集合・位相入門/松坂和夫 3.1 節：順序集合

阪大の学生で開催した『位相・集合・多様体勉強会』の発表スライドです．『集合・位相入門/松坂和夫』の 3.1 節：順序集合について取り扱っています．

1.    #6  3  ! Zorn
   "#$     M1 
2. šP4:2I6GJI@9Q O'
   $F!Q/!3B%,8"HEK)D   šR7Q/L-;  š=I?
   Q/!$F(N/A105 š.SM>*<  T   only #&C+ 1 *<   
3. § 1.  Ø Ø"  Ø ! " ! " " Ø Ø " 
      2
4. 
   1. 
5. ◎  
   ≦ ×  4      1 2 3 4 5 6 7 ≦ ≦ ≦ ≦ ≦ ≦
6. š
   " ! ! "   "  ! #!$ #%  Ø&∀$ ∈ !  $"$ Ø&$, ' ∈ !  $"', '"$ ⟹ $ = ' Ø&$, ', * ∈ !  $"', '"* ⟹ $"* 5 #! #!  2 2 ≦ 1 ? ≦ ? 1 ≦ ∩ 1 2 ≦ 3 ≦
7. š DAG 
    6   
8. š '%"*  &$  #
   š*!    7 )& )& ( $
9. š 
   ∀" ∈ $  "%"  8    
10. š
    !, #, $ ∈ &  !'#, #'$ ⟹ !'$ 9    
11. š('% +*!( DAG   ØDAG  + &"
    !, #, $ ∈ &  !'#, #'$ ⟹ !'!$   10 *!( *!() #  '%
12. š7!*# 3, & š8'7!65 - š40
    & wiki +/ š$( .3 %"2)  11 8'7! %19&
13. š
    ≦  š b  #    12   
14. š'" ! ≤ #  # ≤ !  ,# )(- . !, # '"
     š+!+  # '" + 13 +*  %$& ' 
    
15. 
    1. 
16. š
      ! ! ≤  " !, ≤ !  " !    š ≤ ! !, ≤ !  !  15 ! "!  ! 
17. š!  ", ≤ " " 
     "  š%, & ∈ !  % ≤ &   ! % ≤( &   ≤(  š #" !, ≤(  ", ≤ #"  16 #"$#" #"
18. š     š 
        17    
19.       
    1.  
20. š !, ≤ $ ∈ !∀' ∈ ! š' ≤ $  $  max !  š$ ≤ '  $  min !  š   
    1 19           
21. š(' !, ≤ +$ ∈ !+∀' ∈ ! š', $ "%#  ' ≤ $   $ ! š', $ "%#  $ ≤ '   $ ! š +    !+! š!+! $
    20  )* + !  )* + &+ & !+! !
22. š0$/ !, ≤ , -0$/ $, ≤ š∃& ∈ !, ∀) ∈ $, ) ≤ &   &  $  ! +  š$ +#  1 !   $ (+
      š* & ≤ ) & &  $ + 3 $ (+
      š$ (+& (+
      21 ' 1"2 3 )' 1"2 3 .3 . -0$/(+% + -0$/ (+
    
23. š!  #&
     ! & * !* " min !∗ !. min !∗  ! "& )  sup ! ' š"& )  %.inf ! ' 22 " ,- . $" ,- . ). ) (+ * ).) ) & *
24. š!   sup ! = &  & ∈ !  & = max ! š inf ! = &, & ∈ !  & = min ! 23  ! "  ! " "   "  
      
25. 
    1. 
26. š !, ≤ , !$, ≤$   %: ! → !′ š∀*, + ∈ !, * ≤ + ⇒ % * ≤$ %(+)  %    š% 
     % * ≤$ %(+) ⇒ * ≤ +  %  25   
27. š
    ! ≤ # ⇒ % ! ≤& %(#)  % ! ≤& %(#) ⇒ ! ≤ #
    
    % ! = % !& ⇒ ! = !′  26       
28. š
    ! ≤ # ⇒ % ! ≤& %(#)  % ! ≤& %(#) ⇒ ! ≤ #
     
    % ! = % !& ⇒ ! = !′  27        
29. š
    ! ≤ # ⇒ % ! ≤& %(#)  % ! ≤& %(#) ⇒ ! ≤ #
    
    % ! = % !& ⇒ ! = !′  28    % ! ≤& %(#) ⇒ ! ≤ #    
30. š 
    ! ≤ # ⇒ % ! ≤& %(#)  % ! ≤& %(#) ⇒ ! ≤ #
    
    % ! = % !& ⇒ ! = !′  29      # = #′
31. š14
    ! ≤ # ⇒ % ! ≤& %(#)  % ! ≤& %(#) ⇒ ! ≤ #
    
    % ! = % !& ⇒ ! = !′  š.'4 % ! ≤& %(#) 2( % ! = % # -3   & ! ≤ #  # ≤ ! 2 0$/ !+% ! = # #,3 30 0$ 0$"" )* -4 https://nuhsnuh.hatenablog.jp/entries/2012/04/08
32. š& % !, ≤ , !$, ≤$ '  %: ! → !′ š∀*, + ∈ !, * ≤ + ⇒ % * ≤$ %(+)  % &  #  š% &  % * ≤$ %(+) ⇒ * ≤ + !" %  '&   š% &  
    ' %  !  !′  &   š&  $&  31 &  & 
33. š"! !, ≤ , !$, ≤$ " #  "
     # !, ≤ ≃ !$, ≤$  š"! "      Ø !, ≤ ≃ !, ≤ Ø !, ≤ ≃ !$, ≤$ ⇒ !$, ≤$ ≃ !, ≤ Ø !, ≤ ≃ !$, ≤$ , !$, ≤$ ≃ !$$, ≤$$ ⇒ !, ≤ ≃ !$$, ≤$$ 32 " " 
34.   
    1.  
35. š(", ≤) 
     a, b ∈ ", ) ≤ *    " * ≤+, )  ≤+,  š≤+,  $! % ≤ $  š(", ≤+,)  (", ≤) $#  34 %  $%$#
36. š'#
       Ø"" Ø " " Ø!$ % 35 & #
    
37. š! 130"/. 1!2  1 )$!)$ -' # 1 š 1&, ! 1&, š!+30".
    ( ! *  %0"/  &, 1  1
    2 ! 1 # )$!)$ -' # ( !′ * %0"/  &, 36 !)$2!+ !+