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OLSにおける推定量β1=共分散÷分散の導出 / 20230517

OLSにおける推定量β1=共分散÷分散の導出 / 20230517

東京大学経済学部「プロアクティブ・ラーニング・セミナー」のゲスト講師として

①Pythonによる計量経済学のハンズオン
②民間企業のデータを用いたデータ分析の実践講座

を実施した際の補講資料となります。

yuzutas0

May 17, 2023
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Transcript

  1. (補講資料) OLSにおける 推定量 β1 = 共分散 ÷ 分散 の導出 2023-05-17

    東京大学大学院経済学研究科・経済学部 横山翔 1
  2. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入

    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 6
  3. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入

    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 7
  4. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入

    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 8
  5. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入

    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 9 (a-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 Xbarは定数なので Σ の前に出す Xbar は定数なので Σ を外してN倍 4−1)と同様に 標本平均の定義を代入 右辺の第2項を左辺に移行
  6. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入

    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 10
  7. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入

    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 11 (a-b) (c-d) = ac - bc - ad + bc ・2,3,4項:Xi と Yi 以外は Σ の前に出せる ・2項:4-1 と同様に 1/N * ΣXi = Xbar を代入 ・3項:4-1 と同様に 1/N * ΣYi = Ybar を代入 ・4項:定数項なのでN倍して、1/Nと相殺させる
  8. 4−1)標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入

    4−2)分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 4−3)共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 12