最小値問題/最適化理論/最適化問題/AI/変分原理/学習物理学/アルゴリズム

Transcript

1. 「これが最小になる値はな〜んだ？」 問題 ~ 最適化問題を考える ~
2. ここでお話すること この関数が最小となる x の値はな〜んだ？ という問題が、いろんなところで観察できる という面白い話です
3. 例) シンプルな数学の問題 最小値問題とは この関数が最小となる x の値はな〜んだ？
4. 例) シンプルな数学の問題 最小値問題とは x = 1 のとき f(x) は最小値の 2 をと る → 答え: x = 1
5. 例) シンプルな数学の問題 2 最小値問題とは この関数が最小となる x の値はな〜んだ？ ただし、制約条件の範囲内で！
6. 例) シンプルな数学の問題 2 最小値問題とは x = 1 のとき f(x) は最小値の 2 をとる が、今回の範囲は x <= -1 なので f(x) = 6 となる x = -1 が答え → 答え x = -1 x=-1
7. 最適化問題 関数 f(x) が最小となる x はな〜んだ？ ただし、制約条件の範囲内で！ こういうタイプの問題を最適化問題と言う f(x) は 「評価関数」「目的関数」「誤差関数」 などいろいろ呼び方がある
8. ちなみに、最大値問題 関数 f(x) が最大となる x はな〜んだ？ 関数 -f(x) が最小となる x はな〜んだ？ 答えとなる x の値はどちらも構わないので、最大にしたいか最小にしたいか は別にこだわらなくてもいい
9. なぜこのタイプの問題に興味がある？ この関数が最小となる x の値はな〜んだ？
10. そもそも、なぜこのタイプの問題に興味があるのか 次の部屋の家賃は、 大体 万円くらいかなあ 安すぎず、高すぎない金額
11. そもそも、なぜこのタイプの問題に興味があるのか : 家賃(円) : 家賃 円の部屋に住んだことで、 ストレスを感じる回数 “最適な家賃” 0円 家賃 (円) ス ト レ ス を 感 じ る 回 数
12. なぜこのタイプの問題に興味がある？ → 日常的にやっている思考プロセスに似てるから この関数が最小となる x の値はな〜んだ？
13. 最適化問題をみていく
14. 例) 最短経路問題 「バスで A 地点から E 地点に行くのに、もっとも運賃 が少ない経路は？」 運賃が最小となる P(=経路) はな〜んだ？ 選んだ経路 P における 総運賃 =
15. 例) スケジューリング問題 「さまざまな制約のもとで、納期がも っとも最小になるような生産計画を立 てたい」 納期遅れがもっとも最小となるスケジュールはな〜んだ？ 納期遅れの合計 =
16. 例) 線形回帰 「与えられたデータセットを最もうまく近 似する y = mx + b の直線を求めたい」 誤差が最小となる m, b の組合せはな〜んだ？ 直線と与えられたデータセットの誤差 =
17. 例) ディープラーニング 「あたえられたデータセットを近似す る(複雑な)関数を得たい」 与えられた学習データセットとの誤差が最小となる (数億、数兆の) パラメータ θ の組合せはな〜んだ？ 関数と与えられたデータセットの誤差
18. 例) 検索・推薦 「ユーザーの検索キーワードに最も適 したドキュメントを提示したい」 ユーザーのクエリ q (検索キーワード、ユーザー属性...) と関 連度が最大となるドキュメント d はな〜んだ？ ユーザーのクエリ q と、ドキュメント d の関連度 ドキュメント1 「AI の発展で...」 ドキュメント2 「おいしいオムライスの作り 方...」 ユーザーのクエリ 「AI 技術の発展について知りた い」 =
19. ちなみに、複数の関数を一つの関数に見立てる方法 例えば2つの評価があるときには、以下のようにすると、 一つの評価関数として扱えたりする 重みをつける 調和平均を考える
20. • 線形計画問題 • 非線形計画問題 • 整数計画問題 • 混合整数計画問題 • 二次計画問題 • 二次錐計画問題 • 半正定値計画問題 • 多目的最適化問題 • 組合せ最適化問題 • ネットワークフロー問題 • 最短経路問題 • 最小全域木問題 • 巡回セールスマン問題 • ナップサック問題 • 施設配置問題 • スケジューリング問題 他にもたくさん
21. より深みへ
22. 汎関数(functional) ← ”関数を引数とする関数” 汎関数 汎関数 I が最小となるような 関数・確率分布 はな〜んだ？
23. 例) GAN 「まるで写真のような画像を生成したい」 学習データの画像の確率分布 p_data と、 最も JS divergence (=確率分布同士の距離み たいなもの)が最小となるような確率分布 p_g はな〜んだ？ Yifan Jiang, Shiyu Chang, & Zhangyang Wang. (2021). TransGAN: Two Pure Transformers Can Make One Strong GAN, and That Can Scale Up.
24. 例) 変分原理(最速降下線) 到達時間を表現した汎関数 I が 最小となるような曲線 y はな〜んだ？ 「もっとも速くボールが転げ落ちる坂道の形を考えたい」 変分原理は量子力学でも熱 力学でも現れる。 こうした最小値問題が自然 界でも見いだせるのはすご い https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9 C%80 %E9% 80%9F%E9%99%8D%E4%B8%8B%E6%9B%B2 %E7%B7%9A
25. 例) 数独ソルバー 「数独を瞬時に解きたい」 数独の数字の出現率 p に基づくエントロピ ーが最大となるような数字の分布は な〜んだ？ https://note.com/kondokenji/n/n9b4cc9c052ef これは統計力学的な発想を援 用した。 こういう物理学的側面で最適 化アルゴリズムを考える向き も最近ある → ”学習物理学”
26. この関数が最小となる x の値はな〜んだ？ は、やばい