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コンピュータビジョン2.1節
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Takahiro Kawashima
May 14, 2018
Science
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コンピュータビジョン2.1節
研究室のゼミで発表したRichard Szeliski 著,玉木徹ら訳の『コンピュータビジョン − アルゴリズムと応用』2.1節のスライド
Takahiro Kawashima
May 14, 2018
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Transcript
第1回 画像ゼミ 2018/05/09 庄野研B4 1510173 川島貴大
2 / 37 2.1.1 - 幾何プリミティブ 2.1.2 - 2次元変換 2.1.3
- 3次元変換 2.1.4 - 3次元回転 2.1.5 - 3次元から2次元への射影 2.1.6 - レンズ歪み もくじ
3 / 37 2.1.1 幾何プリミティブ • 2次元点 通常の座標表記: →無限遠点を表せない 同次座標系:
→ で無限遠点を表せる
4 / 37 • 2次元直線と同次座標系 とすると, について, を用いると, と書ける. 一方直線の方程式は, に関して より,同次座標系では直線の方程式は, について
と書ける. 2.1.1 幾何プリミティブ
5 / 37 • 2次元直線と同次座標系 同次座標系上の2つの直線 の 交点 は, で表せる.たぶん証明やる. また,同次座標系上の2点 を通る直線 は, で与えられる.
2.1.1 幾何プリミティブ
6 / 37 2.1.1 幾何プリミティブ • 3次元点 は,同次座標系では と表記する.
7 / 37 2.1.2 2次元変換 • 並進 を に移動する変換 : 2x2単位行列,
: 2x1のゼロベクトル, を用 いると とも書ける.
8 / 37 2.1.2 2次元変換 • 回転 + 並進 (剛体変換)
2次元回転行列 は 並進と組み合わせると, を用いて, の剛 体変換後の座標 は
9 / 37 2.1.2 2次元変換 • スケール + 回転 +
並進 (相似変換) の相似変換後の座標 は, について 同次座標系では, の相似変換後の座標 は を用いて となる.
10 / 37 2.1.2 2次元変換 • 剪断 + スケール +
回転 + 並進 (アフィン変換) →変換前に平行だったベクトルは平行のまま 同次座標系のベクトル のアフィン変換後の座標 は, を用いて となる.
11 / 37 2.1.2 2次元変換 • 射影変換 →変換前の直線は直線のまま 同次座標系のベクトル の射影変換後の座標 は, となる.ここで は任意の3x3行列.
12 / 37 2.1.2 2次元変換 • 伸縮 →アスペクト比を変更 の伸縮後の座標 は, を用いて となる.
13 / 37 2.1.3 3次元変換 • 並進 を に移動 : 3x3単位行列,
: 3x1のゼロベクトル, • 回転 + 並進 (剛体変換) 3次元回転行列 を適切に選ぶと, と変換後の座標 に関して と2次元と同じ形で書ける. については次項. 他の変換(相似,アフィン,射影)も2次元と同じ形式で書ける
14 / 37 2.1.4 3次元回転 3次元回転行列 は複数の表現がある ・オイラー角 ・回転軸・回転座標表現 ・単位四元数
15 / 37 2.1.4 3次元回転 • オイラー角 2次元回転:z軸が回転軸 回転軸を変えた同様の回転を3回行う 例)
z軸 → x軸 → z軸 軸の選び方によって結果が変化
16 / 37 2.1.4 3次元回転 • オイラー角 デモをやれ http://irobutsu.a.la9.jp/mybook/ykwkrAM/sim/EulerAngle.html
17 / 37 2.1.4 3次元回転 • 回転軸・回転角表現 上の である任意のベクトル を軸にした の回転を 示す3次元回転行列 は と表される(ロドリゲスの式).
ここで は3x3単位行列, は との外積を示す演算子で, に関して である. 証明:補足資料
18 / 37 2.1.4 3次元回転 • 単位四元数 四元数:複素数の虚部を3次元に拡張した数 とすると,
とも書ける. は以下を満たす 四元数の積は一般的に非可換である
19 / 37 2.1.4 3次元回転 • 単位四元数 同次座標系の3次元ベクトル を回転軸 について 回転させ るとき, とおくと, の回転後のベクトル は
と表せる.ただし, は の逆元であり( ), である. 証明:補足資料
20 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 3次元の物体を2次元座標上に投影したい ・正射影 ・擬似透視投影 ・弱透視投影 ・透視投影
21 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 正射影 たんにz成分を取り除く を に射影 ・被写体の奥行きが(カメラと被写体との距離に比べて)浅い
・長い焦点距離をもつレンズ ことを暗に仮定している
22 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 正射影 (画像: 文献[2]より)
23 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 弱透視投影 正射影にスケーリングを加えたもの 正射影よりよく使われる を に射影
: 2x2の単位行列, : 2x1のゼロベクトル, ・物体がカメラに向かって近づく状況をモデル化できる
24 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 弱透視投影 (画像: 文献[2]より)
25 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 擬似透視投影 1. 参照平面上に物体の点を射影 このとき観測位置
- 物体中心と平行に射影する 2. この参照平面上の座標をさらに画像平面に射影 について 弱透視投影よりも正確な射影モデル
26 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 擬似透視投影 (画像: 文献[2]より)
27 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 透視投影 最も広く使われる射影モデル について, の
要素を落とす つまり,投影後の座標 は で, を非同次座標にした は と書ける
28 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 画像平面上の座標を最終的な座標に変換したい : カメラ中心座標, :
ピクセル座標 : 画素の間隔
29 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 1. 画素の配置間隔 を用いてスケーリング 2. ピクセル座標の原点 と回転行列 を用いてズレを調整
数式にすると, の への射影は と書ける.
30 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 逆に3次元世界座標をセンサ上の座標に変換することを考える : 3次元世界座標上の点 (既知) :
カメラの内部パラメータ (3x3行列) : 外部パラメータ (剛体変換,3x4行列) センサ上の点 は以下の形式で与えられる
31 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 内部パラメータ : 方向のレンズの焦点距離 :
レンズが光軸から垂直でない際に生じる歪み : ピクセル座標上での光軸中心 ( : アスペクト比) 多くの場合 で,
32 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 物体中心射影 焦点距離が大きいレンズでは,画像から焦点距離を推定するの が困難になる :
同次ピクセル座標 : 非同次ピクセル座標 : 3次元世界座標上の点
33 / 37 2.1.5 3次元から2次元への射影 • 物体中心射影 が得られる.物体とカメラの距離が ,物体のサイズが なら となり,焦点距離 と との分離が難しくなる
34 / 37 2.1.6 レンズ歪み 広角レンズでは歪曲収差が発生する (画像: 文献[1]より) 樽型歪み 糸巻き型歪み
魚眼レンズ
35 / 37 2.1.6 レンズ歪み 透視投影による除算後,カメラ行列による移動を行う前のピク セル座標の点を とする.つまり 最も単純な歪曲収差モデルでは,歪曲後のピクセル座標上の点 を, とする.ここで, は歪曲収差パラメータ
36 / 37 2.1.6 レンズ歪み 最終的なピクセル座標 は, により計算する. より広角で複雑なレンズでは別のモデルが必要
37 / 37 参考 [1] Computer Vision: Algorithms and Appliucations,
Richard Szeliski, http://szeliski.org/Book/drafts/SzeliskiBook_20100903_draft.pdf (2018/05/02 閲覧) [2] Camera Models,杉本晃宏, http://research.nii.ac.jp/~sugimoto/lecture/computer_vision/CameraModels.pdf (2018/04/30 閲覧) [3] Quaternionによる3次元の回転変換,平鍋健児, https://qiita.com/kenjihiranabe/items/945232fbde58fab45681 (2018/04/29 閲覧)