Teoria de la Probabilidad

Probabilidad II Introducci´ on Jos´ e R. Berrendero Departamento de
Matem´ aticas Universidad Aut´ onoma de Madrid

Datos de contacto Jos´ e Ram´ on Berrendero Despacho: 08-210
Correo electr´ onico: [email protected] Tel´ efono: 91 497 6690 Web: http: //matematicas.uam.es/~joser.berrendero/index.html

Evaluaci´ on La calificaci´ on final de la asignatura se
calcular´ a con la siguiente f´ ormula: Nota final = F si F < 4 5 + 5 7 (F + C − 5) si F ≥ 4 , donde F es la nota obtenida en el examen final (sobre 10 puntos). C es la nota obtenida en un control que se realizar´ a hacia la mitad del curso (sobre 2 puntos).

Hilbert Traducci´ on al ingl´ es de la conferencia de
Hilbert en el Congreso de Matem´ aticos de Par´ ıs de 1900 El sexto problema de Hilbert

Kolmogorov Kolmogorov, A. (1933). Los fundamentos de la teor´ ıa
de la probabilidad.

Espacios de probabilidad Espacio de probabilidad (tema 1): (Ω, F,
P) Ω es un conjunto arbitrario. F es el conjunto de sucesos (subconjuntos de Ω que forman una σ-´ algebra). P es una medida tal que P(Ω) = 1. En comparaci´ on con teor´ ıa de la medida: Se a˜ nade un concepto fundamental nuevo: la idea de independencia (tema 2). Otras σ-´ algebras diferentes de F representar´ an papeles importantes.

Objetivo 1. Leyes de los grandes n´ umeros (LGN) Si
X1, X2, . . . son los resultados que se obtienen al realizar de forma independiente un experimento aleatorio, ¯ Xn := X1 + · · · + Xn n → µ. ¿Que tipo de objeto matem´ atico es Xi ? (tema 1) ¿Qu´ e signiﬁca la expresi´ on de forma independiente? (tema 2) ¿En qu´ e sentido una sucesi´ on de valores aleatorios converge a un l´ ımite? (tema 5) ¿Cu´ ando existe el l´ ımite? (tema 5) Si existe el l´ ımite µ, ¿cu´ al es? (temas 3 y 5)

Objetivo 1. Leyes de los grandes n´ umeros (LGN) Una
posible deﬁnici´ on de convergencia (LFGN): P ∞ k=1 ∞ n=1 ∞ m=n | ¯ Xm − µ| < 1 k = 1. La uni´ on numerable y la intersecci´ on numerable de conjuntos de F debe pertenecer a F. F tiene que ser una σ-´ algebra. Sin embargo, F = P(Ω) es demasiado grande en la mayor´ ıa de ejemplos de inter´ es.

Objetivo 2. Teorema central del l´ ımite (TCL) Si an
es una sucesi´ on de n´ umeros reales, estudiar el comportamiento cuando n → ∞ de an( ¯ Xn − µ) Tipo de convergencia (tema 6) Velocidad de convergencia ¿Cu´ al es la sucesi´ on an adecuada? (tema 6) ¿Cu´ al es la distribuci´ on l´ ımite? (tema 6)

Objetivo 3. Esperanza condicionada Si X e Y son los
resultados de dos experimentos aleatorios, deﬁnir de forma adecuada y completamente general E(Y |X), el valor esperado de Y dado que se conoce el valor de X. (Tema 7, en funci´ on del tiempo disponible). Es un concepto fundamental en problemas de predicci´ on. Tambi´ en importante para deﬁnir distintos tipos de procesos estoc´ asticos: Procesos de Markov: P(a < Xn+1 ≤ b|X1, X2, . . . , Xn ) = P(a < Xn+1 ≤ b|Xn ). Martingalas: E(Xn+1|X1, X2, . . . , Xn ) = Xn.

Temario 1 Espacios de probabilidad ´ Algebras y σ-´ algebras,
π-sistemas, λ-sistemas. Espacios de probabilidad. Propiedades elementales. Sucesiones de sucesos. Funci´ on de distribuci´ on. Probabilidad condicionada. Variables y vectores aleatorios. 2 Independencia. Independencia de sucesos y de σ-´ algebras. Criterio b´ asico de independencia. Ley 0-1 de Kolmogorov. Lemas de Borel-Cantelli. Independencia de variables aleatorias. 3 Esperanza. Esperanza y momentos de variables y vectores aleatorios. Algunas desigualdades importantes.

4 Funci´ on caracter´ ıstica. Propiedades b´ asicas. F´ ormulas
de inversi´ on. Funci´ on caracter´ ıstica y momentos. 5 Convergencias estoc´ asticas y leyes de los grandes n´ umeros. Convergencia casi segura, en probabilidad y en media. Relaciones entre los distintos conceptos de convergencia. Leyes fuertes y d´ ebiles de los grandes n´ umeros. 6 La convergencia en distribuci´ on y el teorema central del l´ ımite. Caracterizaciones de la convergencia en distribuci´ on. Teorema de continuidad. Teoremas centrales del l´ ımite. 7 Esperanza condicionada. Esperanza condicionada a una σ-´ algebra. La esperanza condicionada como proyecci´ on. Aplicaciones.

Bibliograf´ ıa Ash, R. B. and Doleans-Dade, C. (2000). Probability
and measure theory. Academic Press. Gut, A. (2012). Probability: a graduate course . Springer. Resnick, S. I. (2013). A probability path. Springer. Shiryaev, A. N. (2016). Probability 1 (third edition). Springer. Williams, D. (1991). Probability with martingales. Cambridge University Press.

Probabilidad II Tema 1: Espacios de probabilidad Jos´ e R.
Berrendero Departamento de Matem´ aticas Universidad Aut´ onoma de Madrid

Estructura de este tema ´ Algebras, σ-´ algebras. Espacios de
probabilidad. Propiedades elementales. L´ ımites de sucesiones de conjuntos. π-sistemas, λ-sistemas. Teorema de Dynkin. Funci´ on de distribuci´ on. Probabilidad condicionada. Variables y vectores aleatorios. σ-´ algebra generada por una variable aleatoria.

σ-´ algebras Sea Ω un conjunto no vac´ ıo. Un
´ algebra F es una clase de subconjuntos de Ω que veriﬁca Ω ∈ F. Si A ∈ F, entonces Ac ∈ F, donde Ac := Ω − A. Si A, B ∈ F, entonces A ∪ B ∈ F. Una σ-´ algebra F es una clase de subconjuntos de Ω que veriﬁca Ω ∈ F. Si A ∈ F, entonces Ac ∈ F. Si An ∈ F, n ≥ 1, entonces ∪∞ n=1 An ∈ F.

σ-´ algebras Ejemplos El conjunto de las partes de Ω,
F = P(Ω). F = {∅, Ω}. F = {∅, Ω, A, Ac}, donde A ⊂ Ω. F = {A ⊂ R : A numerable} {A ⊂ R : Ac numerable}. Observaci´ on: La intersecci´ on de σ-´ algebras es una σ-´ algebra. En general la uni´ on de σ-´ algebras no es una σ-´ algebra. σ-´ algebra generada por una clase de conjuntos Sea C ⊂ P(Ω). Se deﬁne la σ-´ algebra generada por C como la intersecci´ on de todas las σ-´ algebras que contienen a C (la “m´ ınima” σ-´ algebra que contiene a C).

σ-´ algebra de Borel σ-´ algebra de Borel Sea (Ω,
τ) un espacio topol´ ogico. La σ-´ algebra de Borel B := B(Ω) es la generada por los conjuntos abiertos de Ω. σ-´ algebra de Borel en R B(R) =σ((a, b], a, b ∈ R) = σ((a, b), a, b ∈ R) = σ([a, b), a, b ∈ R) =σ((−∞, b], b ∈ R) = σ((−∞, b), b ∈ R) =σ((a, ∞], a ∈ R) = σ([a, ∞), a ∈ R).

Espacio de probabilidad Un espacio de probabilidad es una terna
(Ω, F, P), donde Ω es un conjunto no vac´ ıo, F es una σ-´ algebra de subconjuntos de Ω y P es una medida de probabilidad sobre F, es decir, P : F → [0, 1] tal que P(Ω) = 1. Si A1, A2, . . . son sucesos en F tales que Ai ∩ Aj = ∅ si i = j, entonces P ∞ n=1 An = ∞ n=1 P(An).

Propiedades elementales Paso al complementario: P(Ac) = 1 − P(A).
Probabilidad del vac´ ıo: P(∅) = 0. Monoton´ ıa: Si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B). Subaditividad: P ∞ n=1 An ≤ ∞ n=1 P(An). F´ ormula de inclusi´ on-exclusi´ on: P n i=1 Ai = n i=1 P(Ai ) − i<j P(Ai ∩ Aj ) + i<j<k P(Ai ∩ Aj ∩ Ak) − · · · + (−1)n+1P(A1 ∩ · · · ∩ An).

L´ ımites de sucesiones de conjuntos L´ ımite inferior de
una sucesi´ on de conjuntos: lim inf An = ∞ n=1 ∞ k=n Ak. L´ ımite superior de una sucesi´ on de conjuntos: lim sup An = ∞ n=1 ∞ k=n Ak. Comprueba lim inf An ⊂ lim sup An. Expresa de forma alternativa (lim inf An)c y (lim sup An)c.

L´ ımites de sucesiones de conjuntos L´ ımite de una
sucesi´ on de conjuntos La sucesi´ on An tiene l´ ımite A (An → A) si lim inf An = lim sup An = A. L´ ımites de sucesiones mon´ otonas Si A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , entonces An ↑ A = ∪∞ n=1 An. Si A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , entonces An ↓ A = ∩∞ n=1 An. Continuidad para sucesiones mon´ otonas Si An ↑ A, entonces P(An) ↑ P(A). Si An ↓ A, entonces P(An) ↓ P(A). Relaci´ on entre la probabilidad del l´ ımite inferior y superior P(lim inf An) ≤ lim inf P(An) ≤ lim sup P(An) ≤ P(lim sup An). Continuidad Si An → A, entonces P(An) → P(A).

π-sistemas y λ-sistemas Un π-sistema C es una clase de
subconjuntos de Ω tal que si A, B ∈ C, entonces A ∩ B ∈ C. Un λ-sistema es una clase L de subconjuntos de Ω tal que: (a) Ω ∈ L, (b) si A ∈ L, entonces Ac ∈ L, (c) si An ∈ L, n ≥ 1, y Ai ∩ Aj = ∅ para i = j, entonces ∪∞ n=1 An ∈ L. Observaciones Un ´ algebra es un π-sistema. Una σ-´ algebra es un λ-sistema. C es una σ-´ algebra si y solo si C es π-sistema y λ-sistema.

Teorema de Dynkin Teorema de Dynkin Sea C un π-sistema
y L un λ-sistema. Si C ⊂ L entonces σ(C) ⊂ L. Aplicaci´ on habitual de este teorema Supongamos que L contiene los conjuntos que satisfacen cierta propiedad. Para demostrar que la propiedad se cumple para todos los conjuntos de una σ-´ algebra (σ(C) ⊂ L) basta probarla para los conjuntos de un π-sistema que la genera (C ⊂ L).

Teorema de Dynkin: esquema de la demostraci´ on Basta demostrar
que el m´ ınimo λ-sistema que contiene a C, λ(C), es un π-sistema. Dado A ⊂ Ω, deﬁnimos GA := {B ⊂ Ω : A ∩ B ∈ λ(C)}. Si A ∈ λ(C), entonces GA es λ-sistema. Si A ∈ C, entonces λ(C) ⊂ GA. Para esto basta ver que C ⊂ GA. (Por tanto, si A ∈ C y B ∈ λ(C), entonces A ∩ B ∈ λ(C)). Cambiando los papeles de A y B tenemos que si A ∈ λ(C), entonces C ⊂ GA. Como consecuencia, λ(C) ⊂ GA y hemos terminado.

Funci´ on de distribuci´ on Sea P una medida de
probabilidad sobre (R, B), donde B es la σ-´ algebra de Borel. La funci´ on de distribuci´ on F : R → [0, 1] correspondiente a P se deﬁne como F(x) = P((−∞, x]), x ∈ R. Observaciones (a) Una funci´ on de distribuci´ on F tiene las tres propiedades siguientes: Es continua por la derecha. Es mon´ otona no decreciente. F(∞) := limx→∞ F(x) = 1; F(−∞) := limx→−∞ F(x) = 0. (b) Si F es una funci´ on de distribuci´ on, Cont(F)c es numerable, donde Cont(F) es el conjunto de puntos en los que F es continua. (c) Si F1 y F2 son dos funciones de distribuci´ on tales que F1(x) = F2(x), para todo x ∈ Cont(F1) ∩ Cont(F2), entonces F1(x) = F2(x), para todo x ∈ R.

Extensi´ on de medidas Teorema Sea F : R →
[0, 1] una funci´ on continua por la derecha, mon´ otona no decreciente, con F(∞) = 1, F(−∞) = 0. Deﬁnamos P((a, b]) = F(b) − F(a), para a < b. Existe una ´ unica medida de probabilidad que extiende P a B(R). Teorema de extensi´ on de Carath` eodory Sea µ una medida σ-ﬁnita sobre un ´ algebra F0 ⊂ P(Ω). Entonces existe una extensi´ on ´ unica de µ a la σ-´ algebra F generada por F0. La unicidad se puede deducir directamente de: Teorema Sean P1 y P2 medidas de probabilidad sobre σ(C), donde C es un π-sistema. Si P1(A) = P2(A) para todo A ∈ C, entonces P1(A) = P2(A) para todo A ∈ σ(C).

Probabilidad condicionada Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad
y A, B ∈ F con P(B) > 0. Se llama probabilidad de A condicionada a B a P(A|B) := P(A ∩ B) P(B) . La aplicaci´ on: P(·|B) : F −→ [0, 1] A −→ P(A|B) es una medida de probabilidad sobre (Ω, F).

Probabilidad condicionada F´ ormula del producto Si A1, . .
. , An ∈ F con P(A1 ∩ · · · ∩ An) > 0, se tiene P(A1 ∩ · · · ∩ An ) = P(A1 )P(A2|A1 )P(A3|A1 ∩ A2 ) · · · P(An|A1 ∩ · · · ∩ An−1 ). Una colecci´ on de sucesos disjuntos {Ai }∞ i=1 ⊂ F es una partici´ on de Ω si: (a) P(Ai ) > 0, i ≥ 1. (b) Ω = ∪∞ i=1 Ai . F´ ormula de la probabilidad total Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y {Ai }∞ i=1 ⊂ F una partici´ on. Entonces, para cualquier B ∈ F, P(B) = ∞ i=1 P(Ai )P(B|Ai ).

Probabilidad condicionada F´ ormula de Bayes Sea (Ω, F, P)
un espacio de probabilidad, {Ai }∞ i=1 ⊂ F una partici´ on y B ∈ F con P(B) > 0, entonces P(Aj |B) = P(Aj )P(B|Aj ) ∞ i=1 P(Ai )P(B|Ai ) . P(An) se llaman probabilidades a priori P(An|B) se llaman probabilidades a posteriori

Variables aleatorias Una variable aleatoria sobre un espacio de probabilidad
(Ω, F, P) es una funci´ on X : Ω → R medible respecto a F y la σ-´ algebra de Borel B(R). X−1(B) ∈ F, para todo B ∈ B(R). Intuitivamente, X(ω) representa una cantidad num´ erica relacionada con el resultado ω ∈ Ω de un experimento aleatorio. Queremos calcular probabilidades de sucesos de la forma {a < X ≤ b} := {ω : a < X(ω) ≤ b} = X−1(a, b]. Es necesario X−1(a, b] ∈ F, para todo a, b ∈ R, lo que implica X−1(B) ∈ F para todo B ∈ B(R). A veces hace falta considerar v.a. extendidas X : Ω → R, donde R = [−∞, ∞]. Aqu´ ı, B(R) es generada por intervalos (a, b], con −∞ ≤ a < b ≤ ∞ y [−∞, b], con −∞ ≤ b ≤ ∞.

Distribuci´ on inducida por una v.a. Una variable aleatoria X
induce una medida de probabilidad PX sobre (R, B): PX (B) := P(X ∈ B) = P{ω : X(ω) ∈ B}, B ∈ B. Es f´ acil comprobar que PX es en efecto una medida de probabilidad sobre (R, B). La funci´ on de distribuci´ on de una v.a. X es la funci´ on de distribuci´ on de la medida de probabilidad PX : FX (x) = PX ((−∞, x]) = P(X ≤ x), x ∈ R. Dada una funci´ on F mon´ otona no decreciente y continua por la derecha con F(∞) = 1 y F(−∞) = 0, siempre existe una v.a. X tal que F = FX .

Observaciones Si X1, . . . , Xn son v.a.
y g : Rn → R es medible (Borel), entonces g(X1, . . . , Xn) es una v.a. Por ejemplo: X1 + . . . + Xn es una v.a. Si X1, X2, · · · son v.a. entonces supn Xn e infn Xn son v.a. Si X1, X2, · · · son v.a. entonces lim supn Xn y lim infn Xn son v.a. Si X1, X2, · · · son v.a. tales que Xn(ω) converge para todo ω ∈ Ω, entonces limn Xn es una v.a.

Algunos tipos de variables aleatorias (1) Una v.a. X es
degenerada en c ∈ R si P(X = c) = 1. ¿Cu´ al es su funci´ on de distribuci´ on? (2) Una v.a. X es discreta si el conjunto de valores que toma X es ﬁnito o numerable. (3) Una v.a. X es absolutamente continua si existe una funci´ on medible (Borel) y no negativa f : R → R tal que FX (x) = x −∞ f (t)dt. Se dice que f es la funci´ on de densidad de X. Se veriﬁca: ∞ −∞ f (t)dt = 1. P(X ∈ B) = B f (t)dt, para todo B ∈ B. (4) Una v.a. X es singular si existe B ∈ B tal que λ(B) = 0 y PX (B) = 1, donde λ es la medida de Lebesgue.

Vectores aleatorios Un vector aleatorio sobre un espacio de probabilidad
(Ω, F, P) es una funci´ on X : Ω → Rn medible respecto a F y la σ-´ algebra de Borel B(Rn). Observaci´ on X = (X1, . . . , Xn) es un vector aleatorio si y solo si Xi es una variable aleatoria para todo i = 1, . . . , n. Distribuci´ on y funci´ on de distribuci´ on de un vector aleatorio Distribuci´ on: PX (B) := P(X ∈ B) = P{ω : X(ω) ∈ B}, B ∈ B(Rn). Funci´ on de distribuci´ on: F : Rn → R tal que FX (x) = F(x1, . . . , xn) := P(Xi ≤ xi , i = 1, . . . , n). Las funciones de distribuci´ on de las v.a. Xi , i = 1, . . . , n se llaman funciones de distribuci´ on marginales.

Vectores aleatorios absolutamente continuos Una vector aleatorio X es absolutamente
continuo si existe una funci´ on medible (Borel) y no negativa f : Rn → R tal que FX (x1, . . . , xn) = xn −∞ · · · x1 −∞ f (t1, . . . , tn)dt1 · · · dtn. Se dice que f es la funci´ on de densidad de X. Se veriﬁca: P(X ∈ B) = B f (t1, . . . , tn)dt1 · · · dtn, para todo B ∈ B(Rn).

σ-´ algebra generada por una variable aleatoria Sea X :
(Ω, F) → (R, B) una v.a. La clase de conjuntos σ(X) := {X−1(B) : B ∈ B} es una sub σ-´ algebra de F denominada σ-´ algebra generada por X. σ(X) es la m´ ınima σ-´ algebra que hace medible a X. Determina σ(X) para las siguientes v.a.: X(ω) = a para todo ω ∈ Ω. X = IA, donde A ∈ F. X es una v.a. simple, es decir, X toma un n´ umero ﬁnito de valores {a1, . . . , ak} ⊂ R.

σ-´ algebra generada por una variable aleatoria Intuitivamente, σ(X) recoge
la informaci´ on que se obtiene al observar la v.a. X. Dada una familia de v.a. {Xi : i ∈ I}, se deﬁne σ(Xi , i ∈ I) como la m´ ınima σ-´ algebra que hace medibles a todas las Xi simult´ aneamente, es decir, σ(Xi , i ∈ I) := σ i∈I σ(Xi ) . Un proceso en un intervalo de tiempo [0, T], determina una familia de v.a. {Xt : t ∈ [0, T]}. Entonces, σ(Xt, t ∈ [0, T]) representa la informaci´ on obtenida al observar el proceso.

σ-´ algebra generada por una variable aleatoria Proposici´ on Si
X es una v.a. y C es una clase de subconjuntos de R X−1[σ(C)] = σ[X−1(C)]. Demostraci´ on: X−1[σ(C)] ⊃ σ[X−1(C)] ya que X−1[σ(C)] es σ-´ algebra que contiene a X−1(C). A = {B ⊂ R : X−1(B) ∈ σ[X−1(C)]} es una σ-´ algebra tal que C ⊂ A. Por tanto σ(C) ⊂ A. Esta inclusi´ on implica X−1[σ(C)] ⊂ σ[X−1(C)] por deﬁnici´ on de A. Corolario σ(X) = σ({{X ≤ x} : x ∈ R)} = σ({X−1((−∞, x]) : x ∈ R}).

Probabilidad II Tema 2: Independencia Jos´ e R. Berrendero Departamento
de Matem´ aticas Universidad Aut´ onoma de Madrid

Estructura de este tema Independencia de sucesos y de σ-´
algebras. Criterio b´ asico de independencia. Ley 0-1 de Kolmogorov. Lemas de Borel-Cantelli. Independencia de variables aleatorias.

Independencia de dos sucesos (Ω, F, P) espacio de probabilidad.
Se dice que dos sucesos A, B ∈ F son independientes si P(A ∩ B) = P(A)P(B). (Notaci´ on: AB = A ∩ B.) Observaciones Si P(A) = 0, entonces A y B indeps. para todo B ∈ F. Si P(A) = 1, entonces A y B indeps. para todo B ∈ F. Si A y B indeps. con P(B) > 0, entonces P(A|B) = P(A). Si A y B independientes, entonces: – A, Bc independientes. – Ac, B independientes. – Ac, Bc independientes.

Independencia de sucesos Los sucesos {Ai }i∈I ⊂ F son
independientes si para toda colecci´ on ﬁnita {i1, . . . , in} de ´ ındices distintos de I, P(Ai1 · · · Ain ) = P(Ai1 ) · · · P(Ain ) Observaci´ on: A, B, C ∈ F son independientes si: (1)    P(AB) = P(A)P(B) P(AC) = P(A)P(C) P(BC) = P(B)P(C)    {A, B, C} ind. dos a dos (2) P(ABC) = P(A)P(B)P(C) La condici´ on (1), independencia dos a dos, no implica independencia. La condici´ on (2) tampoco.

Ejemplos Ejemplo 1: seleccionamos con probabilidad 1/4 entre los puntos
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1). Para k = 1, 2, 3 consideramos los sucesos Ak, la coordenada k es igual a 1. Son independientes dos a dos pero no son independientes. Calcula P(A1A2|A3) y P(A1A2). Ejemplo 2: Se lanza un dado dos veces y se consideran los sucesos A (la segunda tirada es 1,2 o 5), B (la segunda tirada es 4,5 o 6) y C (la suma de las dos tiradas es 9). Se cumple que P(ABC) = P(A)P(B)P(C). Sin embargo no son independientes dos a dos.

Criterio b´ asico de independencia Independencia de familias de sucesos
Las clases de sucesos {Ci }i∈I son independientes si para cada elecci´ on {Ci : Ci ∈ Ci , i ∈ I}, los sucesos {Ci }i∈I son independientes. Es decir, si para cada colecci´ on ﬁnita {i1, . . . , ik} ⊂ I, se veriﬁca P(Ci1 · · · Cik ) = P(Ci1 ) · · · P(Cik ). Observaci´ on A, B independientes, entonces σ(A), σ(B) independientes. Teorema (criterio b´ asico de independencia) Sean C1, . . . , Cn ⊂ F π-sistemas independientes. Entonces las σ-´ algebras que generan, σ(C1), . . . , σ(Cn), son independientes.

Criterio b´ asico de independencia Aplicaciones {A1, . . .
, An} independientes. Ci = {Ai , Ω} π-sistema. Entonces, las clases σ(Ci ) = {∅, Ai , Ac i , Ω} (i = 1, . . . , n) son independientes. F1, F2, F3, F4, F5 sub-σ-´ algebras de F independientes. Demuestra que FA = σ(F1 ∪ F2) y FB = σ(F3 ∪ F4 ∪ F5) son tambi´ en independientes. Ejemplo A, B, C, D, E sucesos independientes. Las σ-´ algebras F1 = {∅, A, Ac, Ω}, . . . , F5 = {∅, E, Ec, Ω} son independientes. Por tanto, σ(F1 ∪ F2) y σ(F3 ∪ F4 ∪ F5) son tambi´ en independientes. En particular, los sucesos ABc y C ∪ (D \ E) son independientes. Teorema de agrupamiento Sea {Fi }i∈I familia independiente de σ-´ algebras de F, {Ij }j∈J partici´ on de I y FIj = σ i∈Ij Fi . Se tiene que las σ-´ algebras {FIj }j∈J son independientes.

La ley 0-1 de Kolmogorov Sea {Fn} una sucesi´ on
de sub-σ-´ algebras de F. Por ejemplo, Fn = σ(An). Para n = 0, 1, 2, . . . deﬁnimos Gn = σ ∞ k=n+1 Fk . La σ-´ algebra Gn est´ a formada por los sucesos que dependen de lo que ocurre de n + 1 en adelante. Se veriﬁca G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ · · · La σ-´ algebra asint´ otica (relativa a {Fn}) es F∞ := ∞ n=0 Gn = ∞ n=0 σ ∞ k=n+1 Fk ¿C´ omo cambia F∞ si cambiamos F1, F2, F3 por otras tres sub-σ-´ algebras? Ejemplo: si Fn = σ(An), lim sup An ∈ F∞ y lim inf An ∈ F∞.

La ley 0-1 de Kolmogorov Bajo la hip´ otesis de
independencia, los sucesos asint´ oticos tienen probabilidad cero o probabilidad uno. Teorema (ley 0-1 de Kolmogorov) Sean {Fn} ⊂ F sub-σ-´ algebras independientes. Para todo A ∈ F∞, se tiene P(A) = 0 o P(A) = 1. Ejemplo Si A1, A2, . . . son independientes, P(lim sup An) = 0 o P(lim sup An) = 1. En este caso, los lemas de Borel-Cantelli son m´ as informativos porque dan un criterio que permite saber cu´ ando estamos en una u otra situaci´ on.

Lemas de Borel-Cantelli Primer lema de Borel-Cantelli. Sea {An} ⊂
F. Si ∞ n=1 P(An) < ∞, entonces P(lim sup An) = 0. Segundo lema de Borel-Cantelli. Sea {An} ⊂ F independientes. Si ∞ n=1 P(An) = ∞, entonces P(lim sup An) = 1. Ejemplo Si se lanza una moneda inﬁnitas veces, ¿cu´ al es la probabilidad de que a partir de cierto momento ya no se obtengan m´ as caras? La misma cuesti´ on si cada lanzamiento se realiza con una moneda diferente tal que la probabilidad de cara en la tirada n es pn = 1/n. ¿Y si fuese pn = 1/n2?

Independencia de variables aleatorias {Xi , i ∈ I} forman
una familia de v.a. independientes si las σ-´ algebras que generan, {σ(Xi ), i ∈ I}, son independientes. Dada una familia de v.a. {Xi , i ∈ I}, sus funciones de distribuci´ on finito-dimensionales se definen: FJ(xj , j ∈ J) := P{Xj ≤ xj , j ∈ J}, para todos los subconjuntos finitos J ⊂ I. Proposici´ on (criterio de factorizaci´ on) {Xi , i ∈ I} forman una familia de v.a. independientes si y solo si para todo subconjunto finito J ⊂ I FJ(xj , j ∈ J) = j∈J P(Xj ≤ xj ).

Independencia de variables aleatorias Corolario Las v.a. X1, . .
. , Xn son independientes si y solo si P(X1 ≤ x1, . . . , Xn ≤ xn) = n i=1 P(Xi ≤ xi ). Corolario Las v.a. discretas X1, . . . , Xn con valores en S (numerable) son independientes si y solo si P(X1 = x1, . . . , Xn = xn) = n i=1 P(Xi = xi ), para todo xi ∈ S, i = 1, . . . , n.

Independencia de variables aleatorias Corolario Xi v.a. absolutamente continua con
densidad fi (xi ), i = 1, . . . , n. (a) Si (X1, . . . , Xn) tiene densidad f (x1, . . . , xn) = f1(x1) · · · fn(xn) (c.s. Lebesgue), entonces X1, . . . , Xn independientes. (b) Si X1, . . . , Xn independientes, entonces (X1, . . . , Xn) tiene densidad f (x1, . . . , xn) = f1(x1) · · · fn(xn). Observaci´ on: puede ocurrir que X1, . . . , Xn sean absolutamente continuas (resp. medida de Lebesgue en R) pero el vector (X1, . . . , Xn) no lo sea (resp. medida de Lebesgue en Rn).

Independencia de variables aleatorias Proposici´ on Sean X1, . .
. , Xn v.a. indepenientes y sean f : Rk → R y g : Rn−k → R funciones borelianas. Entonces f (X1, . . . , Xk) y g(Xk+1, . . . , Xn) son v.a. independientes. Cuesti´ on: Si X es independiente de Y y X es independiente de Z, ¿podemos aﬁrmar que X es independiente de f (Y , Z)? Ley 0-1 de Kolmogorov para v.a. Sea X1, X2, . . . una sucesi´ on de v.a. independientes. Sea Gn = σ(Xn+1, Xn+2, . . .) y F∞ = ∞ n=1 Gn. Si A ∈ F∞, entonces P(A) = 0 o P(A) = 1. Ejemplo: La probabilidad de que la serie ∞ n=1 Xn sea convergente es cero o es uno.

Probabilidad II Tema 3: Esperanza Jos´ e R. Berrendero Departamento
de Matem´ aticas Universidad Aut´ onoma de Madrid

Estructura de este tema Esperanza de una variable aleatoria. Principales
propiedades. Teorema del cambio de espacio de integraci´ on. Momentos. Desigualdades. Esperanza del producto de v.a. independientes. Covarianza y correlaci´ on.

Esperanza de una variable aleatoria La esperanza (o media o
valor esperado) de una v.a. X se define de la siguiente forma: E(X) := Ω X dP. Obs. La EX es la integral sobre Ω de la funci´ on medible X respecto de la medida de probabilidad P tal y como se estudia en Teor´ ıa de la medida y la integraci´ on. Obs. Esta definici´ on de esperanza es consistente con la definici´ on que se suele dar en cursos menos avanzados de probabilidad. Construcci´ on de la esperanza: 1 Caso de v.a. simples. 2 Extensi´ on a v.a. no negativas. 3 Caso general.

Construcci´ on de la esperanza (1) v.a. simples: sea X
= k i=1 xi IAi una v.a. simple. Entonces, E(X) := k i=1 xi P(Ai ). (2) v.a. no negativas: si X ≥ 0, existe una sucesi´ on de v.a. simples Xn tales que 0 ≤ Xn ↑ X. Entonces, E(X) := lim n→∞ E(Xn). (3) v.a. arbitraria: en el caso general, X = X+ − X−, donde X+ = max{X, 0} y X− = max{0, −X}. Entonces, E(X) := E(X+) − E(X−), siempre que E(X+) < ∞ o E(X−) < ∞.

Propiedades m´ as importantes de la esperanza (1) E(X) es
ﬁnita ⇔ E|X| < ∞. En este caso se dice que X es integrable. Se usa la notaci´ on: X ∈ L1(P) = L1 := {X : Ω → R v.a., tales que E|X| < ∞}. (2) Linealidad: Si X + Y tiene esperanza, entonces E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). Si X tiene esperanza, entonces tambi´ en la tiene cX para todo c ∈ R, y E(cX) = cE(X). (3) Monoton´ ıa: Si X ≥ 0, entonces E(X) ≥ 0. Si X, Y ∈ L1, y X ≤ Y , entonces E(X) ≤ E(Y ). En particular, |E(X)| ≤ E(|X|).

Propiedades m´ as importantes de la esperanza (4) Teorema de
la convergencia mon´ otona (TCM): (a) Si Xn ↑ X y X− k ∈ L1 para alg´ un k. Entonces Xk , Xk+1 . . . tienen esperanza y E(Xn ) ↑ E(X). (b) Si Xn ↓ X y X+ k ∈ L1 para alg´ un k. Entonces Xk , Xk+1 . . . tienen esperanza y E(Xn ) ↓ E(X). (5) Lema de Fatou: (a) Si Xn ≤ Y para todo n y EY + < ∞, entonces Xn , lim supn→∞ Xn tienen esperanza para todo n y E lim sup n→∞ Xn ≥ lim sup n→∞ EXn. (b) Si Xn ≥ Z para todo n y EZ− < ∞, entonces Xn , lim infn→∞ Xn tienen esperanza para todo n y E lim inf n→∞ Xn ≤ lim inf n→∞ EXn.

Propiedades m´ as importantes de la esperanza (6) Teorema de
la convergencia dominada (TCD): Si Xn → X y existe Z ∈ L1 tal que |Xn| ≤ Z para todo n, entonces X1, . . . , Xn, . . . , X son integrables y EX = limn→∞ EXn. (7) Integral sobre un conjunto: Sea X una v.a. positiva o integrable y A ∈ F. Se deﬁne A X dP = E(X · IA) = Ω X · IA dP. Una desigualdad de mucha aplicaci´ on Sea X una variable aleatoria y a, b ∈ R. Se tiene: a P(a ≤ X ≤ b) ≤ {a≤X≤b} X dP ≤ b P(a ≤ X ≤ b).

Teorema del cambio de espacio de integraci´ on Teorema: Sea
X v.a. sobre (Ω, F, P) con distribuci´ on FX . Sea g : R → R medible Borel. Si Y = g(X), entonces E(Y ) = R g(x)dFX (x) = R gdPX . En la demostraci´ on se usa el m´ etodo de escala ascendente, es decir, se demuestra sucesivamente para (1) Indicadores, g = IB. (2) Funciones simples no negativas, g = n i=1 xi IBi . La linealidad es la que se aplica aqu´ ı. (3) Funciones no negativas, g ≥ 0. Aqu´ ı se suele aplicar TCM. (4) Funciones borelianas arbitrarias g. Usando g = g+ − g−.

Consecuencias y extensiones (1) Si X es un vector aleatorio
en Rn, la misma demostraci´ on permite aﬁrmar E[g(X)] = Rn g(x)dFX (x). (2) Si X es un vector aleatorio absolutamente continuo con funci´ on de densidad f , entonces E[g(X)] = Rn g(x)dFX (x) = Rn g(x)f (x)dx. (3) Si X es un vector aleatorio discreto con funci´ on de probabilidad p(x), entonces E[g(X)] = Rn g(x)dFX (x) = x g(x)p(x).

Ejemplos Expresa en funci´ on de las densidades las siguientes
esperanzas. Sea X v.a. con densidad f (x). EX3 = EetX = Sea (X, Y ) v.a. con densidad f (x, y). E X2 X4+Y 4 = Sea X, Y v.a. independientes con densidades f1(x) y f2(y). EeX+Y = E sin(X + Y ) =

Momentos Sea k > 0 y X una v.a. sobre
(Ω, F, P). Momento de orden k de X: E(Xk). Momento absoluto de orden k de X: E|X|k. Momento central de orden k de X: E[(X − E(X))k]. Momento absoluto central de orden k de X: E|X − E(X)|k. La varianza de X es su momento central de orden 2: σ2 = Var(X) = E[(X − E(X))2]. A la ra´ ız de la varianza σ se le llama desviaci´ on t´ ıpica.

Observaciones Si E(Xk) es finita para k > 0, entonces
E(Xα) es finita para 0 < α < k. Para todo k > 0 y m ∈ R, E|X|k < ∞ ⇔ E|X − m|k < ∞. Como consecuencia, si X ∈ L1, se verifica Var(X) < ∞ ⇔ X2 ∈ L1 ⇔ X ∈ L2, donde Lk := {X : Ω → R v.a., tales que E|X|k < ∞}. Si X ∈ L2, Var(X) = E(X2) − µ2, donde µ = E(X).

Algunas desigualdades importantes Markov Sea X ≥ 0 y >
0, entonces P(X ≥ ) ≤ E(X) . Chebychev Sea X ∈ L1 y > 0, entonces P(|X − E(X)| ≥ ) ≤ Var(X) 2 . Jensen Sea f : R → R convexa, X ∈ L1, f (X) ∈ L1. Entonces: f [E(X)] ≤ E[f (X)]

Algunas desigualdades importantes Lyapunov Sea 0 < s < t,
entonces (E|X|s)1/s ≤ (E|X|t)1/t. H¨ older Sea 1 < p < ∞ y 1 < q < ∞, tales que 1/p + 1/q = 1. Si E|X|p < ∞, E|Y |q < ∞, se tiene E|XY | < ∞ y E|XY | ≤ (E|X|p)1/p(E|Y |q)1/q. Minkowski Sea 1 ≤ p < ∞, E|X|p < ∞, E|Y |p < ∞. Entonces, (E|X + Y |p)1/p ≤ (E|X|p)1/p + (E|Y |p)1/p.

Esperanza del producto de v.a. independientes Teorema Sean X1, .
. . , Xn v.a. independientes sobre (Ω, F, P). Si Xi ≥ 0 para todo i = 1, . . . , n, o si Xi ∈ L1 para todo i = 1, . . . , n, E(X1 · · · Xn) existe y E(X1 · · · Xn) = E(X1) · · · E(Xn). Desigualdad de Hoeﬀding Sean X1, . . . , Xn v.a. independientes sobre (Ω, F, P) tales que P(ai ≤ Xi ≤ bi ) = 1, para todo i = 1, . . . , n. Sea Sn := X1 + . . . + Xn. Entonces, para todo > 0, P(|Sn − E(Sn)| > ) ≤ 2 exp − 2 2 n i=1 (bi − ai )2 .

Covarianza Sean X ∈ L2, Y ∈ L2. La covarianza
entre X e Y se deﬁne como: Cov(X, Y ) = E[(X − EX)(Y − EY )] = E(XY ) − E(X)E(Y ). Propiedades b´ asicas (1) Cov(X, X) = Var(X); Cov(X, Y ) = Cov(Y , X). (2) Para a, b, c, d ∈ R, se tiene Cov(aX + c, bY + d) = abCov(X, Y ). (3) Desigualdad de Cauchy-Schwarz: si consideramos la relaci´ on de equivalencia X ∼ X ⇔ P(X = X ) = 1, X, Y 2 := E(XY ) es un producto escalar. Por lo tanto: |Cov(X, Y )| ≤ σX · σY .

Coeficiente de correlaci´ on El coeficiente de correlaci´ on entre
X, Y ∈ L2 se define como: ρ(X, Y ) := Cov(X, Y ) σX · σY . Propiedades b´ asicas (1) Para a, b, c, d ∈ R, se tiene ρ(aX + c, bY + d) = sgn(ab)ρ(X, Y ). (2) Desigualdad de Cauchy-Schwarz: |ρ(X, Y )| ≤ 1. ¿Cu´ ando hay igualdad? (3) Si X e Y son v.a. independientes, entonces ρ(X, Y ) = 0 (variables incorreladas). El rec´ ıproco no es cierto. (4) Sean X1, . . . , Xn ∈ L2. Entonces: Var(X1 + · · · + Xn) = n i=1 Var(Xi ) + 2 i<j Cov(Xi , Xj ). ¿C´ omo queda la expresi´ on si las variables son incorreladas dos a dos?

Matriz de covarianzas En las f´ ormulas siguientes se entiende
que la esperanza y la varianza operan sobre cada elemento del vector o matriz correspondientes. Sea X = (X1, . . . , Xn) un vector aleatorio n-dimensional (en columna) tal que X1, . . . , Xn ∈ L2. Su vector de medias es µ = (µ1, . . . , µn) donde µi = E(Xi ). Su matriz de covarianzas es Σ, cuya posici´ on (i, j) es σi,j = Cov(Xi , Xj ). Es f´ acil comprobar Σ = E[(X − µ)(X − µ) ] = E(XX ) − µµ , Transformaciones aﬁnes: si A es matriz p × n y b ∈ Rp, E(AX + b) = Aµ + b. ΣAX+b = E[A(X − µ)(X − µ) A ] = AΣX A .

Probabilidad II Tema 4: La funci´ on caracter´ ıstica Jos´
e R. Berrendero Departamento de Matem´ aticas Universidad Aut´ onoma de Madrid

Estructura de este tema Deﬁnici´ on. Propiedades b´ asicas. Teorema
de unicidad y f´ ormulas de inversi´ on. La funci´ on caracter´ ıstica y los momentos de una v.a. Funci´ on caracter´ ıstica de vectores aleatorios. La distribuci´ on normal multivariante.

Variables aleatorias complejas Z : (Ω, F, P) −→ C
aplicaci´ on. Sean X = Re(Z), Y = Im(Z) parte real e imaginaria de Z, es decir X, Y : (Ω, F, P) −→ R y Z = X + iY Z se dice variable aleatoria compleja si es medible cuando en C se considera la σ-´ algebra boreliana asociada a la topolog´ ıa usual. Nota: Z v.a. compleja si y solo si (X, Y ) es un vector aleatorio bidimensional (es decir, si X e Y son v.a. unidimensionales). Diremos que Z es integrable si X e Y son integrables. En tal caso, la esperanza de Z se deﬁne EZ = E(X) + iE(Y ).

Esperanza de variables aleatorias complejas (1) Si Z integrable, entonces
EZ ∈ C. (2) Z integrable si y solo si E|Z| < ∞. (3) Linealidad: Si Z1, Z2 v.a. complejas integrables y a, b ∈ C, entonces aZ1 + bZ2 es integrable y E(aZ1 + bZ2) = aE(Z1) + bE(Z2). (4) Si Z es integrable, entonces |E(Z)| ≤ E|Z|. (5) Teorema de convergencia dominada: Si Zn → Z y |Zn| ≤ Y v.a. integrable, entonces Zn y Z son integrables y E(Z) = lim n→∞ E(Zn). (6) Si Z1, . . . , Zn son v.a. independientes e integrables en C, entonces E(Z1 · · · Zn) = E(Z1) · · · E(Zn).

Definici´ on de la funci´ on caracter´ ıstica Sean X
una variable aleatoria sobre (Ω, F, P). La funci´ on caracter´ ıstica (f.c.) de X se define como ϕX (t) := E(eitX ) = R eitx dFX (x). Se verifica, ϕX (t) = R cos(tx)dFX (x) + i R sen(tx)dFX (x). Estrechamente relacionada con la transformada de Fourier. Si X ≡ B(1, 1/2), ¿cu´ al es su f.c.?

Propiedades b´ asicas (1) ϕX (0) = 1 y |ϕX
(t)| ≤ 1 para todo t ∈ R. (2) ϕX (−t) = ϕX (t) = ϕ−X (t). (3) ϕX (t) es uniformemente continua. (4) Si X1, . . . , Xn son v.a. independientes, entonces: ϕX1+···+Xn (t) = n i=1 ϕXi (t), t ∈ Rn. (5) Si Y = aX + b, entonces ϕY (t) = eitbϕaX (t).

Funciones caracter´ ısticas de algunas distribuciones (1) X = c
c.s. (degenerada), ϕX (t) = eitc. (2) X ∼ B(1; p), ϕX (t) = (q + peit). (3) X ∼ B(n; p), ϕX (t) = (q + peit)n. (4) X ∼ P(λ), ϕX (t) = eλ(eit −1). (5) X ∼ G(p), ϕX (t) = p 1 − qeit . (6) X ∼ BN(r; p), ϕX (t) = p 1 − qeit r . (7) X ∼ U(a, b), ϕX (t) = eitb − eita it(b − a) . En particular, – X ∼ U(−1, 1), ϕX (t) = sin t t . – X ∼ U(−c, c), ϕX (t) = sin tc tc .

Funciones caracter´ ısticas de algunas distribuciones (8) X con densidad
triangular f (x) = max{1 − |x|, 0}, ϕX (t) = 2 1 − cos t t2 . (9) X ∼ Exp(a), ϕX (t) = 1 − it a −1 . (10) X Cauchy, f (x) = 1 π 1 1 + x2 , ϕX (t) = e−|t|. (11) X ∼ Gamma(α, β) (α, β > 0) f (x) = xα−1e−βx βα Γ(α) , (x > 0), ϕX (t) = 1 − it β −α . (12) X ∼ N(µ, σ2), ϕX (t) = exp itµ − 1 2 σ2t2 .

F´ ormulas de inversi´ on La funci´ on caracter´ ıstica
caracteriza la distribuci´ on de una v.a. Teorema de unicidad Sean X e Y dos v.a. tales que ϕX = ϕY . Entonces FX = FY . Es consecuencia de las f´ ormulas de inversi´ on: Proposici´ on Sea X una v.a. con funci´ on de distribuci´ on F y funci´ on caracter´ ıstica ϕ, con valores en Z. Entonces, para todo n ∈ Z, P(X = n) = 1 2π π −π e−itnϕ(t)dt.

F´ ormulas de inversi´ on Teorema Sea X una v.a.
con funci´ on de distribuci´ on F y funci´ on caracter´ ıstica ϕ. Para a < b, F(b)−F(a)+ 1 2 P(X = a)− 1 2 P(X = b) = lim T→∞ 1 2π T −T e−itb − e−ita −it ϕ(t)dt. Teorema Si ∞ −∞ |ϕ(t)|dt < ∞, entonces X es absolutamente continua con funci´ on de densidad f continua y acotada dada por f (x) = 1 2π ∞ −∞ e−itx ϕ(t)dt.

Sumas de v.a. independientes    X, Y independientes
X ∼ B(n; p) Y ∼ B(m; p)    =⇒ X + Y ∼ B(n + m; p).    X, Y independientes X ∼ P(λ) Y ∼ P(µ)    =⇒ X + Y ∼ P(λ + µ).    X, Y independientes X ∼ BN(r; p) Y ∼ BN(s; p)    =⇒ X + Y ∼ BN(r + s; p).    X, Y independientes X ∼ Gamma(α1; β) Y ∼ Gamma(α2; β)    =⇒ X + Y ∼ Gamma(α1 + α2; β).    X, Y independientes X ∼ N(µ1; σ2 1 ) Y ∼ N(µ2; σ2 2 )    =⇒ X + Y ∼ N(µ1 + µ2; σ2 1 + σ2 2 ).

Funci´ on caracter´ ıstica y momentos de una v.a. Lema
eix − n k=0 (ix)k k! ≤ min |x|n+1 (n + 1)! , 2|x|n n! (Gut, p. 556 o Resnick, p. 297) Proposici´ on Sea X una v.a. tal que E|X|n < ∞. Sea ϕ la f.c. de X. Entonces, ϕ(t) − n k=0 (it)kE(Xk) k! ≤ E min |tX|n+1 (n + 1)! , 2|tX|n n! . Corolario Si E|X|n < ∞ para todo n ≥ 1 y adem´ as limn→∞ |t|n n! E|X|n = 0, para todo t ∈ R, entonces ϕ(t) = ∞ k=0 (it)kE(Xk) k! .

Funci´ on caracter´ ıstica y momentos de una v.a. Observaci´
on: Una condici´ on suﬁciente para que se cumplan las hip´ otesis del corolario es E(etX ) < ∞, para todo t ∈ R. Ejemplo: Si X ≡ N(µ, σ2), entonces E(etX ) = exp{tµ + t2σ2/2} < ∞. Proposici´ on Sea X una v.a. tal que E|X|n < ∞. Sea ϕ la f.c. de X. Entonces ϕ(k), la derivada k−´ esima de ϕ, existe para k = 1, . . . , n y ϕ(k)(t) = E[(iX)keitX ]. En particular, ϕ(k)(0) = ikE(Xk).

Funci´ on caracter´ ıstica de un vector aleatorio Sean X
= (X1, . . . , Xn) un vector aleatorio sobre (Ω, F, P). La funci´ on caracter´ ıstica (f.c.) de X se deﬁne como ϕX (t1, . . . , tn) := E(ei(t1X1+···+tnXn)). Si t = (t1, . . . , tn) (en columna), ϕX (t) = E(eit X ). Observaci´ on: El teorema de unicidad tambi´ en es v´ alido para vectores aleatorios, es decir, la funci´ on caracter´ ıstica de un vector aleatorio tambi´ en caracteriza su distribuci´ on.

Dos aplicaciones Caracterizaci´ on de la independencia mediante la f.c.
Proposici´ on Las componentes del vector aleatorio X = (X1, . . . , Xn) son independientes si y solo si ϕX (t1, . . . , tn) = n i=1 ϕXi (ti ), para todo t1, . . . , tn ∈ R. Caracterizaci´ on de la distribuci´ on mediante proyecciones Proposici´ on Sean X e Y dos vectores aleatorios en Rn. Entonces, X =d Y si y solo si a X =d a Y para todo a ∈ Rn.

Distribuci´ on normal multivariante Proposici´ on Sea ϕ(t) = exp{it
µ − (1/2)t Σt}, donde µ, t ∈ Rn y Σ es una matriz n × n sim´ etrica y semidefinida positiva. Entonces existe un vector aleatorio X, cuya f.c. es ϕ. Definici´ on Se dice que el vector aleatorio X tiene distribuci´ on normal multivariante con vector de medias µ y matriz de covarianzas Σ (sim´ etrica y semidefinida positiva) si su funci´ on caracter´ ıstica es ϕ(t) = exp{it µ − (1/2)t Σt}. (Notaci´ on: X ≡ Nn(µ, Σ).) Observaciones: Si X = (X1, . . . , Xn) ≡ Nn(µ, Σ), (a) ¿Cu´ al es la distribuci´ on de Xi ? (b) ¿Cu´ al es la distribuci´ on del vector (Xi , Xj ) , i = j? (c) ¿Cu´ al es la distribuci´ on de la combinaci´ on lineal a1X1 + · · · + anXn?

Distribuci´ on normal multivariante Proposici´ on Sea X ≡ Nn(µ,
Σ) y supongamos que |Σ| > 0, donde |Σ| denota el determinante de Σ. Entonces X es un vector aleatorio absolutamente continuo con funci´ on de densidad: fX (x) = |2πΣ|−1/2 exp{− 1 2 (x − µ) Σ−1(x − µ)}

Probabilidad II Tema 5: Convergencias estoc´ asticas y leyes de
los grandes n´ umeros Jos´ e R. Berrendero Departamento de Matem´ aticas Universidad Aut´ onoma de Madrid

Estructura de este tema Deﬁniciones: convergencias casi segura, en probabilidad,
en media y en distribuci´ on. Relaciones entre los distintos tipos de convergencia. Leyes de los grandes n´ umeros: LDGN de Chebychev y Khintchine. LFGN de Cantelli y de Kolmogorov.

Convergencias casi segura, en prob. y en media-r Sean X,
X1, X2, . . . variables aleatorias deﬁnidas sobre el mismo espacio de probabilidad (Ω, F, P). Entonces: Convergencia casi segura: Xn c.s. − − → X si P(Xn → X) = 1. Convergencia en probabilidad: Xn P − → X si ∀ > 0, P(|Xn − X| ≥ ) → 0. Convergencia en media de orden r: Xn m-r − − → X si E|Xn − X|r → 0 (r > 0).

Convergencia en distribuci´ on Sean X, X1, X2, . .
. variables aleatorias no necesariamente deﬁnidas sobre el mismo espacio de probabilidad y sean F y Fn las funciones de distribuci´ on de X y Xn, respectivamente. Entonces: Xn d − → X si ∀x ∈ Cont(F), Fn(x) → F(x), donde Cont(F) es el conjunto de puntos de continuidad de F. Pregunta: ¿Por qu´ e no ∀x ∈ R en la deﬁnici´ on anterior?

Observaciones La deﬁnici´ on de convergencia c.s. tiene sentido. Xn
→ X si y solo si Xn − X → 0 (para todas las convergencias). Cuando todas las variables involucradas son degeneradas, cada una de las cuatro convergencias coincide con la convergencia usual de sucesiones de n´ umeros reales. Los l´ ımites son “´ unicos”: si X e Y son dos variables l´ ımite, P(X = Y ) = 1 para las tres primeras convergencias, y FX = FY para la convergencia en distribuci´ on.

Esquema de relaciones entre las convergencias Xn c.s. − −
→ X Xn P − → X = =⇒ ==========⇒ Xn d − → X Xn m-q − − → X (q > p) = =⇒ Xn m-p − − → X ==========⇒ Nnguna de las implicaciones rec´ ıprocas es cierta en general.

Convergencia c.s. y convergencia en probabilidad Lema: Son equivalentes: (a)
Xn c.s. − − → X. (b) Para todo > 0, P (lim sup{|Xk − X| ≥ }) = 0. (c) Para todo > 0, lim n→∞ P sup k≥n |Xk − X| ≥ = 0. Corolario: Se tiene: n≥1 P(|Xn − X| ≥ ) < ∞, > 0 ⇒ Xn c.s. − − → X. Cuando la serie anterior converge, se dice que hay convergencia completa de Xn a X. ¿Bajo qu´ e condiciones es la convergencia completa equivalente a la convergencia c.s.? Corolario: Si Xn c.s. − − → X, entonces Xn P − → X. (El rec´ ıproco no es cierto en general.)

Convergencia c.s. y convergencia en probabilidad Proposici´ on Xn converge
en probabilidad a X si y solo si toda subsucesi´ on de Xn tiene a su vez una subsucesi´ on que converge a X c.s. Corolario Si Xn P − → X y g : R → R es continua, entonces g(Xn) P − → g(X). (Se tiene en cuenta que si Xn c.s. − − → X y g : R → R es continua, entonces g(Xn) c.s. − − → g(X)).

Convergencia en media Proposici´ on: Si q > r >
0 y Xn m-q − − → X, entonces Xn m-r − − → X. (Lyapunov) Proposici´ on: Si Xn m-r − − → X para alg´ un r > 0, entonces Xn P − → X. (Chebychev) Proposici´ on: Si Xn m-r − − → X para r ≥ 1, entonces E|Xn|r → E|X|r . (Minkowski) Observaciones: (1) La convergencia en media no implica la convergencia casi segura. (2) Ni la convergencia en probabilidad ni la casi segura implican la convergencia en media.

Convergencia en probabilidad y en distribuci´ on Proposici´ on: Si
Xn P − → X, entonces Xn d − → X. Observaci´ on: En general, Xn d − → X Xn P − → X. Sin embargo hay un caso particular importante en el que s´ ı se da la implicaci´ on. Proposici´ on: Si Xn d − → a (constante), entonces Xn P − → a.

Leyes fuertes y d´ ebiles de los grandes n´ umeros
Las llamadas leyes de los grandes n´ umeros son teoremas de convergencia que tienen la forma siguiente: Sea (Xn) una sucesi´ on de v.a. que cumplen las hip´ otesis H1, H2, . . . . Entonces, Sn − an bn ? − → 0. Sn = n i=1 Xi . ? − → indica uno de los modos de convergencia anteriores. La ley se llama fuerte cuando la convergencia es casi segura, y d´ ebil cuando la convergencia es en probabilidad o en distribuci´ on. (Toda ley fuerte implica la correspondiente ley d´ ebil.)

Leyes fuertes y d´ ebiles de los grandes n´ umeros
Sea (Xn) una sucesi´ on de v.a. que cumplen las hip´ otesis H1, H2, . . . . Entonces, Sn − an bn ? − → 0. Las hip´ otesis Hi , suelen ser de varios tipos: (a) Sobre los momentos. Es decir si las variables son integrables o de cuadrado integrable, etc. Cuanto menor sea la exigencia de integrabilidad mayor generalidad tendr´ a el teorema (o la ley). (b) Sobre la dependencia de las variables Xi . Es decir, si se trata de variables mutuamente independientes, o basta con que sean independientes dos a dos, o incorreladas, etc. (c) Sobre la distribuci´ on de probabilidad de las Xi . Es decir si las variables tienen o no la misma distribuci´ on, etc. (d) Sobre los requisitos que tienen que cumplir las sucesiones an y bn.

LDGN de Chebychev Proposici´ on: Sean X1, X2, . .
. v.a. id´ enticamente distribuidas e independientes dos a dos, con varianza ﬁnita. Sea Sn := X1 + · · · + Xn. Entonces: ¯ Xn := Sn n P − → µ, donde µ ∈ R. Observaciones: (1) La misma demostraci´ on no vale para demostrar la convergencia casi segura. (2) ¿Es posible eliminar la hip´ otesis de que la varianza sea ﬁnita? (3) Generalizaci´ on: sean X1, X2, . . . v.a. tales que Var(Xn) ≤ K, para todo n ≥ 1, y Cov(Xi , Xj ) ≤ 0, si i = j. Entonces, si a > 1/2, Sn − E(Sn) na m-2 − − → 0.

Truncamiento Se dice que dos sucesiones de v.a. Xn y
Xn son equivalentes si ∞ n=1 P(Xn = Xn ) < ∞. Dos sucesiones equivalentes tienen un comportamiento asint´ otico similar: (1) ∞ n=1 (Xn − Xn ) converge c.s. (2) ∞ n=1 Xn converge c.s. si y solo si ∞ n=1 Xn converge c.s. (3) Si existe an → ∞ y una v.a. X tal que a−1 n n i=1 Xi c.s. − − → X, entonces tambi´ en a−1 n n i=1 Xi c.s. − − → X. T´ ecnica de truncamiento (aparece en muchas demostraciones): Xn = XnI{|Xn|≤cn} + XnI{|Xn|>cn} := Xn + Xn . Si ∞ n=1 P(|Xn| > cn) < ∞, entonces Xn y Xn son equivalentes. Trabajar con Xn es m´ as f´ acil porque es acotada y tiene momentos de todos los ´ ordenes.

LDGN de Khintchine Proposici´ on: Sean X1, X2, . .
. v.a. id´ enticamente distribuidas e independientes dos a dos, con media ﬁnita µ. Sea Sn := X1 + · · · + Xn. Entonces: ¯ Xn := Sn n P − → µ. Observaciones: (1) Vamos a demostrar E| ¯ Xn − µ| → 0, que es un poco m´ as fuerte. (2) Basta demostrarlo para el caso µ = 0. (3) Se usa la t´ ecnica de truncamiento: Xn = XnI{|Xn|≤ √ n} + XnI{|Xn|> √ n} := Yn + Zn.

LFGN de Cantelli Proposici´ on: Sean X1, X2, . .
. v.a. independientes, con E(X4 i ) < ∞. Supongamos que E|Xn − E(Xn)|4 ≤ C para todo n ≥ 1. Sea Sn := X1 + · · · + Xn. Entonces: Sn − E(Sn) n c.s. − − → 0. Observaciones: (1) Basta demostrarlo para el caso E(Xn) = 0, n ≥ 1. (2) Por el primer lema de Borel-Cantelli, basta demostrar ∞ n=1 P Sn n > < ∞, para todo > 0. (3) Se acota cada t´ ermino mediante un uso astuto de la desigualdad de Markov. (4) Si |Xn| ≤ K para todo n ≥ 1 se cumplen las hip´ otesis del teorema. En este caso se puede tambi´ en usar la desigualdad de Hoeﬀding.

LFGN de Kolmogorov (caso i.i.d.) Proposici´ on: Sean X1, X2,
. . . v.a. independientes e id´ enticamente distribuidas, con E|X1| < ∞. Sea Sn := X1 + · · · + Xn. Entonces: ¯ Xn := Sn n c.s. − − → µ, donde µ = E(X1). Lema (desigualdad maximal): Sean X1, X2, . . . v.a. independientes e id´ enticamente distribuidas, con E(X1) = 0. Sea Sn := X1 + · · · + Xn. Entonces, para todo > 0, P sup 1≤n<∞ Sn n ≥ ≤ E|X1| . Observaci´ on: Si ¯ Xn c.s. − − → c para alg´ un c ∈ R, entonces µ = E(X1) es ﬁnita y c = µ.

LFGN de Kolmogorov (caso de varianza finita) Proposici´ on: Sean
X1, X2, . . . v.a. independientes con varianza finita y sea 0 < bn ↑ ∞. Entonces, si ∞ n=1 Var(Xn)/b2 n < ∞, Sn − E(Sn) bn c.s. − − → 0. La demostraci´ on est´ a basada en el siguiente lema: Lema (desigualdad maximal de Kolmogorov): Sean X1, X2, . . . v.a. independientes, con esperanza finita. Para todo > 0, P( max 1≤j≤n |Sj − E(Sj )| ≥ ) ≤ Var(Sn) 2 .

Probabilidad II Tema 6: Convergencia en distribuci´ on y teorema
central del l´ ımite Jos´ e R. Berrendero Departamento de Matem´ aticas Universidad Aut´ onoma de Madrid

Estructura de este tema Convergencia d´ ebil y convergencia en
distribuci´ on Teorema de continuidad de L´ evy TCL para v.a. independientes e id´ enticamente distribuidas TCL de Lindeberg-Feller. Arreglos triangulares.

Convergencia d´ ebil Deﬁnici´ on Sea E un espacio m´
etrico y sean P, P1, P2, . . . medidas de probabilidad sobre (E, B(E)). Se dice que Pn converge d´ ebilmente a P si Pn(A) → P(A), para todo A ∈ B(E) con P(∂A) = 0, donde ∂A denota la frontera de A. Teorema (portmanteau) Las siguientes aﬁrmaciones son equivalentes: (1) gdPn → gdP, para toda funci´ on g : E → R continua y acotada. (2) lim sup Pn(C) ≤ P(C), para todo C ∈ B(E) cerrado. (3) lim inf Pn(A) ≥ P(A), para todo A ∈ B(E) abierto. (4) Pn converge d´ ebilmente a P.

Convergencia d´ ebil Proposici´ on Si E = R, la
convergencia d´ ebil y la convergencia en distribuci´ on son equivalentes. Teorema de la aplicaci´ on continua Sean X, X1, X2, . . . variables aleatorias tales que Xn d − → X y sea g : R → R una funci´ on continua. Entonces, g(Xn) d − → g(X). Teorema de Slutsky Sean X, X1, X2, . . . variables aleatorias tales que Xn d − → X y sean Y1, Y2, . . . variables aleatorias tales que Yn P − → a, donde a ∈ R. Entonces Xn + Yn d − → X + a, XnYn d − → aX y Xn/Yn d − → X/a, si a = 0. Observaci´ on: Si el l´ ımite de Yn es una v.a. no degenerada el resultado no es cierto en general.

Notaci´ on Op (an ) y op (an ) Definici´
on Una sucesi´ on de v.a. Xn es acotada en probabilidad si para todo > 0 existen M > 0 y N ≥ 1 tales que P(|Xn| ≤ M) > 1 − para todo n ≥ N. Proposici´ on Si Xn d − → X para alguna v.a. X, entonces la sucesi´ on Xn es acotada en probabilidad. Notaci´ on: Sea an una sucesi´ on de n´ umeros reales. Xn = Op(an) significa que Xn/an es acotada en probabilidad. Xn = op(an) significa que Xn/an P − → 0. Proposici´ on Si Xn = Op(1) e Yn = op(1), entonces XnYn = op(1).

Teorema de continuidad de L´ evy Teorema Sea Fn una
sucesi´ on de funciones de distribuci´ on sobre R y sea ϕn la correspondiente sucesi´ on de funciones caracter´ ısticas. (1) Si Fn d − → F, entonces ϕn(t) → ϕ(t), para todo t ∈ R, donde ϕ es la funci´ on caracter´ ıstica de F. (2) Si existe limn→∞ ϕn(t), para todo t ∈ R y ϕ(t) = limn→∞ ϕn(t) es una funci´ on continua en cero, entonces ϕ es la funci´ on caracter´ ıstica de una funci´ on de distribuci´ on F y Fn d − → F. Para estudiar la convergencia en distribuci´ on de una sucesi´ on de variables aleatorias basta estudiar la convergencia de la sucesi´ on de sus funciones caracter´ ısticas. La demostraci´ on, por ejemplo, en Resnick, pags. 307-312.

Ejemplos (a) Si X tiene distribuci´ on de Poisson de
par´ ametro λ, estudia el comportamiento asint´ otico de X/λ cuando λ → ∞. (b) LDGN: Si X1, X2, . . . son v.a.i.i.d. con E|X| < ∞. Entonces, X1 + · · · + Xn n P − → µ, donde µ = E(X1). Recordamos: Sea X una v.a. tal que E|X|n < ∞. Sea ϕ la f.c. de X. Entonces, ϕ(t) − n k=0 (it)kE(Xk) k! ≤ E min |tX|n+1 (n + 1)! , 2|tX|n n! .

TCL para v.a. independientes e id´ enticamente distribuidas Teorema Sea
X1, X2, . . . una sucesi´ on de v.a. independientes e id´ enticamente distribuidas con 0 < σ2 < ∞, donde σ2 = Var(X1), y Sn = X1 + · · · + Xn. Entonces, Sn − E(Sn) Var(Sn) d − → N(0, 1). Observaci´ on: Si ¯ Xn = Sn/n y µ = E(X1), entonces Sn − E(Sn) Var(Sn) = ¯ Xn − µ σ/ √ n . Adem´ as, el teorema implica √ n( ¯ Xn − µ) d − → N(0, σ2).

M´ etodo delta Se conoce como m´ etodo delta un
resultado que permite determinar la distribuci´ on l´ ımite de funciones suaves de sucesiones de v.a. cuyo comportamiento asint´ otico es conocido. Proposici´ on Sea Xn una sucesi´ on de v.a. tales que an(Xn − c) d − → X, donde 0 ≤ an ↑ ∞, c ∈ R y X es una v.a. Sea g : R → R una funci´ on derivable con derivada continua. Entonces an(g(Xn) − g(c)) d − → g (c)X. Ejemplo Sea X1, X2, . . . una sucesi´ on de v.a.i.i.d. con distribuci´ on de Poisson de par´ ametro λ. ¿Cu´ al es la distribuci´ on asint´ otica de √ n(Xn − λ)? Determina una funci´ on g tal que la varianza de la distribuci´ on asint´ otica de √ n(g(Xn) − g(λ)) no depende de λ. Se dice que g es una transformaci´ on que estabiliza la varianza.

Arreglos triangulares Consideramos un arreglo triangular de v.a. (Xn,k). Es
decir, X1,1 X1,2 · · · X1,r1 X2,1 X2,2 · · · X2,r2 . . . . . . . . . . . . Xn,1 Xn,2 · · · Xn,rn . . . . . . . . . . . . Teorema de Lindeberg-Feller: Una variable que es el resultado de la suma de muchos efectos independientes entre s´ ı sin que ninguno domine al total es aproximadamente normal.

El teorema de Lindeberg-Feller Sea (Xn,k) un arreglo triangular de
v.a. cumpliendo: (1) Para todo n, Xn,1, Xn,2, . . . , Xn,rn son independientes y con varianzas ﬁnitas no todas nulas. Si EXn,k = µn,k, Var(Xn,k) = σ2 n,k , Sn = Xn,1 + · · · + Xn,rn , s2 n = Var(Sn) = σ2 n,1 + · · · + σ2 n,rn . (2) Condici´ on de Lindeberg (CL): Para todo > 0, se tiene 1 s2 n rn k=1 {|Xn,k −µn,k |≥ sn} (Xn,k − µn,k)2 dP n→∞ − − − → 0. Entonces, Sn − E(Sn) sn d − → N(0, 1).

Una aplicaci´ on: estimadores de m´ ınimos cuadrados Modelo de
regresi´ on lineal simple Yi = α + βxi + i , i = 1, . . . , n. con 1, 2, . . . v.a.i.i.d. con E( 1) = 0 y Var( 1) = σ2. Estimador de m´ ınimos cuadrados de la pendiente ˆ β = n i=1 (xi − ¯ x)Yi n i=1 (xi − ¯ x)2 = n i=1 cn,i Yi n i=1 c2 n,i . Pendiente β = n i=1 cn,i µi n i=1 c2 n,i , µi = E(Yi ) = β0 + β1xi . Diferencia entre par´ ametro y estimador ˆ β − β = n i=1 cn,i i n i=1 c2 n,i = n i=1 Xn,i , Xn,i := cn,i i n i=1 c2 n,i .

Probabilidad II Tema 7: Esperanza condicionada Jos´ e R. Berrendero
Departamento de Matem´ aticas Universidad Aut´ onoma de Madrid

Estructura de este tema Introducci´ on y motivaci´ on Deﬁnici´
on de esperanza condicionada Propiedades b´ asicas La esperanza condicionada como proyecci´ on El concepto de martingala Teorema de Doob

Introducci´ on Objetivo Dar una definici´ on general, v´ alida
bajo condiciones m´ ınimas, de la esperanza condicionada. Para obtener este grado de generalidad renunciaremos a definirla “punto a punto”. La definiremos como una v.a. cuyos valores pueden alterarse en conjuntos de probabilidad cero y a´ un siguen cumpliendo las condiciones requeridas. Utilidad del concepto de esperanza condicionada (a) Herramienta de c´ alculo: P(A) = P(A|X = x)dFX (x). (b) Herramienta de predicci´ on: E(Y |X) es la mejor predicci´ on (en el sentido del error cuadr´ atico medio) de Y en t´ erminos de X. (c) Herramienta conceptual: para definir y manejar algunas ideas de dependencia sumamente importantes (procesos markovianos, martingalas, etc.)

Motivaci´ on En el tema 1 deﬁnimos P(A|B) para el
caso en que P(B) > 0. Pero en muchos problemas es necesario trabajar con probabilidades condicionadas a sucesos con probabilidad cero. Sea X una v.a. uniforme en [0, 1]. Supongamos que la v.a. Y tiene distribuci´ on normal de media X y varianza 1 y sea A ∈ B. La probabilidad condicionada P(Y ∈ A|X = x) interviene en la f´ ormula de la probabilidad total: P(Y ∈ A) = 1 0 P(Y ∈ A|X = x)dx, El an´ alogo para valores esperados es: E(Y ) = 1 0 E(Y |X = x)dx = R E(Y |X = x)dFX (x).

Motivaci´ on Supongamos que X = IB, B ∈ F
con P(B) > 0. La σ-´ algebra generada por X es σ(X) = {B, Bc, Ω, ∅}. Podemos contemplar E(Y |X) como una v.a. que toma dos posibles valores: E(Y |X)(ω) = E(Y |B), si ω ∈ B. E(Y |X)(ω) = E(Y |Bc), si ω / ∈ B. E(Y |X) es medible respecto a σ(X) (intuitivamente, es funci´ on de la informaci´ on que proporciona la observaci´ on de X)

Definici´ on de esperanza condicionada Definici´ on Sea Y una
v.a. definida sobre (Ω, F, P) con E(|Y |) < ∞. Sea D una sub-σ-´ algebra de F. La esperanza condicionada de Y dada D se define como una funci´ on E(Y |D) : Ω → R, medible respecto a D y tal que, para todo D ∈ D, D E(Y |D)dP = D YdP. Observaci´ on La funci´ on E(Y |D) existe y es ´ unica c.s. respecto a P ya que la medida signada finita λ(D) = D YdP es absolutamente continua respecto a P. Se aplica el teorema de Radon-Nikodym: λ(D) = D dλ dP dP. Ejercicio: Determina E(Y |D) si D = {Ω, ∅}.

Notaci´ on Sean X e Y dos v.a. sobre (Ω,
F, P), con E(|Y |) < ∞. E(Y |σ(X)) = E(Y |X). E(Y |σ(Xt t ∈ T)) = E(Y |Xt, t ∈ T), donde (recordamos) σ(Xt, t ∈ T) = σ t∈T σ(Xt) . Si B ∈ F, E(IB|D) = P(B|D).

Notaci´ on Si ω ∈ Ω es tal que X(ω)
= x, entonces E(Y |X)(ω) = E(Y |X = x). Si B ∈ B(R), {X∈B} E(Y |X)dP = {X∈B} YdP es equivalente (teorema de cambio de espacio de integraci´ on) a B E(Y |X = x)dFX (x) = {X∈B} YdP. ¿Qu´ e resulta si tomamos B = R? ¿Y si adem´ as sustituimos Y por IA?

Ejemplo Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funci´
on de densidad conjunta f (x, y). Sea f1(x) la funci´ on de densidad marginal de X, f1(x) = ∞ −∞ f (x, y)dy. Para x tal que f1(x) > 0 deﬁnimos h(y|x) = f (x, y)/f1(x) (y 0 en caso contrario). Entonces, E(Y |X = x) = ∞ −∞ yh(y|x)dy. {X∈B} YdP = {(x,y): x∈B} yf (x, y)dxdy = B f1(x) ∞ −∞ yh(y|x)dy dx = B ∞ −∞ yh(y|x)dy dFX (x).

La esperanza condicionada como proyecci´ on Proposici´ on Si E(Y
2) < ∞, entonces E(Y |D) minimiza E[(Y − X)2] en L2(D), el espacio de v.a. medibles respecto a D y de cuadrado integrable. Demostraci´ on Como L2(D) es un subespacio cerrado de L2(Ω, F, P), existe X∗ ∈ L2(D) tal que (a) E[(Y − X∗)2] = inf{E[(Y − X)2] : X ∈ L2(D)}. (b) E[(Y − X∗)X] = 0, para toda X ∈ L2(D). Sea D ∈ D. Si tomamos X = ID en (b), D X∗dP = D YdP. Por lo tanto X∗ = E(Y |D) c.s.

El concepto de martingala Filtraci´ on Sea (Ω, F, P)
un espacio de probabilidad. Una filtraci´ on (Fn : n ≥ 0) es una sucesi´ on creciente de sub-σ-´ algebras de F. Sucesi´ on adaptada a una filtraci´ on Se dice que la sucesi´ on de v.a. (Xn : n ≥ 0) definidas sobre (Ω, F, P) est´ a adaptada a la filtraci´ on (Fn) si para cada n, Xn es medible respecto a Fn. Martingala La sucesi´ on de v.a. (Xn : n ≥ 0) es una martingala [respecto a la filtraci´ on (Fn)] si (a) (Xn) est´ a adaptada a (Fn). (b) Para todo n, E|Xn| < ∞. (c) Para todo n ≥ 1, E(Xn|Fn−1) = Xn−1 c.s.

Ejemplos Sumas de v.a. independientes de media cero. Sean X1,
X2, . . . v.a. independientes con E(Xn) = 0 para todo n. Deﬁnimos Fn = σ(X1, . . . , Xn), F0 = {∅, Ω}. S0 = 0, Sn = X1 + · · · + Xn. Entonces Sn es una martingala respecto a Fn. Productos de v.a. independientes no negativas de media uno. Sean X1, X2, . . . v.a. independientes no negativas con E(Xn) = 1 para todo n. Deﬁnimos Fn = σ(X1, . . . , Xn), F0 = {∅, Ω}. M0 = 1, Mn = X1 · · · Xn. Entonces Mn es una martingala respecto a Fn.

Convergencia de submartingalas Submartingalas y supermartingalas La sucesi´ on de
v.a. (Xn : n ≥ 0) es una submartingala [respecto a la ﬁltraci´ on (Fn)] si (a) (Xn) est´ a adaptada a (Fn). (b) Para todo n, E|Xn| < ∞. (c) Para todo n ≥ 1, E(Xn|Fn−1) ≥ Xn−1 c.s. (Xn : n ≥ 0) es supermartingala si E(Xn|Fn−1) ≤ Xn−1 c.s. Teorema de Doob Sea (Xn) una submartingala respecto a (Fn). Supongamos que supn E|Xn| < ∞. Entonces existe una v.a. X tal que Xn c.s −→ X. Adem´ as E|X| ≤ supn E|Xn|.

Teoria de la Probabilidad

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