2025年度春学期 統計学 第7回 データの関係を知る(2)ー回帰と決定係数 (2025. 5. 22)

関西大学総合情報学部　統計学（担当・浅野晃）
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2025s/STAT/

Transcript

1. 関西大学総合情報学部 浅野　晃 統計学 2025年度春学期 第7回 データの関係を知る(2) ― 回帰と決定係数
2. 回帰分析とは🤔🤔
3. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回帰分析とは 3 多変量データがあるとき ある変量の変化を他の変量の変化で ［説明］する方法
4. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回帰分析とは 3 多変量データがあるとき ある変量の変化を他の変量の変化で ［説明］する方法 説明？🤔🤔
5. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回帰分析とは 4 緯度と気温のデータを例にとると 相関分析 「緯度が上がると，気温が下がる」という 傾向があることを見いだす 回帰分析 「緯度から気温が計算で求められる」と考える 　緯度が１度上がると，気温が◯℃下がる 緯度と気温について，「どちらからどちらへ」という方向は考えない
6. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 回帰分析とは 5 緯度が上がるから気温が下がると考える 緯度が１度上がると，気温が◯℃下がる 各都市の気温は，緯度から計算で求められるという［モデル］を考える 統計学では， 気温の分散は，緯度によって［説明］されるという ※「モデルを考える」のは，科学の考え方そのものといえます。 そして，そのモデルでどの程度説明がつくかを考える ※前回の「（学年を無視すれば）成績が体格から推測できる」というのも， 　「成績が体格から計算で求められるというモデル」としてはあり。 （学年を無視することが妥当かどうかは別）
7. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 説明変数・被説明変数 6 ［説明変数］ % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） 気温は緯度によって説明される（というモデル） ［被説明変数］
8. 線形単回帰🤔🤔
9. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 線形単回帰 8 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） 気温の分散は緯度によって 説明される どう説明される？どういうモデルか？
10. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 線形単回帰 8 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） 気温の分散は緯度によって 説明される どう説明される？どういうモデルか？
11. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 線形単回帰 8 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） 気温の分散は緯度によって 説明される どう説明される？どういうモデルか？ 散布図上で直線の関係がある， というモデルを考える
12. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 線形単回帰 9 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） 散布図上で直線の関係がある x y y = a + bx という式で表される関係 ［線形単回帰］　という
13. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 y = a + bx ? 10 直線の式は y = ax + b と習ったような🤔🤔 どちらも正解です y = ax + b y = a + bx 昇冪（しょうべき）順 降冪（こうべき）順
14. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 y = a + bx ? 11 y = ax + b y = ax 昇冪（しょうべき）順は 降冪（こうべき）順は 説明変数を付け加えて いくことができる 気温 緯度 ただちに1次関数とわかる y = ax2 + bx + c これは2次関数 何次関数かすぐわかる
15. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 y = a + bx ? 11 y = ax + b y = ax 昇冪（しょうべき）順は 降冪（こうべき）順は +b2 x2 説明変数を付け加えて いくことができる 気温 緯度 ただちに1次関数とわかる y = ax2 + bx + c これは2次関数 何次関数かすぐわかる
16. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 y = a + bx ? 11 y = ax + b y = ax 昇冪（しょうべき）順は 降冪（こうべき）順は +b2 x2 説明変数を付け加えて いくことができる 気温 緯度 標高 ただちに1次関数とわかる y = ax2 + bx + c これは2次関数 何次関数かすぐわかる
17. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 y = a + bx ? 11 y = ax + b y = ax 昇冪（しょうべき）順は 降冪（こうべき）順は +b2 x2 +b3 x3 + … 説明変数を付け加えて いくことができる 気温 緯度 標高 ただちに1次関数とわかる y = ax2 + bx + c これは2次関数 何次関数かすぐわかる
18. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 y = a + bx ? 11 y = ax + b y = ax 昇冪（しょうべき）順は 降冪（こうべき）順は +b2 x2 +b3 x3 + … 説明変数を付け加えて いくことができる 気温 緯度 標高 海からの距離　… ただちに1次関数とわかる y = ax2 + bx + c これは2次関数 何次関数かすぐわかる
19. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 y = a + bx ? 11 y = ax + b y = ax 昇冪（しょうべき）順は 降冪（こうべき）順は +b2 x2 +b3 x3 + … 説明変数を付け加えて いくことができる 気温 緯度 標高 海からの距離　… ただちに1次関数とわかる y = ax2 + bx + c これは2次関数 何次関数かすぐわかる 説明変数が2つ以上ある場合を［重回帰］という
20. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 y = a + bx ? 11 y = ax + b y = ax 昇冪（しょうべき）順は 降冪（こうべき）順は +b2 x2 +b3 x3 + … 説明変数を付け加えて いくことができる 気温 緯度 標高 海からの距離　… ただちに1次関数とわかる y = ax2 + bx + c これは2次関数 統計学では，昇冪順を使うことが多い 何次関数かすぐわかる 説明変数が2つ以上ある場合を［重回帰］という
21. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 線形単回帰 12 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y y = a + bx という式で表される関係
22. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 線形単回帰 12 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y y = a + bx という式で表される関係
23. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 線形単回帰 12 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y y = a + bx という式で表される関係
24. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 線形単回帰 12 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y y = a + bx という式で表される関係 や （パラメータ）はどうやって求める？ a b
25. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y y = a + bx
26. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y y = a + bx のとき x = xi
27. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y xi y = a + bx のとき x = xi
28. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y xi y = a + bx のとき x = xi モデルによれば y = a + bxi
29. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y xi y = a + bx のとき x = xi モデルによれば y = a + bxi
30. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y xi y = a + bx のとき x = xi モデルによれば y = a + bxi
31. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi y = a + bx のとき x = xi モデルによれば y = a + bxi
32. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 実際は yi % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi y = a + bx のとき x = xi モデルによれば y = a + bxi
33. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 実際は yi % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi y = a + bx のとき x = xi モデルによれば y = a + bxi
34. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 実際は yi % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi y = a + bx のとき x = xi モデルによれば y = a + bxi
35. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 実際は yi % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi yi y = a + bx のとき x = xi モデルによれば y = a + bxi
36. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 実際は yi % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi yi y = a + bx 差 yi −(a + bxi ) のとき x = xi モデルによれば y = a + bxi
37. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 13 実際は yi 差が最小になるように を決める a, b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi yi y = a + bx 差 yi −(a + bxi ) のとき x = xi モデルによれば y = a + bxi
38. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 14 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi yi 差 yi −(a + bxi )
39. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 14 すべての について，差の合計が最小になるように を決める xi a, b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi yi 差 yi −(a + bxi )
40. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 14 すべての について，差の合計が最小になるように を決める xi a, b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi yi 差 yi −(a + bxi ) の2乗
41. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 14 すべての について，差の合計が最小になるように を決める xi a, b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi yi 差 yi −(a + bxi ) L = n i=1 {yi − (a + bxi)}2 の2乗
42. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 パラメータの決定 14 すべての について，差の合計が最小になるように を決める xi a, b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi yi 差 yi −(a + bxi ) L = n i=1 {yi − (a + bxi)}2 が最小になる を求める a, b の2乗
43. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 が最小になる を求める L a, b 15 •偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」による方法（付録２） 付録に収録してある数式の展開は，試験の範囲には含みません。 今から，「偏微分による方法」の考え方 （数式そのものではなくて考え方）を説明します。
44. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「偏微分」による方法 16 L = n i=1 {yi − (a + bxi)}2 　 　 が最小になる を求める a, b
45. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「偏微分」による方法 16 L = n i=1 {yi − (a + bxi)}2 　 　 が最小になる を求める a, b の２次関数 a, b
46. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「偏微分」による方法 16 L = n i=1 {yi − (a + bxi)}2 　 　 が最小になる を求める a, b の２次関数 a, b a b L ★ a b L
47. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「偏微分」による方法 16 L = n i=1 {yi − (a + bxi)}2 　 　 が最小になる を求める a, b の２次関数 a, b a b L ★ a b L だけの関数と考えて微分 a
48. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「偏微分」による方法 16 L = n i=1 {yi − (a + bxi)}2 　 　 が最小になる を求める a, b の２次関数 a, b a b L ★ a b L だけの関数と考えて微分 a
49. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「偏微分」による方法 16 L = n i=1 {yi − (a + bxi)}2 　 　 が最小になる を求める a, b の２次関数 a, b a b L ★ a b L だけの関数と考えて微分 a だけの関数と考えて微分 b
50. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「偏微分」による方法 16 L = n i=1 {yi − (a + bxi)}2 　 　 が最小になる を求める a, b の２次関数 a, b a b L ★ a b L だけの関数と考えて微分 a だけの関数と考えて微分 b
51. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「偏微分」による方法 16 L = n i=1 {yi − (a + bxi)}2 　 　 が最小になる を求める a, b の２次関数 a, b a b L ★ a b L だけの関数と考えて微分 a だけの関数と考えて微分 b 微分？😵😵
52. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分? 17 a b L ★ a b L だけの関数と考えて微分 a
53. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分? 17 a b L ★ a b L だけの関数と考えて微分 a 微分は，傾きを求める計算
54. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分? 17 a b L ★ a b L だけの関数と考えて微分 a 微分は，傾きを求める計算 下り(–)
55. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分? 17 a b L ★ a b L だけの関数と考えて微分 a 微分は，傾きを求める計算 下り(–) 上り(+)
56. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分? 17 a b L ★ a b L だけの関数と考えて微分 a 微分は，傾きを求める計算 下り(–) 上り(+) 底では微分=0
57. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分? 17 a b L ★ a b L だけの関数と考えて微分 a 微分は，傾きを求める計算 下り(–) 上り(+) 底では微分=0 b についても同じ，底では微分=0
58. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分? 17 a b L ★ a b L だけの関数と考えて微分 a 微分は，傾きを求める計算 下り(–) 上り(+) 底では微分=0 b についても同じ，底では微分=0 底で が最小だから， これらから を求める L a, b
59. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 計算はともかく結論は 18 •偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」による方法（付録２）
60. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 計算はともかく結論は 18 •偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」による方法（付録２） b = σxy σ2 x a = ¯ y − b¯ x
61. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 計算はともかく結論は 18 •偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」による方法（付録２） b = σxy σ2 x a = ¯ y − b¯ x の共分散 x, y
62. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 計算はともかく結論は 18 •偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」による方法（付録２） b = σxy σ2 x a = ¯ y − b¯ x の共分散 x, y の分散 x
63. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 計算はともかく結論は 18 •偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」による方法（付録２） b = σxy σ2 x a = ¯ y − b¯ x の共分散 x, y の分散 x の平均 y
64. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 計算はともかく結論は 18 •偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」による方法（付録２） b = σxy σ2 x a = ¯ y − b¯ x の共分散 x, y の分散 x の平均 x の平均 y
65. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 最小二乗法 19 を最小にしたので［最小二乗法］ b = σxy σ2 x a = ¯ y − b¯ x ［回帰係数］ L = n i=1 {yi − (a + bxi)}2 　 　 y = a + bx ［回帰方程式］あるいは［回帰直線］
66. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ところで 20 x y ¯ x % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） ¯ y y = a + bx 帰係数 　 a = ¯ y − b¯ x から y − ¯ y = b(x − ¯ x) 　 回帰直線は を通る (¯ x, ¯ y)
67. 線形単回帰の結果を使う💡💡
68. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 緯度と気温（前回の講義）の例で 22 緯度を ，気温を として回帰直線 を求めると x y y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y → 散布図上に回帰直線をひく
69. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 緯度と気温（前回の講義）の例で 22 緯度を ，気温を として回帰直線 を求めると x y y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 縦軸の位置( )のとき の値は x = 25 y % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y → 散布図上に回帰直線をひく
70. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 緯度と気温（前回の講義）の例で 22 緯度を ，気温を として回帰直線 を求めると x y y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 縦軸の位置( )のとき の値は x = 25 y % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y → 散布図上に回帰直線をひく
71. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 緯度と気温（前回の講義）の例で 22 緯度を ，気温を として回帰直線 を求めると x y y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 縦軸の位置( )のとき の値は x = 25 y y = a + bx に x = 25.0 を代入 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y → 散布図上に回帰直線をひく
72. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 緯度と気温（前回の講義）の例で 22 緯度を ，気温を として回帰直線 を求めると x y y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 縦軸の位置( )のとき の値は x = 25 y y = a + bx に x = 25.0 を代入 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y y = 44.60 + (−0.850) × 25.0 = 23.35 → 散布図上に回帰直線をひく
73. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 緯度と気温（前回の講義）の例で 22 緯度を ，気温を として回帰直線 を求めると x y y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 縦軸の位置( )のとき の値は x = 25 y y = a + bx に x = 25.0 を代入 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y y = 44.60 + (−0.850) × 25.0 = 23.35 → 散布図上に回帰直線をひく
74. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 緯度と気温（前回の講義）の例で 22 緯度を ，気温を として回帰直線 を求めると x y y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 縦軸の位置( )のとき の値は x = 25 y y = a + bx に x = 25.0 を代入 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y 回帰直線は を通る y = 23.35 y = 44.60 + (−0.850) × 25.0 = 23.35 → 散布図上に回帰直線をひく
75. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 散布図上に回帰直線をひく 23 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y 回帰直線は を通る y = 23.35 横軸の位置( )のとき の値は y = 5 x 緯度をx，気温をyとして回帰直線 を求めると y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 →
76. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 散布図上に回帰直線をひく 23 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y 回帰直線は を通る y = 23.35 横軸の位置( )のとき の値は y = 5 x 緯度をx，気温をyとして回帰直線 を求めると y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 →
77. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 散布図上に回帰直線をひく 23 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y 回帰直線は を通る y = 23.35 横軸の位置( )のとき の値は y = 5 x y = a + bx より x = y − a b 緯度をx，気温をyとして回帰直線 を求めると y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 →
78. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 散布図上に回帰直線をひく 23 を代入すると y = 5 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y 回帰直線は を通る y = 23.35 横軸の位置( )のとき の値は y = 5 x y = a + bx より x = y − a b x = (5 − 44.60)/(−0.850) = 46.59 緯度をx，気温をyとして回帰直線 を求めると y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 →
79. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 散布図上に回帰直線をひく 23 を代入すると y = 5 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y 回帰直線は を通る y = 23.35 横軸の位置( )のとき の値は y = 5 x y = a + bx より x = y − a b x = (5 − 44.60)/(−0.850) = 46.59 緯度をx，気温をyとして回帰直線 を求めると y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 →
80. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 散布図上に回帰直線をひく 23 を代入すると y = 5 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y 回帰直線は を通る y = 23.35 横軸の位置( )のとき の値は y = 5 x y = a + bx より x = y − a b x = (5 − 44.60)/(−0.850) = 46.59 回帰直線は を通る x = 46.59 緯度をx，気温をyとして回帰直線 を求めると y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 →
81. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 散布図上に回帰直線をひく 23 を代入すると y = 5 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y 回帰直線は を通る y = 23.35 横軸の位置( )のとき の値は y = 5 x y = a + bx より x = y − a b x = (5 − 44.60)/(−0.850) = 46.59 回帰直線は を通る x = 46.59 直 線 が ひ け る 緯度をx，気温をyとして回帰直線 を求めると y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 →
82. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 散布図上に回帰直線をひく 23 を代入すると y = 5 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度）x y 回帰直線は を通る y = 23.35 横軸の位置( )のとき の値は y = 5 x y = a + bx より x = y − a b x = (5 − 44.60)/(−0.850) = 46.59 回帰直線は を通る x = 46.59 直 線 が ひ け る 計算結果と図が合っていることを たしかめましょう 緯度をx，気温をyとして回帰直線 を求めると y = a + bx b = − 0.850, a = 44.60 →
83. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 求めた回帰直線を使って 24 緯度35.0度の都市の気温は何℃かを推定する % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y 緯度を ，気温を として回帰直線 x y y = a + bx を求めると b = − 0.850, a = 44.60 →
84. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 求めた回帰直線を使って 24 緯度35.0度の都市の気温は何℃かを推定する y = a + bx に x = 35.0 を代入すると % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y 緯度を ，気温を として回帰直線 x y y = a + bx を求めると b = − 0.850, a = 44.60 →
85. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 求めた回帰直線を使って 24 緯度35.0度の都市の気温は何℃かを推定する y = a + bx に x = 35.0 を代入すると % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y 44.60 + (−0.850) × 35.0 (℃) = 14.85 緯度を ，気温を として回帰直線 x y y = a + bx を求めると b = − 0.850, a = 44.60 →
86. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 求めた回帰直線を使って 24 緯度35.0度の都市の気温は何℃かを推定する y = a + bx に x = 35.0 を代入すると % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y 35.0度 44.60 + (−0.850) × 35.0 (℃) = 14.85 緯度を ，気温を として回帰直線 x y y = a + bx を求めると b = − 0.850, a = 44.60 →
87. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 求めた回帰直線を使って 24 緯度35.0度の都市の気温は何℃かを推定する y = a + bx に x = 35.0 を代入すると % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y 35.0度 推定14.85℃ 44.60 + (−0.850) × 35.0 (℃) = 14.85 緯度を ，気温を として回帰直線 x y y = a + bx を求めると b = − 0.850, a = 44.60 →
88. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 求めた回帰直線を使って 24 緯度35.0度の都市の気温は何℃かを推定する y = a + bx に x = 35.0 を代入すると % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y 35.0度 推定14.85℃ 44.60 + (−0.850) × 35.0 (℃) = 14.85 緯度を ，気温を として回帰直線 x y y = a + bx を求めると b = − 0.850, a = 44.60 → 計算結果と図が合っている ことをたしかめましょう
89. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 求めた回帰直線を使って 25 表の中にある大阪市(緯度34.68度)の気温を推定 y = a + bx に x = 34.68 を代入 44.60 + (−0.850) × 34.68 = 15.12 (℃) % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y
90. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 求めた回帰直線を使って 25 表の中にある大阪市(緯度34.68度)の気温を推定 y = a + bx に x = 34.68 を代入 44.60 + (−0.850) × 34.68 = 15.12 (℃) % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y 34.68度 推定15.12℃
91. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 求めた回帰直線を使って 25 表の中にある大阪市(緯度34.68度)の気温を推定 y = a + bx に x = 34.68 を代入 44.60 + (−0.850) × 34.68 = 15.12 (℃) % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y 表にある 実際の気温は16.2℃ 34.68度 推定15.12℃
92. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 求めた回帰直線を使って 25 表の中にある大阪市(緯度34.68度)の気温を推定 y = a + bx に x = 34.68 を代入 44.60 + (−0.850) × 34.68 = 15.12 (℃) % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y 表にある 実際の気温は16.2℃ 34.68度 実測16.2℃ 推定15.12℃
93. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 求めた回帰直線を使って 25 表の中にある大阪市(緯度34.68度)の気温を推定 y = a + bx に x = 34.68 を代入 44.60 + (−0.850) × 34.68 = 15.12 (℃) % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y 表にある 実際の気温は16.2℃ 34.68度 実測16.2℃ 推定15.12℃ 推定値と実測値に 差がある →次の話へ
94. 決定係数と「説明」🤔🤔
95. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 残差 27 が求められて，回帰直線が確定したとき a, b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi yi に対する，回帰直線による の推定値 xi y
96. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 残差 27 が求められて，回帰直線が確定したとき a, b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi yi ˆ yi = a + bxi に対する，回帰直線による の推定値 xi y
97. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 残差 27 が求められて，回帰直線が確定したとき a, b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi yi 回帰直線が確定しても残っている， 推定値と実測値の差 ˆ yi = a + bxi に対する，回帰直線による の推定値 xi y ˆ yi yi
98. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 残差 27 が求められて，回帰直線が確定したとき a, b % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） x y a + bxi xi yi 回帰直線が確定しても残っている， 推定値と実測値の差 ˆ yi = a + bxi に対する，回帰直線による の推定値 xi y ˆ yi yi この差を［残差］という di
99. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 残差と決定係数 28 残差は，回帰方程式を使って を推定したときの， 推定によって表現できなかった部分 yi
100. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 残差と決定係数 28 残差は，回帰方程式を使って を推定したときの， 推定によって表現できなかった部分 yi 残差について，次の関係がなりたつ（付録３）
101. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 残差と決定係数 28 残差は，回帰方程式を使って を推定したときの， 推定によって表現できなかった部分 yi d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 残差について，次の関係がなりたつ（付録３）
102. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 残差と決定係数 28 残差は，回帰方程式を使って を推定したときの， 推定によって表現できなかった部分 yi d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 残差について，次の関係がなりたつ（付録３） 残差
103. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 残差と決定係数 28 残差は，回帰方程式を使って を推定したときの， 推定によって表現できなかった部分 yi d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 残差について，次の関係がなりたつ（付録３） 残差 相関 係数
104. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 残差と決定係数 28 残差は，回帰方程式を使って を推定したときの， 推定によって表現できなかった部分 yi d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 残差について，次の関係がなりたつ（付録３） 残差 相関 係数
105. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 残差と決定係数 28 残差は，回帰方程式を使って を推定したときの， 推定によって表現できなかった部分 yi d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 残差について，次の関係がなりたつ（付録３） 残差 相関 係数 相関係数の2乗 ［決定係数］
106. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 残差と決定係数 28 残差は，回帰方程式を使って を推定したときの， 推定によって表現できなかった部分 yi d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 残差について，次の関係がなりたつ（付録３） 残差 相関 係数 相関係数の2乗 ［決定係数］ 🤔🤔…
107. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味 29 d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 より 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n
108. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味 29 d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 より 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n 決定係数
109. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味 29 d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 より 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n 決定係数
110. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味 29 残差の２乗の平均 d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 より 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n 決定係数
111. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味 29 残差の２乗の平均 d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 より 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n 決定係数
112. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味 29 残差の２乗の平均 d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 より 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n の偏差の２乗の平均 ＝ の分散 y y 決定係数
113. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味 29 残差の２乗の平均 d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 より 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n の偏差の２乗の平均 ＝ の分散 y y 決定係数
114. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味 29 残差の２乗の平均 d2 i = (1 − r2 xy ) (yi − ¯ y)2 より 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n の偏差の２乗の平均 ＝ の分散 y y 決定係数
115. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味 30 残差の２乗の平均 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n 決定係数 の偏差の２乗の平均 （ の分散） y y x y y di = yi – yi ［残差］ y i y i – y ［偏差］ y i x i
116. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味 30 残差の２乗の平均 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n 決定係数 の偏差の２乗の平均 （ の分散） y y もともと はこんなに ばらついていたが， y x y y di = yi – yi ［残差］ y i y i – y ［偏差］ y i x i
117. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味 30 残差の２乗の平均 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n 決定係数 の偏差の２乗の平均 （ の分散） y y もともと はこんなに ばらついていたが， y 回帰直線から見ると x y y di = yi – yi ［残差］ y i y i – y ［偏差］ y i x i
118. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味 30 残差の２乗の平均 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n 決定係数 の偏差の２乗の平均 （ の分散） y y もともと はこんなに ばらついていたが， y 回帰直線から見ると x y y di = yi – yi ［残差］ y i y i – y ［偏差］ y i x i ばらつきはこんなに減った
119. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 31 回帰直線からのばらつき 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n 決定係数 のもともとのばらつき y 決定係数 =
120. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 31 回帰直線からのばらつき 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n 決定係数 のもともとのばらつき y 決定係数 = 回帰直線によるばらつきの縮小の度合い
121. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 31 回帰直線からのばらつき 1 − r2 xy = d2 i /n (yi − ¯ y)2/n 決定係数 のもともとのばらつき y 決定係数 = 回帰直線によるばらつきの縮小の度合い ＝ 回帰直線によって，ばらつきの何%が「説明」できたか
122. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 32 相関係数 = 0，すなわち 決定係数 = 0 のとき x y もとの の分散 y
123. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 32 相関係数 = 0，すなわち 決定係数 = 0 のとき x y もとの の分散 y
124. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 32 相関係数 = 0，すなわち 決定係数 = 0 のとき 回帰直線に対する のばらつき y x y もとの の分散 y
125. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 32 相関係数 = 0，すなわち 決定係数 = 0 のとき 回帰直線に対する のばらつき y x y もとの の分散 y
126. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 32 相関係数 = 0，すなわち 決定係数 = 0 のとき 回帰直線に対する のばらつき y x y もとの の分散 y 回帰直線に対する のばらつきは y
127. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 32 相関係数 = 0，すなわち 決定係数 = 0 のとき 回帰直線に対する のばらつき y x y もとの の分散 y 回帰直線に対する のばらつきは y もとの の分散と y
128. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 32 まったく変わらない 相関係数 = 0，すなわち 決定係数 = 0 のとき 回帰直線に対する のばらつき y x y もとの の分散 y 回帰直線に対する のばらつきは y もとの の分散と y
129. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 32 まったく変わらない 相関係数 = 0，すなわち 決定係数 = 0 のとき 回帰直線に対する のばらつき y x y もとの の分散 y 回帰直線に対する のばらつきは y もとの の分散と y 「回帰直線のまわりに散らばっている」と 説明したところで， 全く説明になっていない
130. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 33 相関係数 = 0.7 すなわち 決定係数 ≒ 0.5 のとき もとの の分散 y x y
131. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 33 相関係数 = 0.7 すなわち 決定係数 ≒ 0.5 のとき もとの の分散 y x y
132. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 33 相関係数 = 0.7 すなわち 決定係数 ≒ 0.5 のとき 回帰直線に対する のばらつき y もとの の分散 y x y
133. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 33 相関係数 = 0.7 すなわち 決定係数 ≒ 0.5 のとき 回帰直線に対する のばらつき y もとの の分散 y x y
134. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 33 相関係数 = 0.7 すなわち 決定係数 ≒ 0.5 のとき 回帰直線に対する のばらつき y もとの の分散 y 回帰直線に対する のばらつきは y x y
135. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 33 相関係数 = 0.7 すなわち 決定係数 ≒ 0.5 のとき 回帰直線に対する のばらつき y もとの の分散 y 回帰直線に対する のばらつきは y もとの の分散 y x y
136. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 33 に比べて半分になっている 相関係数 = 0.7 すなわち 決定係数 ≒ 0.5 のとき 回帰直線に対する のばらつき y もとの の分散 y 回帰直線に対する のばらつきは y もとの の分散 y x y
137. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 33 に比べて半分になっている 相関係数 = 0.7 すなわち 決定係数 ≒ 0.5 のとき 回帰直線に対する のばらつき y もとの の分散 y 回帰直線に対する のばらつきは y もとの の分散 y 「回帰直線のまわりに散らばっている」と 説明したことで， もとの の分散の半分を説明した y x y
138. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 34 相関係数 = 0.9 すなわち 決定係数 ≒ 0.8 のとき もとの の分散 y x y
139. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 34 相関係数 = 0.9 すなわち 決定係数 ≒ 0.8 のとき もとの の分散 y x y
140. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 34 相関係数 = 0.9 すなわち 決定係数 ≒ 0.8 のとき 回帰直線に対する のばらつき y もとの の分散 y x y
141. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 34 相関係数 = 0.9 すなわち 決定係数 ≒ 0.8 のとき 回帰直線に対する のばらつき y もとの の分散 y x y
142. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 34 相関係数 = 0.9 すなわち 決定係数 ≒ 0.8 のとき 回帰直線に対する のばらつき y もとの の分散 y 回帰直線に対する のばらつきは y x y
143. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 34 相関係数 = 0.9 すなわち 決定係数 ≒ 0.8 のとき 回帰直線に対する のばらつき y もとの の分散 y 回帰直線に対する のばらつきは y もとの の分散 y x y
144. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 34 に比べて20%に減っている 相関係数 = 0.9 すなわち 決定係数 ≒ 0.8 のとき 回帰直線に対する のばらつき y もとの の分散 y 回帰直線に対する のばらつきは y もとの の分散 y x y
145. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 決定係数の意味と「説明」 34 に比べて20%に減っている 相関係数 = 0.9 すなわち 決定係数 ≒ 0.8 のとき 回帰直線に対する のばらつき y もとの の分散 y 回帰直線に対する のばらつきは y もとの の分散 y 「回帰直線のまわりに散らばっている」と 説明したことで， もとの の分散の80%を説明した y x y
146. ところで，前回の講義で 言いかけていたことですが💬💬💦💦
147. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「中くらいの相関」とは 36 決定係数0.49 相関係数0.7 相関係数0.5 決定係数0.25 x y x y
148. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「中くらいの相関」とは 36 決定係数0.49 相関係数0.7 相関係数0.5 決定係数0.25 回帰直線ではもとの の分散の 25%しか説明できていない y x y x y
149. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「中くらいの相関」とは 36 決定係数0.49 相関係数0.7 相関係数0.5 決定係数0.25 回帰直線ではもとの の分散の 25%しか説明できていない y x y x y 回帰直線でもとの の分散の 50%を説明している y
150. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「中くらいの相関」とは 36 決定係数0.49 相関係数0.7 相関係数0.5 決定係数0.25 こちらのほうが，中くらいの相関関係 （分散の説明という意味では） 回帰直線ではもとの の分散の 25%しか説明できていない y x y x y 回帰直線でもとの の分散の 50%を説明している y
151. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 緯度と気温の例で 37 決定係数0.712 長野〜鹿児島 決定係数0.949 ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） 札幌〜那覇
152. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 緯度と気温の例で 37 決定係数0.712 長野〜鹿児島 決定係数0.949 平均付近に密集して いると不安定 ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） 札幌〜那覇
153. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 緯度と気温の例で 37 決定係数0.712 長野〜鹿児島 決定係数0.949 平均付近に密集して いると不安定 ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） 札幌〜那覇
154. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 緯度と気温の例で 37 決定係数0.712 長野〜鹿児島 決定係数0.949 平均付近に密集して いると不安定 平均から離れた個体がある と安定する ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） 札幌〜那覇
155. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 緯度と気温の例で 37 決定係数0.712 長野〜鹿児島 決定係数0.949 平均付近に密集して いると不安定 平均から離れた個体がある と安定する ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温 （℃） 緯度 （度） 札幌〜那覇
156. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 注意すべき例 38 x y こういう分布だと
157. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 注意すべき例 38 全体で見ると弱い正の相関に見えるが x y こういう分布だと
158. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 注意すべき例 38 全体で見ると弱い正の相関に見えるが x y こういう分布だと 群ごとに見ると負の相関
159. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 注意すべき例 38 相関係数や回帰直線は どんなデータであっても計算 「できてしまう」ことに注意 全体で見ると弱い正の相関に見えるが x y こういう分布だと 群ごとに見ると負の相関
160. 38 2025年度春学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 注意すべき例 38 相関係数や回帰直線は どんなデータであっても計算 「できてしまう」ことに注意 全体で見ると弱い正の相関に見えるが 得られた回帰直線は， それが意味のあるものかどうか， よく考えましょう。 x y こういう分布だと 群ごとに見ると負の相関