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2024年度秋学期 統計学 第5回 分布をまとめるー記述統計量(平均・分散など) (2024....

2024年度秋学期 統計学 第5回 分布をまとめるー記述統計量(平均・分散など) (2024. 10. 23)

関西大学総合情報学部 統計学(担当・浅野晃)
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2024a/STAT/

Akira Asano

October 13, 2024
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  1. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 算術平均を式で書くと 7 データ x1, x2, . . .

    , xn , 数値の個数(データサイズ)n のとき, 平均 ¯ x = x1 + x2 + · · · + xn n = 1 n n i=1 xi ※Σは「合計」を表す記号です。
  2. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 算術平均を式で書くと 7 データ x1, x2, . . .

    , xn , 数値の個数(データサイズ)n のとき, 平均 ¯ x = x1 + x2 + · · · + xn n = 1 n n i=1 xi ※「エックスバー」と読んでください。「バー」は平均を表すのによく用います。 ※Σは「合計」を表す記号です。
  3. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 算術平均を式で書くと 7 データ x1, x2, . . .

    , xn , 数値の個数(データサイズ)n のとき, 平均 ¯ x = x1 + x2 + · · · + xn n = 1 n n i=1 xi 和 ※「エックスバー」と読んでください。「バー」は平均を表すのによく用います。 ※Σは「合計」を表す記号です。 ※もし日本人がΣ記号を発明していたら,きっと「和」と書いていたことでしょう。
  4. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 9 度数分布とは,こんなやつでした          

                                              以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
  5. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 10 平均 = (データの合計) / (データサイズ)  

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
  6. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 10 平均 = (データの合計) / (データサイズ)  

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
  7. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 10 平均 = (データの合計) / (データサイズ)  

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%) ひとつの階級に入っている数値は, みな「階級値と同じ」とみなすから,
  8. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 10 平均 = (データの合計) / (データサイズ)  

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%) ひとつの階級に入っている数値は, みな「階級値と同じ」とみなすから, ひとつの階級には,「階級値」と同じ数値が, 度数(個)あるとみなされる
  9. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 10 平均 = (データの合計) / (データサイズ)  

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%) ひとつの階級に入っている数値は, みな「階級値と同じ」とみなすから, ひとつの階級には,「階級値」と同じ数値が, 度数(個)あるとみなされる よって,ひとつの階級の数値の合計は, 「階級値×度数」で表される
  10. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 10 平均 = (データの合計) / (データサイズ)  

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)   =((階級値×度数)の合計)/(データサイズ) ひとつの階級に入っている数値は, みな「階級値と同じ」とみなすから, ひとつの階級には,「階級値」と同じ数値が, 度数(個)あるとみなされる よって,ひとつの階級の数値の合計は, 「階級値×度数」で表される
  11. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 11 平均 = (データの合計) / (データサイズ)  

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)   = ((階級値×度数)の合計) / (データサイズ)
  12. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 11 平均 = (データの合計) / (データサイズ)  

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)   = ((階級値×度数)の合計) / (データサイズ) かけ算(×)と割り算( / )について, カッコ”( )”の位置をかえる
  13. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 11 平均 = (データの合計) / (データサイズ)  

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)   = [階級値 × (度数 / データサイズ)]の合計   = ((階級値×度数)の合計) / (データサイズ) かけ算(×)と割り算( / )について, カッコ”( )”の位置をかえる
  14. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 12            

                                            以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%) 平均 = (データの合計) / (データサイズ)   = [階級値 × (度数 / データサイズ)]の合計
  15. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 12            

                                            以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%) 平均 = (データの合計) / (データサイズ)   = [階級値 × (度数 / データサイズ)]の合計
  16. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 12 (度数 / データサイズ)のことを 「相対度数」という    

                                                    以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%) 平均 = (データの合計) / (データサイズ)   = [階級値 × (度数 / データサイズ)]の合計
  17. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 12   =[階級値×相対度数]の合計 (度数 / データサイズ)のことを 「相対度数」という  

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%) 平均 = (データの合計) / (データサイズ)   = [階級値 × (度数 / データサイズ)]の合計
  18. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 13 テキストに載っている別の例で, 計算してみましょう 階級 階級値 相対度数 0

    ~ 9(点) 5 0.04 10 ~ 19 15 0.16 20 ~ 29 25 0.08 30 ~ 39 35 0.12 40 ~ 49 45 0.10 50 ~ 59 55 0.10 60 ~ 69 65 0.12 70 ~ 79 75 0.08 80 ~ 89 85 0.18 90 ~ 100 95 0.02 合計 1.0
  19. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 14 各階級で, [階級値×相対度数]を求めて 合計する 階級 階級値 相対度数

    階級値×相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 10 ~ 19 15 0.16 20 ~ 29 25 0.08 30 ~ 39 35 0.12 40 ~ 49 45 0.10 50 ~ 59 55 0.10 60 ~ 69 65 0.12 70 ~ 79 75 0.08 80 ~ 89 85 0.18 90 ~ 100 95 0.02 合計 1.0  
  20. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 14 各階級で, [階級値×相対度数]を求めて 合計する 5×0.04 = 0.2

    階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 10 ~ 19 15 0.16 20 ~ 29 25 0.08 30 ~ 39 35 0.12 40 ~ 49 45 0.10 50 ~ 59 55 0.10 60 ~ 69 65 0.12 70 ~ 79 75 0.08 80 ~ 89 85 0.18 90 ~ 100 95 0.02 合計 1.0  
  21. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 14 各階級で, [階級値×相対度数]を求めて 合計する 5×0.04 = 0.2

    階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 10 ~ 19 15 0.16 20 ~ 29 25 0.08 30 ~ 39 35 0.12 40 ~ 49 45 0.10 50 ~ 59 55 0.10 60 ~ 69 65 0.12 70 ~ 79 75 0.08 80 ~ 89 85 0.18 90 ~ 100 95 0.02 合計 1.0   15×0.16 = 2.4
  22. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 14 各階級で, [階級値×相対度数]を求めて 合計する 5×0.04 = 0.2

    階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 10 ~ 19 15 0.16 20 ~ 29 25 0.08 30 ~ 39 35 0.12 40 ~ 49 45 0.10 50 ~ 59 55 0.10 60 ~ 69 65 0.12 70 ~ 79 75 0.08 80 ~ 89 85 0.18 90 ~ 100 95 0.02 合計 1.0   15×0.16 = 2.4 25×0.08 = 2.0 35×0.12 = 4.2 45×0.10 = 4.5 55×0.10 = 5.5 65×0.12 = 7.8 75×0.08 = 6.0 85×0.18 = 15.3 95×0.02 = 1.9
  23. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 14 各階級で, [階級値×相対度数]を求めて 合計する 5×0.04 = 0.2

    階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 10 ~ 19 15 0.16 20 ~ 29 25 0.08 30 ~ 39 35 0.12 40 ~ 49 45 0.10 50 ~ 59 55 0.10 60 ~ 69 65 0.12 70 ~ 79 75 0.08 80 ~ 89 85 0.18 90 ~ 100 95 0.02 合計 1.0   15×0.16 = 2.4 25×0.08 = 2.0 35×0.12 = 4.2 45×0.10 = 4.5 55×0.10 = 5.5 65×0.12 = 7.8 75×0.08 = 6.0 85×0.18 = 15.3 95×0.02 = 1.9 合計 49.8
  24. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から平均を求める 14 各階級で, [階級値×相対度数]を求めて 合計する 5×0.04 = 0.2

    階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 10 ~ 19 15 0.16 20 ~ 29 25 0.08 30 ~ 39 35 0.12 40 ~ 49 45 0.10 50 ~ 59 55 0.10 60 ~ 69 65 0.12 70 ~ 79 75 0.08 80 ~ 89 85 0.18 90 ~ 100 95 0.02 合計 1.0   15×0.16 = 2.4 25×0.08 = 2.0 35×0.12 = 4.2 45×0.10 = 4.5 55×0.10 = 5.5 65×0.12 = 7.8 75×0.08 = 6.0 85×0.18 = 15.3 95×0.02 = 1.9 合計 49.8 これが平均
  25. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 「ばらつき」を数字で 16 分布は,大小ばらばらな数値からなるデータ では,どのくらいばらばらかを,数字で表そう A: 0, 3, 3,

    5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 平均はどれも5 A, B, Cは,いずれも10個の数値からなるデータです。
  26. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 「ばらつき」を数字で 16 分布は,大小ばらばらな数値からなるデータ では,どのくらいばらばらかを,数字で表そう A: 0, 3, 3,

    5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 では,どう違う? 平均はどれも5 A, B, Cは,いずれも10個の数値からなるデータです。
  27. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 レンジとばらつき 17 A: 0, 3, 3, 5, 5,

    5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7    
  28. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 レンジとばらつき 17 Cは,最大と最小の差[レンジ]が違う A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7     A, Bはレンジは同じだが,
  29. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 レンジとばらつき 17 Cは,最大と最小の差[レンジ]が違う A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7     A, Bはレンジは同じだが,
  30. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 レンジとばらつき 17 Cは,最大と最小の差[レンジ]が違う A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7     A, Bはレンジは同じだが,
  31. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 レンジとばらつき 17 Cは,最大と最小の差[レンジ]が違う A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7     A, Bはレンジは同じだが, Aの青線部とBの赤線部を比べると
  32. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 レンジとばらつき 17 Cは,最大と最小の差[レンジ]が違う A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7     A, Bはレンジは同じだが, Bのほうがばらついているように見える Aの青線部とBの赤線部を比べると
  33. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  34. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  35. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 0 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  36. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 0 0 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  37. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 0 0 0 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  38. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 0 0 0 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  39. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 0 0 0 -2 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  40. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 0 0 0 -2 +2 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  41. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 -2 0 0 0 -2 +2 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  42. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 0 0 0 -2 +2 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  43. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 0 0 -2 +2 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  44. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 0 0 0 -2 +2 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  45. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 0 0 0 -2 +2 0 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  46. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 0 0 0 -2 +2 0 +2 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  47. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 0 0 0 -2 +2 0 -2 +2 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  48. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 0 0 0 -2 +2 0 -2 +2 +3 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  49. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 0 0 0 -2 +2 0 -3 -2 +2 +3 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  50. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 0 0 0 -2 +2 0 -3 -2 +2 +3 +4 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  51. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 -4 0 0 0 -2 +2 0 -3 -2 +2 +3 +4 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  52. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 +5 -4 0 0 0 -2 +2 0 -3 -2 +2 +3 +4 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  53. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3, 5,

    5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 +5 -5 -4 0 0 0 -2 +2 0 -3 -2 +2 +3 +4 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  54. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偏差 18 偏差を平均したら,AとBのばらつきの違いが表せるでしょうか? 各数値と平均との差を[偏差]という A: 0, 3, 3,

    5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 +5 -5 -4 0 0 0 -2 +2 0 -3 -2 +2 +3 +4 ※AもBも平均は5ですから,各数値と5との差を書いていきます。
  55. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 そこで,偏差を2乗する 20 偏差を2乗したら全部正の数になるから,2乗してから平均する 25 4 4 0 0

    0 0 4 4 25 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 +5 -5 -4 0 0 0 -2 +2 0 -3 -2 +2 +3 +4
  56. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分散 21 [分散]=(偏差)2の平均 この「分散」を,ばらつきの指標とする 25 4 4 0

    0 0 0 4 4 25 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 +5 -5 -4 0 0 0 -2 +2 0 -3 -2 +2 +3 +4
  57. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分散 21 平均 6.6 = Aの分散 [分散]=(偏差)2の平均 この「分散」を,ばらつきの指標とする

    25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 +5 -5 -4 0 0 0 -2 +2 0 -3 -2 +2 +3 +4
  58. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分散 21 平均 6.6 = Aの分散 平均 10.8

    = Bの分散 [分散]=(偏差)2の平均 この「分散」を,ばらつきの指標とする 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 +5 -5 -4 0 0 0 -2 +2 0 -3 -2 +2 +3 +4
  59. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分散 21 平均 6.6 = Aの分散 平均 10.8

    = Bの分散 [分散]=(偏差)2の平均 この「分散」を,ばらつきの指標とする Bのほうが分散が大きい。Bのほうがよりばらついている。 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 +2 +5 -2 -5 0 +5 -5 -4 0 0 0 -2 +2 0 -3 -2 +2 +3 +4
  60. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分散と標準偏差 22 [分散]=(偏差)2の平均 式で書くと σ2 = 1 n

    (x1 − ¯ x)2 + (x2 − ¯ x)2 + · · · + (xn − ¯ x)2 = 1 n n i=1 (xi − ¯ x)2 1番の数値 データの平均
  61. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分散と標準偏差 22 [分散]=(偏差)2の平均 式で書くと σ2 = 1 n

    (x1 − ¯ x)2 + (x2 − ¯ x)2 + · · · + (xn − ¯ x)2 = 1 n n i=1 (xi − ¯ x)2 1番の数値 データの平均 n 個たして n で割る
  62. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 分散と標準偏差 22 [分散]=(偏差)2の平均 式で書くと σ2 = 1 n

    (x1 − ¯ x)2 + (x2 − ¯ x)2 + · · · + (xn − ¯ x)2 = 1 n n i=1 (xi − ¯ x)2 1番の数値 データの平均 n 個たして n で割る 分散の平方根(√)を[標準偏差]という 分散を求める計算の途中で数値を2乗しているので,平方根を求めてもとにもどす
  63. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 23 データの平均=[階級値×相対度数]の合計 分散=(偏差)2の平均 一方,      

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
  64. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 23 データの平均=[階級値×相対度数]の合計 分散=(偏差)2の平均 一方,      

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
  65. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 23 データの平均=[階級値×相対度数]の合計 分散=(偏差)2の平均 一方,      

                                                      以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
  66. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 23 データの平均=[階級値×相対度数]の合計 分散=(偏差)2の平均 一方, だから,    

                                                        以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
  67. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 23 データの平均=[階級値×相対度数]の合計 分散=(偏差)2の平均 一方, だから, 分散 =

    [(偏差)2×相対度数]の合計                                                         以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
  68. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 23 データの平均=[階級値×相対度数]の合計 分散=(偏差)2の平均 一方, だから, 分散 =

    [(偏差)2×相対度数]の合計 ※ここを置き換える                                                         以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
  69. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 23 データの平均=[階級値×相対度数]の合計 分散 = [(階級値−データの平均)2×相対度数]の合計 分散=(偏差)2の平均 一方,

    だから, 分散 = [(偏差)2×相対度数]の合計 ※ここを置き換える                                                         以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 20 4 0.08 (8%) 25 35 30 3 0.06 (6%) 35 45 40 3 0.06 (6%) 45 55 50 8 0.16 (16%) 55 65 60 12 0.24 (24%) 65 75 70 8 0.16 (16%) 75 85 80 9 0.18 (18%) 85 95 90 3 0.06 (6%) x x x 計 計 50 1 (100%)
  70. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 24 テキストに載っている例で,計算してみましょう 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数    偏差   

       (偏差)2    (偏差)2 × 相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 0.2 10 ~ 19 15 0.16 2.4 20 ~ 29 25 0.08 2.0 30 ~ 39 35 0.12 4.2 40 ~ 49 45 0.10 4.5 50 ~ 59 55 0.10 5.5 60 ~ 69 65 0.12 7.8 70 ~ 79 75 0.08 6.0 80 ~ 89 85 0.18 15.3 90 ~ 100 95 0.02 1.9 合計 1.0 49.8 (=平均 )
  71. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 24 テキストに載っている例で,計算してみましょう 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数    偏差   

       (偏差)2    (偏差)2 × 相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 0.2 10 ~ 19 15 0.16 2.4 20 ~ 29 25 0.08 2.0 30 ~ 39 35 0.12 4.2 40 ~ 49 45 0.10 4.5 50 ~ 59 55 0.10 5.5 60 ~ 69 65 0.12 7.8 70 ~ 79 75 0.08 6.0 80 ~ 89 85 0.18 15.3 90 ~ 100 95 0.02 1.9 合計 1.0 49.8 (=平均 ) 5 - 49.8 = -44.8
  72. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 24 テキストに載っている例で,計算してみましょう 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数    偏差   

       (偏差)2    (偏差)2 × 相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 0.2 10 ~ 19 15 0.16 2.4 20 ~ 29 25 0.08 2.0 30 ~ 39 35 0.12 4.2 40 ~ 49 45 0.10 4.5 50 ~ 59 55 0.10 5.5 60 ~ 69 65 0.12 7.8 70 ~ 79 75 0.08 6.0 80 ~ 89 85 0.18 15.3 90 ~ 100 95 0.02 1.9 合計 1.0 49.8 (=平均 ) 5 - 49.8 = -44.8 (-44.8)2=2007.4
  73. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 24 テキストに載っている例で,計算してみましょう 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数    偏差   

       (偏差)2    (偏差)2 × 相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 0.2 10 ~ 19 15 0.16 2.4 20 ~ 29 25 0.08 2.0 30 ~ 39 35 0.12 4.2 40 ~ 49 45 0.10 4.5 50 ~ 59 55 0.10 5.5 60 ~ 69 65 0.12 7.8 70 ~ 79 75 0.08 6.0 80 ~ 89 85 0.18 15.3 90 ~ 100 95 0.02 1.9 合計 1.0 49.8 (=平均 ) 5 - 49.8 = -44.8 (-44.8)2=2007.4 2007.4×0.04 =80.28
  74. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 25 テキストに載っている例で,計算してみましょう 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差

    (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 5 × 0.04 5 − 49.8 (−44.8)2 2007.04 × 0.04 = 0.2 = −44.8 = 2007.04 = 80.28 10 ~ 19 15 0.16 2.4 −34.8 1211.04 193.77 20 ~ 29 25 0.08 2.0 −24.8 615.04 49.20 30 ~ 39 35 0.12 4.2 −14.8 219.04 26.28 40 ~ 49 45 0.10 4.5 −4.8 23.04 2.304 50 ~ 59 55 0.10 5.5 5.2 27.04 2.704 60 ~ 69 65 0.12 7.8 15.2 231.04 27.72 70 ~ 79 75 0.08 6.0 25.2 635.04 50.80 80 ~ 89 85 0.18 15.3 35.2 1239.04 223.03 90 ~ 100 95 0.02 1.9 45.2 2043.04 40.86 合計 1.0 49.8 696.96(=分散) (=平均 ) √ 696.96 = 26.4 (=標準偏差)
  75. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 25 テキストに載っている例で,計算してみましょう 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差

    (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 5 × 0.04 5 − 49.8 (−44.8)2 2007.04 × 0.04 = 0.2 = −44.8 = 2007.04 = 80.28 10 ~ 19 15 0.16 2.4 −34.8 1211.04 193.77 20 ~ 29 25 0.08 2.0 −24.8 615.04 49.20 30 ~ 39 35 0.12 4.2 −14.8 219.04 26.28 40 ~ 49 45 0.10 4.5 −4.8 23.04 2.304 50 ~ 59 55 0.10 5.5 5.2 27.04 2.704 60 ~ 69 65 0.12 7.8 15.2 231.04 27.72 70 ~ 79 75 0.08 6.0 25.2 635.04 50.80 80 ~ 89 85 0.18 15.3 35.2 1239.04 223.03 90 ~ 100 95 0.02 1.9 45.2 2043.04 40.86 合計 1.0 49.8 696.96(=分散) (=平均 ) √ 696.96 = 26.4 (=標準偏差) 分散
  76. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 度数分布から分散を求める 25 テキストに載っている例で,計算してみましょう 階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差

    (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数 0 ~ 9(点) 5 0.04 5 × 0.04 5 − 49.8 (−44.8)2 2007.04 × 0.04 = 0.2 = −44.8 = 2007.04 = 80.28 10 ~ 19 15 0.16 2.4 −34.8 1211.04 193.77 20 ~ 29 25 0.08 2.0 −24.8 615.04 49.20 30 ~ 39 35 0.12 4.2 −14.8 219.04 26.28 40 ~ 49 45 0.10 4.5 −4.8 23.04 2.304 50 ~ 59 55 0.10 5.5 5.2 27.04 2.704 60 ~ 69 65 0.12 7.8 15.2 231.04 27.72 70 ~ 79 75 0.08 6.0 25.2 635.04 50.80 80 ~ 89 85 0.18 15.3 35.2 1239.04 223.03 90 ~ 100 95 0.02 1.9 45.2 2043.04 40.86 合計 1.0 49.8 696.96(=分散) (=平均 ) √ 696.96 = 26.4 (=標準偏差) 分散 分散の平方根が 標準偏差
  77. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 「試験で70点」は優れているのか 31 一緒に試験を受けた人たちが 平均60点で標準偏差5点なら 0 平均0 平均30点で標準偏差20点 30

    70 70 60 70点の人は,平均を 標準偏差の2倍上回っている 70点の人は,やはり平均を 標準偏差の2倍上回っている ※平均は高いがばらつきが小さい ※平均は低いがばらつきが大きい
  78. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 「試験で70点」は優れているのか 31 70点の「地位」, つまり受験者の中で どのくらい優れている かは,どちらも同じ 一緒に試験を受けた人たちが 平均60点で標準偏差5点なら

    0 平均0 平均30点で標準偏差20点 30 70 70 60 70点の人は,平均を 標準偏差の2倍上回っている 70点の人は,やはり平均を 標準偏差の2倍上回っている ※平均は高いがばらつきが小さい ※平均は低いがばらつきが大きい
  79. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標準得点への換算 33 標準得点 = 分布中のある数値が,平均を標準偏差の何倍          上回って/下回っているか 分布そのものを,

    平均0,標準偏差1に「変換」したら? その数値の変換後の値が,そのまま標準得点になる ある人の点数を変換して「+2」になったら, +2は標準偏差(=1)の2倍だから「標準得点2点」
  80. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 式で書くと 36 分布そのものをXとすると, Z = (X – μ)

    / σ と変換すると,Zは平均0,標準偏差1 ※分布そのものを, 数のようにひとつの文字で表す
  81. 26 2024年度秋学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 受験産業でいう「偏差値」 37 平均0,標準偏差1の分布Zを,さらに W = 10Z + 50

    と変換すると,Wは平均50,標準偏差10 これが[偏差値] 偏差値70 平均よりも,標準偏差の2倍上回っている 偏差値40 平均よりも,標準偏差の1倍下回っている ※わかりやすい数値で書いています。   「華氏温度」を思い出してください。