2026年度秋学期　画像情報処理　第2部・画像情報圧縮／第6回　ベクトルと行列について，高速フーリエ変換（2026. 10. 23, オンデマンド配信回）

2026年度秋学期画像情報処理第2部・画像情報圧縮／第6回ベクトルと行列について高速フーリエ変換関西大学総合情報学部浅野晃

ベクトルと行列の考え方たくさんの数の組を，ひとまとめに計算するひとつの組がいくつの数でできていても，同じように計算できるようにする組の中身を意識せずにすむことによって，さらに複雑な計算を考えることができる（現代のプログラミングも同じ考えかた） 2026年度秋学期画像情報処理／
関西大学総合情報学部浅野晃 2 42

ベクトルの計算 z = a1 x1 + a2 x2 この計算を 2026年度秋学期
画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 3 42

ベクトルの計算 z = a1 x1 + a2 x2 この計算を z=
a1 a 2 x1 x2 と書く 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 3 42

a1 a 2 行ベクトル x1 x2 と書く 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 3 42

a1 a 2 行ベクトル x1 x2 と書く列ベクトル 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 3 42

問題1 問題 1 次のベクトルの計算をしてください。 Pause ⏸
3 1 2 4 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 4 42

問題1 問題 1 次のベクトルの計算をしてください。（解答例） ▪
3 1 2 4 3 = 1 × 3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11 1 2 4 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 5 42

ベクトルの計算が２つ z(1) = z(2) = a1(1) a2(1) a1(2)
a2(2) x1 x2 x1 x2 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 6 42

ベクトルの計算が２つ z(1) = z(2) = a1(1) a2(1) a1(2)
a2(2) x1 x2 x1 x2 この計算をまとめて 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 6 42

ベクトルの計算が２つ z(1) = z(2) = z(1) z(2)
a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) = x1 x2 x1 x2 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) この計算をまとめて x1 x2 と書く 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 6 42

ベクトルの計算が２つ z(1) = z(2) = z(1) z(2)
a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) = x1 x2 x1 x2 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) この計算をまとめて x1 x2 と書く行列 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 6 42

問題2 問題 2 次の行列とベクトルの計算をしてください。 0 1 2
1 2 1 Pause ⏸ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 7 42

問題2 問題 2 次の行列とベクトルの計算をしてください。 0 1 2
1 2 1 （解答例） ▪ 0 1 2 0×2+1×1 1 = = 1 2 1 1×2+2×1 4 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 8 42

図形的意味 X 点(x1, x2) 原点O 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野
晃 9 42

図形的意味 X ベクトル点(x1, x2) x1 x2 原点O
2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 42

図形的意味行列をかける a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) X ベクトル点(x1,
x2) x1 x2 原点O 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 42

図形的意味別のベクトルに変換 z(1) z(2) 行列をかける a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2) X ベクトル点(x1, x2) x1 x2 原点O 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 42

問題3 問題 3 2 問題 2 のベクトルと，問題
2 の計算結果のベクトルを，座標平面に図示してください。 1 Pause ⏸ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 10 42

問題3 問題 3 2 問題 2 のベクトルと，問題
2 の計算結果のベクトルを，座標平面に図示してください。 1 点(1,4) 行列 0 1 1 2 をかける点(2,1) O 図 2: 問題 3 の解答例． 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 42

定数倍の計算 s11 s12 s21 s22 a1 a2
=λ a1 a2 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 42

定数倍の計算 s11 s12 s21 s22 a1 a2
=λ a1 a2 λa1 λa2 の意味 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 42

行列と行列の計算 s11 s12 s21 s22 s11 s12
s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) = λ(1) = λ(2) a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 42

行列と行列の計算 s11 s12 s21 s22 s11 s12 s21
s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) = λ(1) = λ(2) a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) この計算をまとめて 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 42

行列と行列の計算 s11 s12 s21 s22 s11
s12 s21 s22 s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) = λ(1) = λ(2) a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) この計算をまとめて 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 42

s12 s21 s22 s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) = λ(1) = λ(2) a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) この計算をまとめて行列とベクトルの計算が２つ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 42

s12 s21 s22 s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) = λ(1) = λ(2) a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) a1(1) a1(2) = a2(1) a2(2) この計算をまとめて a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) 0 λ(1) 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が２つ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 42

行列と行列の計算 s11 s12 s21 s22 s11 s12
s21 s22 s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) = λ(1) = λ(2) a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) a1(1) a1(2) = a2(1) a2(2) この計算をまとめて λ(1)に関する計算 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) 0 λ(1) 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が２つ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 42

問題4 問題 4 次の行列と行列の計算をしてください。 0 1 1 2
2 1 1 0 Pause ⏸ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 42

問題4 問題 4 次の行列と行列の計算をしてください。 0 1 1 2
2 1 1 0 2 1 （解答例）右側の行列を，との 2 つのベクトルに分けます。 1 0 ひとつめのベクトルに対しては 0 1 2 0×2+1×1 1 = = 1 2 1 1×2+2×1 4 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 15 42

問題4 となり，ふたつめのベクトルに対しては 0
1 1 0×1+1×0 0 = = 1 2 0 1×1+2×0 1 となります。よって，これらの 2 つのベクトルを並べて 0 1 2 1 1 0 = 1 2 1 0 4 1 となります。▪ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 42

問題4 0 1 1 2 2 1 1
0 となり，ふたつめのベクトルに対しては 0 1 1 0×1+1×0 0 = = 1 2 0 1×1+2×0 1 となります。よって，これらの 2 つのベクトルを並べて 0 1 2 1 1 0 = 1 2 1 0 4 1 となります。▪ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 42

要素がp個の場合 s11 s12 s21 s22 a1 a2
=λ a1 a2 は， 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 42

要素がp個の場合 s11 s12 s21 s22 a1 a2
=λ a1 a2 は，  s11 s12 · · ·   s12 s22 · · ·  . ..  . .  . sp1 sp2 · · ·     s1p a1 a1     s2p   a2   a2   .  = λ .   .   .   .   .  spp ap ap 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 42

要素がp個の場合 s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1)
a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) 0 λ(1) 0 λ(2) は， 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 42

a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) は，  s11 s12 · · ·   s12 s22 · · ·  . ..  . .  . sp1 sp2 · · ·  a1(1) a1(2) · · · s1p  s2p   a2(1) a2(2) · · ·  . ..  . .  . spp  ap(1) ap(2) · · · a1(1) a1(2) · · ·   a2(1) a2(2) · · · = ..  .. .  . ap(1) ap(2) · · · 0 λ(1) 0 λ(2)  a1(p)  a2(p)     ap(p)  λ(1) a1(p)  λ(2) a2(p)      0 ap(p) 0 .. (10) . λ(p)       2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 42

a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) は，  s11 s12 · · ·   s12 s22 · · ·  . ..  . .  . sp1 sp2 · · ·  a1(1) a1(2) · · · s1p  s2p   a2(1) a2(2) · · ·  . ..  . .  . spp  ap(1) ap(2) · · · a1(1) a1(2) · · ·   a2(1) a2(2) · · · = ..  .. .  . ap(1) ap(2) · · · 0 λ(1) 0 λ(2)  a1(p)  a2(p)     ap(p)  なんのために？？？ λ(1) a1(p)  λ(2) a2(p)      0 ap(p) 0 .. (10) . λ(p)       2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 42

行列を１文字で表す  s11 s12 · · ·   s12
s22 · · ·  . ..  . .  . sp1 sp2 · · ·  a1(1) a1(2) · · · s1p  s2p   a2(1) a2(2) · · ·  . ..  . .  . spp ap(1) ap(2) · · ·  a1(1) a1(2) · · ·   a2(1) a2(2) · · · = ..  .. .  . ap(1) ap(2) · · ·  a1(p)  a2(p)     ap(p)  λ(1) a1(p)  λ(2) a2(p)      0 ap(p) 0 .. (10) . λ(p)       2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 42

行列を１文字で表す  s11 s12 · · ·   s12
s22 · · ·  . ..  . .  . S sp1 sp2 · · ·  a1(1) a1(2) · · · s1p  s2p   a2(1) a2(2) · · ·  . ..  . .  . spp ap(1) ap(2) · · ·  a1(1) a1(2) · · ·   a2(1) a2(2) · · · = ..  .. .  . ap(1) ap(2) · · ·  a1(p)  a2(p)     ap(p)  λ(1) a1(p)  λ(2) a2(p)      0 ap(p) 0 .. (10) . λ(p)       2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 42

行列を１文字で表す  s11 s12 · · ·   s12
s22 · · ·  . ..  . .  . S sp1 sp2 · · ·  a1(1) a1(2) · · · s1p  s2p   a2(1) a2(2) · · ·  . ..  . .  . spp P ap(1) ap(2) · · ·  a1(1) a1(2) · · ·   a2(1) a2(2) · · · = ..  .. .  . ap(1) ap(2) · · ·  a1(p)  a2(p)     ap(p)  λ(1) a1(p)  λ(2) a2(p)      0 ap(p) 0 .. (10) . λ(p)       2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 42

行列を１文字で表す  s11 s12 · · ·   s12
s22 · · ·  . ..  . .  . S sp1 sp2 · · ·  a1(1) a1(2) · · · s1p  s2p   a2(1) a2(2) · · ·  . ..  . .  . spp  P ap(1) ap(2) · · · a1(1) a1(2) · · ·   a2(1) a2(2) · · · = ..  .. .  . P ap(1) ap(2) · · ·  a1(p)  a2(p)     ap(p)  λ(1) a1(p)  λ(2) a2(p)      0 ap(p) 0 .. (10) . λ(p)       2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 42

行列を１文字で表す  s11 s12 · · ·   s12
s22 · · ·  . ..  . .  . S sp1 sp2 · · ·  a1(1) a1(2) · · · s1p  s2p   a2(1) a2(2) · · ·  . ..  . .  . spp  P ap(1) ap(2) · · · a1(1) a1(2) · · ·   a2(1) a2(2) · · · = ..  .. .  . P ap(1) ap(2) · · ·  a1(p)  a2(p)     ap(p)  λ(1) a1(p)  λ(2) a2(p)      0 ap(p) 0 Λ .. (10) . λ(p)       2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 42

行列を１文字で表す  s11 s12 · · ·   s12
s22 · · ·  . ..  . .  . S sp1 sp2 · · ·  a1(1) a1(2) · · · s1p  s2p   a2(1) a2(2) · · ·  . ..  . .  . spp  P ap(1) ap(2) · · · a1(1) a1(2) · · ·   a2(1) a2(2) · · · = ..  .. .  . P ap(1) ap(2) · · ·  a1(p)  a2(p)     ap(p)  λ(1) a1(p)  λ(2) a2(p)      0 ap(p) 0 Λ .. (10) . λ(p)       SP = P Λ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 42

行列を１文字で表す  s11 s12 · · ·   s12
s22 · · ·  . ..  . .  . S sp1 sp2 · · ·  a1(1) a1(2) · · · s1p  s2p   a2(1) a2(2) · · ·  . ..  . .  . spp  P ap(1) ap(2) · · · a1(1) a1(2) · · ·   a2(1) a2(2) · · · = ..  .. .  . P ap(1) ap(2) · · ·  a1(p)  a2(p)     ap(p)  λ(1) a1(p)  λ(2) a2(p)      0 ap(p) SP = P Λ 0 Λ .. (10) . λ(p)       複雑な計算を，あたかも数の計算のように単純に考える 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 42

ただし行列の積は，交換ができない ABとBAが等しいとは限らない 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20
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転置行列・対称行列 a b 行列A c d 講義プリ

a b c d 講義プリ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 42

a b a c c d b d を使講義プリ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 42

a b a c c d b d を使講義プリ転置行列 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 42

a b a c 転置行列 t A, At , AT , A c d b d を使講義プリ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 42

a b a c 転置行列 t A, At , AT , A c d b d を使講義プリある行列とその転置行列が同じとき，対称行列という 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 42

問題5 問題 5 1. 2. 1 2
0 1 1 2 0 1 の転置行列を求めてください。と 1 0 0 1 は，それぞれは対称行列ですか。 Pause ⏸ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 22 42

問題5 （解答例） 1 0 1. です。 2 1
1 0 1 2 2. の転置行列はで，もとの行列とは異なるので，対称行列ではありません。一方， 2 1 0 1 1 0 0 1 の転置行列は 1 0 0 1 で，もとの行列と同じなので，これは対称行列です。▪ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 23 42

逆行列行列には割り算はない 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 42

逆行列行列には割り算はない −1 −1 AA = A A = I
となるA-1を，Aの逆行列という 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 42

単位行列（かけ算をしても何もおこらない）となるA-1を，Aの逆行列という 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 42

となるA-1を，Aの逆行列という単位行列（かけ算をしても何もおこらない） 1 0 0 1 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 42

単位行列（かけ算をしても何もおこらない）となるA-1を，Aの逆行列という数の場合は 1 a × （逆元）= 1（単位元） a 1 0 0 1 行列の場合は AA （逆行列）= I（単位行列） −1 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 42

直交行列逆行列が転置行列と同じであるような行列を直交行列という a b 直交行列の列ベクトルどうしは直交している c d 講義
プリ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 25 42

プリ直交した２つのベクトルは，直交行列で変換されても直交している 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 25 42

プリ直交行列で変換直交した２つのベクトルは，直交行列で変換されても直交している直交行列で変換 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 25 42

問題6 問題 6 1 R= √ 2 が直交行列であることを確かめてください。 1
1 −1 1 Pause ⏸ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 26 42

問題6 （解答例）次のとおりです。
1 1 −1 1 1 1 √ RR= √ 2 1 1 2 −1 1 1 1 × 1 + (−1) × (−1) 1 × 1 + (−1) × 1 1 0 = = =I 2 1 × 1 + 1 × (−1) 1×1+1×1 0 1 1 1 1 1 1 −1 √ RR = √ 2 −1 1 2 1 1 1 1×1+1×1 (−1) × 1 + 1 × 1 1 0 = = =I 2 1 × (−1) + 1 × 1 (−1) × (−1) + 1 × 1 0 1 ▪ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 27 42

問題7 問題 7 1 1 1
1 1. ベクトル √ と√ が直交していることを，図に描いて確認してください。 2 −1 2 1 1 0 2. 座標軸の x 軸はベクトルで，y 軸はベクトルで，それぞれ表されます。これらのベク 0 1 1 1 1 で変換して，変換後のベクトルも直交していることを図で確認してトルを直交行列 √ 2 −1 1 ください。 Pause ⏸ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 28 42

問題7 （解答例） 1. 図 4 のとおりで，この 2 つのベクトルは直交しています。点( 1
点( 1 , 1 2 ) 2 O 2 図 4: 問題 7-1． ,− 1 ) 2 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 29 42

問題7 行列 2 (11 −11 )をかけると直交のまま回転 1 2. x
軸をこの行列で変換すると 1 √ 2 1 √ 1 1 1 2 = − √12 −1 1 0 で，y 軸をこの行列で変換すると 1 √ 2 1 √ 1 1 0 2 = √1 −1 1 1 2 0 (1) 1 (0) O 図 5: 問題 7-2．です。つまり，この行列の 2 つの列ベクトルがそのまま取り出されます（上で出てきた「単位行列」を思い出してください）。したがって，図 5 のように，x, y 軸が，直交したまま 45 度回転したものに変換されたということができます。▪ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 30 42

高速フーリエ変換🤔🤔

「高速」フーリエ変換とは高速フーリエ変換（Fast Fourier Transformation, FFT）離散フーリエ変換の計算に含まれる掛け算の回数を減らす工夫コンピュータでは，掛け算は足し算に比べて時間がかかるので掛け算を減らすと全体の計算にかかる時間を短くできる例えば 5×4+3×5
5 × (4 + 3) 掛け算は2回掛け算は1回 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 32 42

4点だけの信号の離散フーリエ変換 4点だけの信号（N = 4)の離散フーリエ変換をこれを行列で書いてみる離散フーリエ変換の式は U (k) = 3
n=0 k u(n) exp −i2π n (k = 0, 1, . . . , 3) 4 1つのU( )を計算するのに，掛け算を4回 2 全部で 4 = 16 回の掛け算😵😵 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 33 42

行列で表すと行列で表すと  2π W ≡ exp −i 4
    U (0) W 0·0  U (1)   W 1·0     =  U (2)   W 2·0 W 3·0 U (3) W 0·1 W 1·1 W 2·1 W 3·1 とおいて W 0·2 W 1·2 W 2·2 W 3·2   0·3  W u(0)    1·3 W   u(1)    2·3   u(2)  W W 3·3 u(3) すなわち  U (0) W0  U (1)   W 0     =  U (2)   W 0 W0 U (3) W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6   0  W u(0)    3 W   u(1)    6 W   u(2)  W9 u(3) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 34 42

順序を入れ替える    U (0) W0  U (1)
  W 0     =  U (2)   W 0 W0 U (3) W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6   0  W u(0)  u(1)  W3      6 W   u(2)  W9 u(3) 右辺のベクトルで，要素の順序を入れ替える    0 W 0 W 0 W U (0)  U (1)   W 0 W 2 W 1     = 0 4 2  U (2)   W W W 0 6 3 W W W U (3)   0  W u(0)    3 W   u(2)    6 W   u(1)  9 W u(3) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 35 42

指数関数／三角関数の性質を使って 4 4 = 1 = W0 W
= exp −i2π 4    W0 W0 W0 W0   U (0) u(0)  U (1)   W 0 W 2 W 1 W 3   u(2)        =     U (2)   W 0 W 4 W 2 W 6   u(1)  W0 W6 W3 W9 U (3) u(3)    0 W 0 W という周期関数の性質があるのでは， 0 W U (0)  U (1)   W 0 W 2 W 1     =  U (2)   W 0 W 0 W 2 0 2 3 W W W U (3)   0  W u(0)    3 W   u(2)     2 W   u(1)  5 W u(3) と表せる 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 36 42

2つの行列の積に分ける    W0 W0 W0 W0  
U (0) u(0)  U (1)   W 0 W 2 W 1 W 3   u(2)        =    0 0 2 2  U (2)   W W W W   u(1)  W0 W2 W3 W5 U (3) u(3)    の右辺の行列を，2つに分ける   0  U (0) u(0) W 0 W 0 W 0W 0 W 0W  U (1)   W 0 W 2 W 1 W 0 W 1 W 2   u(2)         =  0 0 2 0 2 0  U (2)   W W W W W W   u(1)  W 0 W 2 W 3W 0 W 3W 2 U (3) u(3)       と表せる 0 W0 W0 0 u(0) 1 0 W0 0    0 1 0 W1  W0 W2 0  0   u(2)    =    2 0 0  1 0 W 0  0 0 W W   u(1)  0 0 W0 W2 0 1 0 W3 u(3) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 37 42

後半の「行列×ベクトル」は    1 U (0)  U (1)
  0     =   U (2)   1 0 U (3) W0  W0  W0  0 0 0 0 u(0)    0  1 0 W1   W0 W2 0   u(2)     2 0 0 0 W 0  0 0 W W   u(1)  0 0 W0 W2 1 0 W3 u(3) 0 W 0 W 0 W 2 W 0 W 0 W 0 W 2 W u(0) u(2) u(1) u(3) の後半の行列×ベクトルはこの2つの「分割された行列」の計算になっている 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 38 42

後半の「行列×ベクトル」は    1 U (0)  U (1)
  0     =   U (2)   1 0 U (3) Wの掛け算4回 W0  W0  W0  0 0 0 0 u(0)    0  1 0 W1   W0 W2 0   u(2)     2 0 0 0 W 0  0 0 W W   u(1)  0 0 W0 W2 1 0 W3 u(3) 0 W 0 W 0 W 2 W 0 W 0 W 0 W 2 W u(0) u(2) u(1) u(3) の後半の行列×ベクトルはこの2つの「分割された行列」の計算になっている 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 38 42

後半の「行列×ベクトル」は    1 U (0)  U (1)
  0     =   U (2)   1 0 U (3) Wの掛け算4回掛け算4回 W0  W0  W0  0 0 0 0 u(0)    0  1 0 W1   W0 W2 0   u(2)     2 0 0 0 W 0  0 0 W W   u(1)  0 0 W0 W2 1 0 W3 u(3) 0 W 0 W 0 W 2 W 0 W 0 W 0 W 2 W u(0) u(2) u(1) u(3) の後半の行列×ベクトルはこの2つの「分割された行列」の計算になっている 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 38 42

後半の「行列×ベクトル」は掛け算4回    1 U (0)  U
(1)   0     =   U (2)   1 0 U (3) Wの掛け算4回掛け算4回 W0  W0  W0  0 0 0 0 u(0)    0  1 0 W1   W0 W2 0   u(2)     2 0 0 0 W 0  0 0 W W   u(1)  0 0 W0 W2 1 0 W3 u(3) 0 W 0 W 0 W 2 W 0 W 0 W 0 W 2 W u(0) u(2) u(1) u(3) の後半の行列×ベクトルはこの2つの「分割された行列」の計算になっている 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 38 42

(1)   0     =   U (2)   1 0 U (3) Wの掛け算4回掛け算4回 W0  W0  W0  0 0 0 0 u(0)    0  1 0 W1   W0 W2 0   u(2)     2 0 0 0 W 0  0 0 W W   u(1)  0 0 W0 W2 1 0 W3 u(3) 0 W 0 W 0 W 2 W 0 W 0 W 0 W 2 W u(0) u(2) u(1) u(3) の後半の行列×ベクトルはこの2つの「分割された行列」の計算になっている掛け算の回数は 4 + 4 × 2 = 12 回 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 38 42

(1)   0     =   U (2)   1 0 U (3) Wの掛け算4回掛け算4回 W0  W0  W0  0 0 0 0 u(0)    0  1 0 W1   W0 W2 0   u(2)     2 0 0 0 W 0  0 0 W W   u(1)  0 0 W0 W2 1 0 W3 u(3) 0 W 0 W 0 W 2 W 0 W 0 W 0 W 2 W u(0) u(2) u(1) u(3) の後半の行列×ベクトルはこの2つの「分割された行列」の計算になっている掛け算の回数は 4 + 4 × 2 = 12 回元の 42 = 16 回から減った💡💡 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 38 42

N=8の場合は W0 W0 W0 W2 u(0) u(2)
W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) これらは，N=2のフーリエ変換Ｎ＝８のときはＮ＝８のフーリエ変換 → 掛け算8回＋ 2 × （ N=4 のフーリエ変換） → 掛け算8回 + 2 × （掛け算4回 + 2 × ( N=2 のフーリエ変換 ) ) → 掛け算8回 + 掛け算8回 + 2 × 2 × 掛け算4回 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 39 42

N=8の場合は W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) Ｎ＝８
のときは W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) これらは，N=2のフーリエ変換 2 元々 8 = 64 回の掛け算が必要Ｎ＝８のフーリエ変換 → 掛け算8回＋ 2 × （ N=4 のフーリエ変換） → 掛け算8回 + 2 × （掛け算4回 + 2 × ( N=2 のフーリエ変換 ) ) → 掛け算8回 + 掛け算8回 + 2 × 2 × 掛け算4回 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 39 42

N=8の場合は W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) Ｎ＝８
のときは W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) これらは，N=2のフーリエ変換 2 元々 8 = 64 回の掛け算が必要Ｎ＝８のフーリエ変換 → 掛け算8回＋ 2 × （ N=4 のフーリエ変換） → 掛け算8回 + 2 × （掛け算4回 + 2 × ( N=2 のフーリエ変換 ) ) → 掛け算8回 + 掛け算8回 + 2 × 2 × 掛け算4回掛け算の回数は 8 + 8 + 4 × 4 = 32 回💡💡 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 39 42

「分割統治戦略」一般に，N点のフーリエ変換には掛け算が N 2 回必要だったのが， log2 N 段階に分割され，それぞれで N 回の掛け算を行うので（概ね），
N log2 N に比例した回数で済むこのように，問題を半分，半分，半分，…に分けていく方法は，他にもいろいろなところで使われている（「クイックソート」等） 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 40 42

さて，第2部の本題へ💡💡

第２部の本題へ第２部は画像データ圧縮 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 42 42

第２部の本題へ第２部は画像データ圧縮画像を，各画像で大きく異なる部分とどの画像でもあまりかわらない部分にわける 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃
42 42

第２部の本題へ第２部は画像データ圧縮画像を，各画像で大きく異なる部分とどの画像でもあまりかわらない部分にわけるどの画像でもあまり変わらない部分 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野
晃 42 42

第２部の本題へ第２部は画像データ圧縮画像を，各画像で大きく異なる部分とどの画像でもあまりかわらない部分にわけるどの画像でもあまり変わらない部分なんて，ある？ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部
浅野晃 42 42

第２部の本題へ第２部は画像データ圧縮画像を，各画像で大きく異なる部分とどの画像でもあまりかわらない部分にわけるどの画像でもあまり変わらない部分なんて，ある？直交変換すると，「大まかな部分」「細かい部分」が別になるように組み替えられる 2026年度秋学期
画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 42 42

第２部の本題へ第２部は画像データ圧縮画像を，各画像で大きく異なる部分とどの画像でもあまりかわらない部分にわけるどの画像でもあまり変わらない部分なんて，ある？直交変換すると，「大まかな部分」「細かい部分」が別になるように組み替えられるどの画像でもあまりかわらない部分は，ごまかす

第２部の本題へ第２部は画像データ圧縮画像を，各画像で大きく異なる部分とどの画像でもあまりかわらない部分にわけるどの画像でもあまり変わらない部分なんて，ある？直交変換すると，「大まかな部分」「細かい部分」が別になるように組み替えられるどの画像でもあまりかわらない部分は，ごまかす
フーリエ変換も，行列で表すと直交変換の一種 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 42 42

2026年度秋学期 画像情報処理 第2部・画像情報圧縮 ／ 第6回 ベクトルと行列について，高...

2026年度秋学期 画像情報処理 第2部・画像情報圧縮 ／ 第6回 ベクトルと行列について，高速フーリエ変換（2026. 10. 23, オンデマンド配信回）

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2026年度秋学期　画像情報処理　第2部・画像情報圧縮／第6回　ベクトルと行列について，高...

2026年度秋学期　画像情報処理　第2部・画像情報圧縮／第6回　ベクトルと行列について，高速フーリエ変換（2026. 10. 23, オンデマンド配信回）