Charla: Estimación Puntual y por Intervalos - Teoría y Práctica con Python

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1. Parámetro poblacional (desconocido) vs. Estimador (fórmula) vs. Estimación (valor) La estimación de parámetros poblacionales desconocidos puede realizarse de dos formas principales: estimación puntual y estimación por intervalos. Consiste en usar un solo valor calculado a partir de la muestra como la mejor aproximación al parámetro desconocido. Por ejemplo, usar la media muestral para estimar la media poblacional. Esta estimación no proporciona información sobre la precisión o el error de la estimación, solo un valor puntual . Consiste en calcular un intervalo de valores dentro del cual se espera que se encuentre el parámetro poblacional con un cierto nivel de confianza (por ejemplo, 95% o 99%). Este intervalo se llama intervalo de confianza y se construye alrededor de la estimación puntual sumando y restando un margen de error que depende de la variabilidad de la muestra y del nivel de confianza deseado . Estimación Puntual y por Intervalos : Parámetro poblacional vs Estimador vs Estimación Parámetro poblacional: es el valor verdadero y desconocido que describe una característica de la población, por ejemplo, la media poblacional $ \mu $ o la proporción poblacional $ p $ . [1] [2] Estimador: es una regla o fórmula que se aplica a los datos muestrales para calcular un valor que sirve para estimar el parámetro poblacional. Por ejemplo, la media muestral $ \bar{X} $ es un estimador puntual de la media poblacional $ \mu $, y la proporción muestral $ \hat{p} $ es un estimador de la proporción poblacional $ p $ . [3] [4] Estimación: es el valor numérico que se obtiene al aplicar el estimador a una muestra específica. Puede ser una única cifra (estimación puntual) o un rango de valores (estimación por intervalos) . [2] [5] Estimación Puntual [1] [5] [6] Estimación por Intervalos [1] [3] [7] [8] Elementos clave de la estimación por intervalos: Intervalo de confianza: rango que probablemente contiene el parámetro. Nivel de confianza: probabilidad asociada a que el intervalo contenga el parámetro verdadero (ej. 95%). Estimador puntual: centro del intervalo, el valor calculado a partir de la muestra.
2. En resumen, el parámetro poblacional es el valor real y desconocido, el estimador es la fórmula o regla que usamos para calcular una estimación a partir de la muestra, y la estimación es el valor (puntual o intervalo) que obtenemos para aproximar ese parámetro . ⁂ Estimación Puntual: Valor único derivado de la muestra Estimación por Intervalos: Rango que contiene el parámetro con cierta confianza La diferencia fundamental entre estimación puntual y estimación por intervalos radica en la forma en que se presenta la aproximación al parámetro poblacional desconocido: En resumen: Aspecto Estimación Puntual Estimación por Intervalos Resultado Valor único derivado de la muestra Rango de valores (intervalo de confianza) Información sobre error No proporciona información sobre error Proporciona un nivel de confianza y margen de error Precisión Menos informativa Más informativa y confiable Por ello, aunque la estimación puntual es más simple y directa, la estimación por intervalos es preferida para expresar la incertidumbre y confiabilidad en la estimación del parámetro poblacional . ⁂ Margen de error: cantidad que se suma y resta al estimador puntual para formar el intervalo, dependiente de la desviación estándar y el tamaño de muestra . [9] [10] [2] [5] [4] Estimación Puntual vs. por Intervalos: Estimación puntual: consiste en proporcionar un único valor numérico calculado a partir de la muestra, que se utiliza como la mejor aproximación al parámetro poblacional. Por ejemplo, la media muestral para estimar la media poblacional. Esta estimación no ofrece información sobre la precisión o confiabilidad del valor obtenido . [11] [12] [13] [14] Estimación por intervalos: consiste en proporcionar un rango o intervalo de valores dentro del cual se afirma, con un cierto nivel de confianza (por ejemplo, 95%), que se encuentra el parámetro poblacional. Este intervalo se construye alrededor de la estimación puntual sumando y restando un margen de error que depende de la variabilidad de la muestra y del nivel de confianza deseado. La estimación por intervalos ofrece más información, pues indica la incertidumbre asociada a la estimación y la probabilidad de que el parámetro esté dentro del rango . [11] [15] [13] [14] [16] [14] [16]
3. Insesgadez Eficiencia Consistencia Las propiedades fundamentales que debe tener un buen estimador son: Un estimador es insesgado si el valor esperado de su distribución muestral es igual al parámetro poblacional que estima. Es decir, en promedio, el estimador no sobrestima ni subestima el parámetro. Matemáticamente, para un estimador del parámetro : Esto significa que si se repitieran muchos muestreos, la media de las estimaciones sería el valor verdadero del parámetro. Por ejemplo, la media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional . Un estimador es más eficiente que otro si tiene menor varianza en su distribución muestral, es decir, si sus estimaciones tienden a estar más concentradas alrededor del parámetro verdadero. La eficiencia mide la precisión del estimador: á Un estimador eficiente reduce la incertidumbre en la estimación. La eficiencia está limitada por el Teorema de Cramér-Rao, que establece un límite inferior para la varianza de un estimador insesgado . Un estimador es consistente si, al aumentar el tamaño de la muestra , sus valores se acercan cada vez más al parámetro poblacional. Formalmente, es consistente si: Esto implica que el estimador converge en probabilidad al valor verdadero del parámetro a medida que la muestra crece, garantizando que con muestras grandes la estimación será muy cercana al parámetro real . En resumen, un buen estimador debe ser: Propiedades de Buenos Estimadores : 1. Insesgadez (Unbiasedness) [17] [18] [19] [20] 2. Eficiencia [17] [18] [19] [20] 3. Consistencia [17] [21] [22] [18] [19] [20] Insesgado: su valor esperado coincide con el parámetro. Eficiente: tiene la menor varianza posible entre estimadores insesgados. Consistente: se acerca al parámetro conforme aumenta el tamaño de la muestra.
4. Estas propiedades aseguran que el estimador proporciona estimaciones precisas, confiables y que mejoran con muestras más grandes. ⁂ Idea : Intervalo construido a partir de la muestra que contiene el parámetro con una probabilidad Un intervalo de confianza es un rango de valores calculado a partir de los datos de una muestra, dentro del cual se estima que se encuentra un parámetro poblacional desconocido con un cierto nivel de confianza (por ejemplo, 95%). Este intervalo se construye alrededor de un estimador puntual y refleja la incertidumbre inherente a la estimación debido al muestreo aleatorio . Formalmente, para un parámetro $ \theta $, un intervalo de confianza del $ (1-\alpha)100% $ es un intervalo tal que la probabilidad de que el parámetro esté dentro de ese rango es : Esto significa que si se repitieran muchos muestreos independientes, aproximadamente el $ (1- \alpha)100% $ de los intervalos construidos contendrían el valor verdadero del parámetro . El nivel de confianza indica la certeza con la que se afirma que el intervalo contiene el parámetro, y está relacionado con el margen de error: a mayor nivel de confianza, el intervalo es más amplio, y a menor nivel, más estrecho pero con mayor riesgo de no contener el parámetro . En resumen, un intervalo de confianza: Por ejemplo, un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional indica que hay un 95% de probabilidad de que la media verdadera esté dentro del intervalo calculado a partir de la muestra . ⁂ ¿Qué es un Intervalo de Confianza? [23] [24] [25] [23] [25] [23] [26] Es un rango calculado a partir de la muestra. Contiene el parámetro poblacional con una probabilidad determinada (nivel de confianza). Proporciona una estimación más informativa que un valor puntual, al incluir la incertidumbre de la estimación . [23] [27] [26] [24] [25]
5. Desde la perspectiva frecuentista, el nivel de confianza de un intervalo de confianza (por ejemplo, 95%) se interpreta como la proporción de intervalos construidos mediante el mismo procedimiento que, al repetirse el muestreo muchas veces, contendrán el parámetro poblacional verdadero. Es decir, si se construyeran 100 intervalos de confianza al 95% a partir de 100 muestras diferentes, aproximadamente 95 de esos intervalos incluirían el valor real del parámetro (por ejemplo, la media poblacional ) . En resumen, el nivel de confianza refleja la fiabilidad del procedimiento de construcción del intervalo en el largo plazo, no la probabilidad de que el parámetro esté en un intervalo específico ya calculado. Esta distinción es clave para evitar malas interpretaciones y comunicar correctamente los resultados estadísticos . ⁂ Aquí tienes las fórmulas y explicaciones para calcular intervalos de confianza en distintos casos comunes: Interpretación del Nivel de Confianza [28] [29] Errores comunes en la interpretación 1. Confundir el nivel de confianza con una probabilidad subjetiva sobre un intervalo específico: No se debe decir que "hay un 95% de probabilidad de que el parámetro esté dentro del intervalo calculado a partir de una muestra dada", porque el parámetro es fijo y el intervalo es el que varía entre muestras. La probabilidad se refiere al procedimiento y no a un intervalo particular ya obtenido. 2. Decir que el parámetro está en el intervalo con cierta probabilidad: La interpretación correcta es que el método utilizado para construir el intervalo tiene una tasa de éxito del 95% en capturar el parámetro si se repite muchas veces, no que el parámetro "se mueva" dentro del intervalo ni que el intervalo tenga una probabilidad subjetiva de contenerlo en un caso particular . [28] [29] [28] [29] Cálculo de Intervalos de Confianza: Media Poblacional (σ conocida) Media Poblacional (σ desconocida) Proporción Poblacional Diferencia de Medias (Muestras Independientes) Diferencia de Proporciones Cálculo de Intervalos de Confianza
6. Cuando la desviación estándar poblacional $ \sigma $ es conocida y la población es normal o el tamaño de muestra es grande: Este intervalo se basa en la distribución normal estándar . Si la desviación estándar poblacional es desconocida y la muestra es pequeña o la población es normal, se usa la distribución t de Student: Este método incorpora la incertidumbre adicional por no conocer . Para estimar la proporción poblacional a partir de la proporción muestral : Se asume que la muestra es suficientemente grande para aproximar la distribución binomial por normal . 1. Media Poblacional (σ conocida) : media muestral : valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de confianza deseado (ej. 1.96 para 95%) : desviación estándar poblacional conocida : tamaño de la muestra [30] [31] [32] 2. Media Poblacional (σ desconocida) : valor crítico de la distribución t con grados de libertad : desviación estándar muestral [33] [34] 3. Proporción Poblacional : proporción muestral : valor crítico de la distribución normal estándar : tamaño de la muestra [34]
7. Para dos muestras independientes con medias , tamaños , y desviaciones estándar conocidas o estimadas: Si son desconocidas, se usa la distribución t con grados de libertad calculados según el método de Welch. Para dos proporciones muestrales con tamaños : Estos intervalos permiten estimar con un nivel de confianza dado el rango donde se encuentra el parámetro poblacional, considerando la variabilidad muestral y el tamaño de la muestra . Si deseas, puedo ayudarte con ejemplos específicos o cálculos detallados para alguno de estos casos. ⁂ 4. Diferencia de Medias (Muestras Independientes) 5. Diferencia de Proporciones [30] [31] [32] [34] Uso y aplicaciones de las distribuciones t y z Distribución Z (Normal Estándar) Se utiliza cuando la desviación estándar poblacional es conocida o cuando el tamaño de la muestra es grande (generalmente ), gracias al Teorema del Límite Central. Aplicaciones principales: Estimación de intervalos de confianza para la media poblacional cuando es conocida. Pruebas de hipótesis sobre medias poblacionales con conocida o muestras grandes. Aproximación para proporciones poblacionales cuando el tamaño muestral es suficientemente grande. La distribución Z es simétrica y tiene colas más delgadas, lo que refleja menor incertidumbre cuando la varianza es conocida o la muestra es grande.
8. Aspecto Distribución Z Distribución t de Student Desviación estándar Poblacional conocida Desconocida, estimada por la muestra Tamaño de muestra Grande ( ) Pequeño ( ) Forma de la distribución Normal estándar, colas delgadas Colas más anchas, depende de grados de libertad Aplicaciones Intervalos de confianza, pruebas de hipótesis con conocida Intervalos de confianza, pruebas de hipótesis con desconocida, análisis de regresión Sensibilidad Menor incertidumbre Mayor incertidumbre debido a estimación de En conclusión, la distribución Z se usa cuando la varianza es conocida o la muestra es grande, mientras que la distribución t es la herramienta adecuada para muestras pequeñas con varianza desconocida, garantizando inferencias estadísticas válidas y confiables . ⁂ Distribución t de Student Se emplea cuando la desviación estándar poblacional es desconocida y el tamaño de la muestra es pequeño (generalmente ). Tiene colas más anchas que la distribución normal, lo que refleja la mayor incertidumbre al estimar la varianza a partir de la muestra. A medida que el tamaño de la muestra aumenta, la distribución t se aproxima a la distribución normal. Aplicaciones principales: Pruebas de hipótesis sobre la media poblacional con varianza desconocida y muestras pequeñas. Estimación de intervalos de confianza para la media poblacional en las mismas condiciones. Comparación de medias entre dos grupos (pruebas t para muestras independientes o relacionadas). Análisis de regresión, para evaluar la significancia de coeficientes cuando la varianza es desconocida. Es especialmente útil para tomar decisiones estadísticas con muestras pequeñas y varianza desconocida, proporcionando intervalos y pruebas más conservadoras y realistas . [35] [36] [37] Resumen comparativo [35] [36] [37] 1. https://www.medwave.cl/series/MBE04/5053.html 2. http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/proyecto/libro19/61estimacin_puntual_y_por_intervalos.html
9. 3. http://www.ugr.es/~mvargas/tema7sd.pdf 4. https://repositorio.usam.ac.cr/xmlui/bitstream/handle/11506/970/LEC EST 0004 2019.pdf? sequence=1&isAllowed=y 5. http://www.rpsqualitas.es/documentacion/dowloads/quimiometria/estimacion_puntual_y_por_intervalos. pdf 6. https://es.slideshare.net/slideshow/52-estimacion-puntual-y-por-intervalos/15490948 7. http://estadisticaiiiuba.blogspot.com/p/grupo-5-estimacion.html 8. https://espanol.libretexts.org/Estadisticas/Estadistica_Aplicada/Bioestadistica_-_Libro_de_texto_de_apre ndizaje_abierto/Unit_4A:_Introducción_a_la_Inferencia_Estadística/Estimación 9. https://www.youtube.com/watch?v=cMqgG_lBC2U 10. https://www.youtube.com/watch?v=4v9HtX2zRVg 11. http://www.ugr.es/~mvargas/tema7sd.pdf 12. http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/proyecto/libro19/61estimacin_puntual_y_por_intervalos.html 13. https://www.medwave.cl/series/MBE04/5053.html 14. https://www.studocu.com/es/messages/question/6281123/que-diferencia-hay-entre-la-estimacion-punt ual-y-por-intervalos-de-confianza-de-parametros 15. https://www.youtube.com/watch?v=cMqgG_lBC2U 16. https://es.scribd.com/document/481534264/RESUMEN-ESTIMACION-PUNTUAL-Y-ESTIMACION-POR-IN TERVALO 17. https://www2.ulpgc.es/descargadirecta.php?codigo_archivo=5512 18. https://www.youtube.com/watch?v=Hd6rmhof_Iw 19. https://www.uv.es/webgid/Inferencial/42_caractersticas_estimadores.html 20. https://es.wikipedia.org/wiki/Estimador 21. https://www.uv.es/ceaces/tex1t/4 estimacion/propiedades.htm 22. https://economipedia.com/definiciones/propiedades-de-los-estimadores.html 23. https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_de_confianza 24. https://www.questionpro.com/blog/es/intervalo-de-confianza/ 25. https://support.minitab.com/es-mx/minitab/help-and-how-to/statistics/basic-statistics/supporting-topic s/basics/what-is-a-confidence-interval/ 26. https://economipedia.com/definiciones/intervalo-de-confianza.html 27. https://www.physiotutors.com/es/wiki/confidence-interval/ 28. https://es.statisticseasily.com/interpreting-confidence-intervals/ 29. https://www.seiem.es/docs/comunicaciones/GruposXIII/depc/Yanez_Behar_R.pdf 30. https://www.youtube.com/watch?v=9KctDzxQkE4 31. https://openstax.org/books/introducción-estadística-empresarial/pages/8-1-un-intervalo-de-confianza- para-una-desviacion-tipica-de-la-poblacion-con-un-tamano-de-muestra-conocido-o-grande 32. https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_de_confianza 33. https://www.youtube.com/watch?v=W1HJXCgYbCc 34. https://elmundodelosdatos.com/como-interpretar-un-intervalo-de-confianza-correctamente/
10. 35. https://elmundodelosdatos.com/distribucion-t-de-student-funcionamiento-propiedades-y-aplicaciones -en-estadistica/ 36. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-t-de-student.html 37. https://www.questionpro.com/blog/es/prueba-t-de-student/