2026年度秋学期 応用数学（解析） 第2部・基本的な微分方程式 ／ 第6回 変数分離形の変形 (2026. 10. 23，オンデマンド配信回)

関西大学総合情報学部　統計学（担当・浅野晃）
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2026a/STAT/

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1. 2026年度秋学期 応用数学（解析） 第２部・基本的な微分方程式 ／ 第6回 変数分離形の変形 関西大学総合情報学部 浅野 晃
3. 変数分離形（復習）🤔🤔
4. 変数分離形 一般には ′ g(x)x = f (t) dx x = とすると dt ′ 両辺それぞれを 積分すると g(x)dx = f (t)dt  g(x)dx =  f (t)dt + C 一般解に含まれる積分定数 C は， 初期値を代入して定まり，特殊解が得られる 今日は，変形によって変数分離形に持ち込める方程式です 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 3 22
6. １．同次形🤔🤔
7. 同次形 x dx 一般には = f ( ). dt t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 22
8. 同次形 x dx 一般には = f ( ). dt t x/t の式になっている 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 22
9. 同次形 x dx 一般には = f ( ). dt t x/t の式になっている x = u とおくと x = ut t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 22
10. 同次形 x dx 一般には = f ( ). dt t x = u とおくと x = ut t x/t の式になっている この両辺を微分 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 22
11. 同次形 x dx 一般には = f ( ). dt t x = u とおくと x = ut t x/t の式になっている この両辺を微分 du dx =t +u dt dt 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 22
12. 同次形 x dx 一般には = f ( ). dt t x = u とおくと x = ut t x/t の式になっている この両辺を微分 du dx =t +u dt dt 積の微分 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 22
13. 同次形 x dx 一般には = f ( ). dt t x = u とおくと x = ut t x/t の式になっている この両辺を微分 du dx =t +u dt dt 積の微分 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 22
14. 同次形 x dx 一般には = f ( ). dt t x = u とおくと x = ut t x/t の式になっている この両辺を微分 du dx =t +u dt dt 積の微分 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 22
15. 同次形 x dx 一般には = f ( ). dt t x = u とおくと x = ut t x/t の式になっている この両辺を微分 du dx =t +u dt dt 積の微分 よって 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 22
16. 同次形 x dx 一般には = f ( ). dt t x = u とおくと x = ut t よって x/t の式になっている この両辺を微分 du dx =t +u dt dt 積の微分 du + u = f (u) t dt 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 22
17. 同次形 x dx 一般には = f ( ). dt t x = u とおくと x = ut t よって x/t の式になっている この両辺を微分 du dx =t +u dt dt 積の微分 du + u = f (u) t dt 1 1 du = dt f (u) − u t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 22
18. 同次形 x dx 一般には = f ( ). dt t x = u とおくと x = ut t よって x/t の式になっている この両辺を微分 du dx =t +u dt dt 積の微分 du + u = f (u) t dt 1 1 du = dt f (u) − u t 変数分離形になった 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 22
19. 同次関数 関数 M (x, t) が k 次の同次関数であるとは k M (ut, t) = t M (u, 1) の形になっていること 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 6 22
20. 同次関数 関数 M (x, t) が k 次の同次関数であるとは k M (ut, t) = t M (u, 1) の形になっていること tk をくくり出せる 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 6 22
21. 同次関数 関数 M (x, t) が k 次の同次関数であるとは k M (ut, t) = t M (u, 1) の形になっていること tk をくくり出せる ( , ) M (x, t) dx = の形で 微分方程式が dt N (x, t) M, N がどちらも k 次の同次関数なら，x = ut とおいて 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 6 22
22. 同次関数 関数 M (x, t) が k 次の同次関数であるとは k M (ut, t) = t M (u, 1) の形になっていること tk をくくり出せる ( , ) M (x, t) dx = の形で 微分方程式が dt N (x, t) M, N がどちらも k 次の同次関数なら，x = ut とおいて M (x, t) dx = dt N (x, t) x k M ( t , 1) t M (u, 1) M (u, 1) = = = k x t N (u, 1) N (u, 1) N ( t , 1) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 6 22
23. 同次関数 関数 M (x, t) が k 次の同次関数であるとは k M (ut, t) = t M (u, 1) の形になっていること tk をくくり出せる ( , ) M (x, t) dx = の形で 微分方程式が dt N (x, t) M, N がどちらも k 次の同次関数なら，x = ut とおいて M (x, t) dx = dt N (x, t) x k M ( t , 1) t M (u, 1) M (u, 1) = = = k x t N (u, 1) N (u, 1) N ( t , 1) 前ページの形になる 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 6 22
24. 例題 t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 22
25. 例題 t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ 分母分子を t でわると x 1− t dx = x dt 1+ t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 22
26. 例題 t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ 分母分子を t でわると x 1− t dx = x dt 1+ t 【同次形】 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 22
27. 例題 t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ x 1− t dx = 分母分子を t でわると 【同次形】 x dt 1+ t x du dx =t +u = u とおくと x = ut より dt dt t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 22
28. 例題 t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ x 1− t dx = 分母分子を t でわると 【同次形】 x dt 1+ t x du dx =t +u = u とおくと x = ut より dt dt t よって 1−u du +u= t dt 1+u 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 22
29. 例題 t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ x 1− t dx = 分母分子を t でわると 【同次形】 x dt 1+ t x du dx =t +u = u とおくと x = ut より dt dt t よって 1−u du +u= t dt 1+u 1 1 du = dt 1−u t 1+u − u 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 22
30. 例題 t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ x 1− t dx = 分母分子を t でわると 【同次形】 x dt 1+ t x du dx =t +u = u とおくと x = ut より dt dt t よって 1−u du +u= t dt 1+u 1 1 du = dt 1−u t 1+u − u t と u を分離 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 22
31. 例題 t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ x 1− t dx = 分母分子を t でわると 【同次形】 x dt 1+ t x du dx =t +u = u とおくと x = ut より dt dt t よって 1−u du +u= t dt 1+u 1 1 du = dt 1−u t 1+u − u u+1 1 du = − dt 2 u + 2u − 1 t t と u を分離 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 22
32. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
33. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
34. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
35. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ 微分の関係に なっている u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
36. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ 微分の関係に なっている u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 2 ここで u + 2u − 1 の微分が 2(u + 1)になるから， 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
37. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ 微分の関係に なっている u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 2 ここで u + 2u − 1 の微分が 2(u + 1)になるから， 上の式の両辺を積分すると 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
38. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ 微分の関係に なっている u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 2 ここで u + 2u − 1 の微分が 2(u + 1)になるから， 上の式の両辺を積分すると 1 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C 2 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
39. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 微分の関係に なっている 2 ここで u + 2u − 1 の微分が 2(u + 1)になるから， 上の式の両辺を積分すると 1 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C 2 2 −2 log(|u + 2u − 1|) = log(A|t| ) 2 2 t (u + 2u − 1) = A 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
40. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 微分の関係に なっている 2 ここで u + 2u − 1 の微分が 2(u + 1)になるから， 上の式の両辺を積分すると 1 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C 2 2 −2 log(|u + 2u − 1|) = log(A|t| ) 2 2 t (u + 2u − 1) = A 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
41. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 微分の関係に なっている 2 ここで u + 2u − 1 の微分が 2(u + 1)になるから， 上の式の両辺を積分すると 1 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C 2 2 −2 log(|u + 2u − 1|) = log(A|t| ) 2 2 t (u + 2u − 1) = A 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
42. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 微分の関係に なっている 2 ここで u + 2u − 1 の微分が 2(u + 1)になるから， 上の式の両辺を積分すると 1 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C 2 2 −2 log(|u + 2u − 1|) = log(A|t| ) 2 2 t (u + 2u − 1) = A 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
43. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 微分の関係に なっている 2 ここで u + 2u − 1 の微分が 2(u + 1)になるから， 上の式の両辺を積分すると 1 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C 2 2 −2 log(|u + 2u − 1|) = log(A|t| ) 2 対数の和 → 真数の積 2 t (u + 2u − 1) = A 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
44. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 微分の関係に なっている 2 ここで u + 2u − 1 の微分が 2(u + 1)になるから， 上の式の両辺を積分すると 1 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C 2 2 −2 log(|u + 2u − 1|) = log(A|t| ) 2 対数の和 → 真数の積 対数の◯倍 → 真数の◯乗 2 t (u + 2u − 1) = A 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
45. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 微分の関係に なっている 2 ここで u + 2u − 1 の微分が 2(u + 1)になるから， 上の式の両辺を積分すると 1 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C 2 2 −2 log(|u + 2u − 1|) = log(A|t| ) 2 対数の和 → 真数の積 対数の◯倍 → 真数の◯乗 2 t (u + 2u − 1) = A 定数は任意なので，絶対値が外れる 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
46. 例題（続き） t−x x = を解いて，一般解を求めよ。 t+x ′ u+1 1 du = dt − u2 + 2u − 1 t 微分の関係に なっている 2 ここで u + 2u − 1 の微分が 2(u + 1)になるから， 上の式の両辺を積分すると 1 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C 2 2 −2 log(|u + 2u − 1|) = log(A|t| ) 2 対数の和 → 真数の積 対数の◯倍 → 真数の◯乗 2 t (u + 2u − 1) = A 定数は任意なので，絶対値が外れる x 2 2 u = に戻すと x + 2tx − t = A t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 22
48. ２．１階線形🤔🤔
49. １階線形微分方程式 一般には dx + P (t)x = Q(t) の形になっているもの dt 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 22
50. １階線形微分方程式 一般には dx + P (t)x = Q(t) の形になっているもの dt p(t) = exp    P (t)dt とおくと，一般解は 1 x= p(t) p(t)Q(t)dt + C  2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 22
51. １階線形微分方程式 一般には dx + P (t)x = Q(t) の形になっているもの dt p(t) = exp   なぜならば  P (t)dt とおくと，一般解は 1 x= p(t) p(t)Q(t)dt + C  (p(t)x)′ = (p(t))′ x + p(t)x′   ′ = exp P (t)dt x + p(t)x′ = p(t)P (t)x + p(t)x′   ′ = p(t) P (t)x + x = p(t)Q(t) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 22
52. １階線形微分方程式 一般には dx + P (t)x = Q(t) の形になっているもの dt p(t) = exp   なぜならば  P (t)dt とおくと，一般解は 1 x= p(t) p(t)Q(t)dt + C  (p(t)x)′ = (p(t))′ x + p(t)x′ 積の微分   ′ = exp P (t)dt x + p(t)x′ = p(t)P (t)x + p(t)x′   ′ = p(t) P (t)x + x = p(t)Q(t) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 22
53. １階線形微分方程式 一般には dx + P (t)x = Q(t) の形になっているもの dt p(t) = exp   なぜならば  P (t)dt とおくと，一般解は 1 x= p(t) p(t)Q(t)dt + C  (p(t)x)′ = (p(t))′ x + p(t)x′ 積の微分   ′ = exp P (t)dt x + p(t)x′ 指数の合成関数の微分 = p(t)P (t)x + p(t)x′   ′ = p(t) P (t)x + x = p(t)Q(t) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 22
54. １階線形微分方程式 一般には dx + P (t)x = Q(t) の形になっているもの dt p(t) = exp   なぜならば  P (t)dt とおくと，一般解は 1 x= p(t) p(t)Q(t)dt + C  (p(t)x)′ = (p(t))′ x + p(t)x′ 積の微分   ′ = exp P (t)dt x + p(t)x′ 指数の合成関数の微分 = p(t)P (t)x + p(t)x′   ′ = p(t) P (t)x + x = p(t)Q(t) よって，両辺を積分して p(t)x =  p(t)Q(t)dt + C 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 22
55. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
56. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると dt 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
57. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
58. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
59. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると p(t) = exp  1dt  2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
60. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると p(t) = exp  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
61. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると p(t) = exp  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
62. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x =  p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
63. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x =  p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
64. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x =  p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
65. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x =  p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
66. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x =  p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
67. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x =  p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
68. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x = C2 et x =   p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C C2 et tdt + C3  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
69. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x = C2 et x =   p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C C2 et tdt + C3  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
70. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x = C2 et x =   p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C C2 et tdt + C3  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e C3 =C C2 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
71. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x = C2 et x = C3 =C C2 et x =    p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C C2 et tdt + C3  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e et tdt + C  t t = e t − e dt + C = et t − e t + C 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
72. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x = C2 et x = C3 =C C2 et x =    p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C C2 et tdt + C3  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e et tdt + C  t t = e t − e dt + C = et t − e t + C 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
73. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x = C2 et x = C3 =C C2 et x =    p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C C2 et tdt + C3  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e et tdt + C  t t = e t − e dt + C = et t − e t + C 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
74. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x = C2 et x = C3 =C C2 et x =    p(t) = exp p(t)Q(t)dt + C C2 et tdt + C3  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e et tdt + C  部分積分 t t = e t − e dt + C = et t − e t + C 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
75. 例題 ′ x + x = t を解いて，一般解を求めよ。 dx + P (t)x = Q(t) にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t dt よって p(t) = exp   P (t)dt とすると 前ページの式から p(t)x = C2 et x = C3 =C C2 et x =    p(t)Q(t)dt + C C2 et tdt + C3 et tdt + C  部分積分 t t = e t − e dt + C = et t − e t + C p(t) = exp  1dt  t+C C t 1 1 =e =e e t = C2 e よって x = t − 1 + Ce −t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 22
77. ２′．ベルヌーイの微分方程式🤔🤔
78. ベルヌーイの微分方程式 一般には dx n + P (t)x = Q(t)x dt の形 (n ≠ 1) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
79. ベルヌーイの微分方程式 一般には dx n + P (t)x = Q(t)x dt の形 (n ≠ 1) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
80. ベルヌーイの微分方程式 一般には 1−n u=x dx n + P (t)x = Q(t)x dt の形 (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
81. ベルヌーイの微分方程式 dx n + P (t)x = Q(t)x dt 一般には 1−n u=x の形 (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる なぜならば 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
82. ベルヌーイの微分方程式 dx n + P (t)x = Q(t)x dt 一般には 1−n u=x の形 (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる なぜならば 1 ′ x + P (t) = Q(t)xn−1 x 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
83. ベルヌーイの微分方程式 dx n + P (t)x = Q(t)x dt 一般には 1−n u=x の形 (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる なぜならば 1 ′ x + P (t) = Q(t)xn−1 x 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
84. ベルヌーイの微分方程式 dx n + P (t)x = Q(t)x dt 一般には 1−n u=x の形 (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる なぜならば 1 ′ x + P (t) = Q(t)xn−1 x log u = (1 − n) log x 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
85. ベルヌーイの微分方程式 dx n + P (t)x = Q(t)x dt 一般には 1−n u=x の形 (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる なぜならば 1 ′ x + P (t) = Q(t)xn−1 x log u = (1 − n) log x 両辺を微分する 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
86. ベルヌーイの微分方程式 dx n + P (t)x = Q(t)x dt 一般には 1−n u=x の形 (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる なぜならば 1 ′ x + P (t) = Q(t)xn−1 x log u = (1 − n) log x 両辺を微分する x′ u′ = (1 − n) u x 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
87. ベルヌーイの微分方程式 dx n + P (t)x = Q(t)x dt 一般には 1−n u=x の形 (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる なぜならば 1 ′ x + P (t) = Q(t)xn−1 x log u = (1 − n) log x 両辺を微分する 代入 x′ u′ = (1 − n) u x 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
88. ベルヌーイの微分方程式 dx n + P (t)x = Q(t)x dt 一般には 1−n u=x の形 (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる なぜならば 1 ′ x + P (t) = Q(t)xn−1 x log u = (1 − n) log x 両辺を微分する 代入 x′ u′ = (1 − n) u x 1 u′ 1 + P (t) = Q(t) 1−n u u ′ u + (1 − n)P (t)u = (1 − n)Q(t) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
89. ベルヌーイの微分方程式 dx n + P (t)x = Q(t)x dt 一般には 1−n u=x の形 (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる なぜならば 1 ′ x + P (t) = Q(t)xn−1 x log u = (1 − n) log x 両辺を微分する 代入 x′ u′ = (1 − n) u x 1 u′ 1 + P (t) = Q(t) 1−n u u ′ u + (1 − n)P (t)u = (1 − n)Q(t) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
90. ベルヌーイの微分方程式 dx n + P (t)x = Q(t)x dt 一般には 1−n u=x の形 (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる なぜならば 1 ′ x + P (t) = Q(t)xn−1 x log u = (1 − n) log x 両辺を微分する 代入 x′ u′ = (1 − n) u x 1 u′ 1 + P (t) = Q(t) 1−n u u ′ u + (1 − n)P (t)u = (1 − n)Q(t) １階線形 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 22
91. 例題 ′ 2 x + tx = tx が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 22
92. 例題 ′ 2 x + tx = tx が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 u = x−1 とおく 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 22
93. 例題 ′ 2 x + tx = tx が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 u = x−1 とおく 両辺の対数をとると log u = − log x 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 22
94. 例題 ′ 2 x + tx = tx が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 u = x−1 とおく 両辺の対数をとると 両辺を t で微分すると log u = − log x ′ u u =− ′ x x 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 22
95. 例題 ′ 2 x + tx = tx が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 u = x−1 とおく 両辺の対数をとると 両辺を t で微分すると log u = − log x ′ u u =− ′ x x x′ 両辺を x で割ると x + t = tx 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 22
96. 例題 ′ 2 x + tx = tx が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 u = x−1 とおく 両辺の対数をとると 両辺を t で微分すると log u = − log x ′ u u =− ′ x x x′ 両辺を x で割ると x + t = tx 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 22
97. 例題 ′ 2 x + tx = tx が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 u = x−1 とおく 両辺の対数をとると 両辺を t で微分すると log u = − log x ′ u u =− ′ x x x′ 両辺を x で割ると x + t = tx t u′ − +t= u u 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 22
98. 例題 ′ 2 x + tx = tx が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 u = x−1 とおく 両辺の対数をとると 両辺を t で微分すると log u = − log x ′ u u =− ′ x x x′ 両辺を x で割ると x + t = tx t u′ − +t= u u −u 倍 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 22
99. 例題 ′ 2 x + tx = tx が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 u = x−1 とおく 両辺の対数をとると 両辺を t で微分すると log u = − log x ′ u u =− ′ x x x′ 両辺を x で割ると x + t = tx t u′ − +t= u u −u 倍 ′ u − tu = −t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 22
100. 例題 ′ 2 x + tx = tx が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 u = x−1 とおく 両辺の対数をとると 両辺を t で微分すると log u = − log x ′ u u =− ′ x x x′ 両辺を x で割ると x + t = tx t u′ − +t= u u −u 倍 ′ u − tu = −t 1階線形 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 22
102. 演習問題の解説🤔🤔
103. 演習問題(1) x−t x′ = の一般解を求めよ 2t 与式の右辺の分母分子を t で割ると，x′ = 同次形の微分方程式 x − 1 t 2 となるので， 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 22
104. 演習問題(1) x−t x′ = の一般解を求めよ 2t 与式の右辺の分母分子を t で割ると，x′ = 同次形の微分方程式 x − 1 t 2 となるので， x = u とおくと t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 22
105. 演習問題(1) x−t x′ = の一般解を求めよ 2t 与式の右辺の分母分子を t で割ると，x′ = 同次形の微分方程式 x = u とおくと t x − 1 t 2 となるので， dx u − 1 = dt 2 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 22
106. 演習問題(1) x−t x′ = の一般解を求めよ 2t 与式の右辺の分母分子を t で割ると，x′ = 同次形の微分方程式 x = u とおくと t dx du x = ut なので =t +u dt dt x − 1 t 2 となるので， dx u − 1 = dt 2 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 22
107. 演習問題(1) x−t x′ = の一般解を求めよ 2t 与式の右辺の分母分子を t で割ると，x′ = 同次形の微分方程式 x = u とおくと t dx du x = ut なので =t +u dt dt x − 1 t 2 となるので， dx u − 1 = dt 2 du u−1 t +u= dt 2 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 22
108. 演習問題(1)（続き） x−t x′ = の一般解を求めよ 2t u−1 u+1 du du より t なので t +u= =− dt 2 dt 2 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 22
109. 演習問題(1)（続き） x−t x′ = の一般解を求めよ 2t u−1 u+1 du du より t なので t +u= =− dt 2 dt 2 du dt =− と変数分離できる u+1 2t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 22
110. 演習問題(1)（続き） x−t x′ = の一般解を求めよ 2t u−1 u+1 du du より t なので t +u= =− dt 2 dt 2 du dt =− と変数分離できる u+1 2t 1 dt du 両辺を積分すると =− ∫ u+1 2∫ t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 22
111. 演習問題(1)（続き） x−t x′ = の一般解を求めよ 2t 1 dt du =− より ∫ u+1 2∫ t 1 log | u + 1 | = − log | t | + C （C は定数） 2 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 22
112. 演習問題(1)（続き） x−t x′ = の一般解を求めよ 2t 1 dt du =− より ∫ u+1 2∫ t 1 log | u + 1 | = − log | t | + C （C は定数） 2 log | t | − 12 と表せる 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 22
113. 演習問題(1)（続き） x−t x′ = の一般解を求めよ 2t 1 dt du =− より ∫ u+1 2∫ t 1 log | u + 1 | = − log | t | + C （C は定数） 2 log | t | − 12 と表せる log e C と表せる 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 22
114. 演習問題(1)（続き） x−t x′ = の一般解を求めよ 2t 1 dt du =− より ∫ u+1 2∫ t 1 log | u + 1 | = − log | t | + C （C は定数） 2 u + 1 = ± e |t| C log | t | − 12 と表せる log e C と表せる − 12 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 22
115. 演習問題(1)（続き） x−t x′ = の一般解を求めよ 2t 1 dt du =− より ∫ u+1 2∫ t 1 log | u + 1 | = − log | t | + C （C は定数） 2 u + 1 = ± e |t| C log | t | − 12 と表せる log e C と表せる − 12 ± e C = A とおくと u + 1 = A | t | − 12 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 22
116. 演習問題(1)（続き） x−t x′ = の一般解を求めよ 2t u + 1 = A|t| − 12 より u = − 1 + A 1 |t| 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 22
117. 演習問題(1)（続き） x−t x′ = の一般解を求めよ 2t u + 1 = A|t| − 12 より u = − 1 + A 1 |t| x x u = とおいていたので，これを代入すると = − 1 + A t t 1 |t| 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 22
118. 演習問題(1)（続き） x−t x′ = の一般解を求めよ 2t u + 1 = A|t| − 12 より u = − 1 + A 1 |t| x x u = とおいていたので，これを代入すると = − 1 + A t t 1 |t| すなわち，一般解は x = − t + A | t | 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 22
119. 演習問題(2) tx′ − x = 1 の一般解を求めよ x 1 与式より x′ − = t t 1階線形方程式の一般形 x′ + P(t)x = Q(t) にあてはめると 1 1 P(t) = − , Q(t) = t t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 20 22
120. 演習問題(2) tx′ − x = 1 の一般解を求めよ x 1 与式より x′ − = t t 1階線形方程式の一般形 x′ + P(t)x = Q(t) にあてはめると 1 1 P(t) = − , Q(t) = t t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 20 22
121. 演習問題(2) tx′ − x = 1 の一般解を求めよ x 1 与式より x′ − = t t 1階線形方程式の一般形 x′ + P(t)x = Q(t) にあてはめると p(t) = exp P(t)dt とおくと， ∫ 1 1 P(t) = − , Q(t) = t t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 20 22
122. 演習問題(2) tx′ − x = 1 の一般解を求めよ x 1 与式より x′ − = t t 1階線形方程式の一般形 x′ + P(t)x = Q(t) にあてはめると p(t) = exp P(t)dt とおくと， p(t) = exp(− ∫  1 dt) t 1 1 P(t) = − , Q(t) = t t = exp(− log t + C1 ) −1 ) + C1 ) −1 ) exp(C1 ) = exp(log t = exp(log t 1 = C2 t （C1, C2 は定数） 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 20 22
123. 演習問題(2)（続き） tx′ − x = 1 の一般解を求めよ p(t)x = p(t)Q(t)dt + C となることから （C は定数） ∫ 1 Q(t) = より t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 22
124. 演習問題(2)（続き） tx′ − x = 1 の一般解を求めよ p(t)x = p(t)Q(t)dt + C となることから （C は定数） ∫ 1 Q(t) = より t  1 1 1 C2 x = C2 · dt + C3 t t t  1 1 x= dt + C 4 2 t t 1 1 x=− +C t t x = −1 + Ct （C3, C4, C は定数） 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 22
125. 演習問題(2)（続き） tx′ − x = 1 の一般解を求めよ p(t)x = p(t)Q(t)dt + C となることから （C は定数） ∫ 1 Q(t) = より t  1 1 1 C2 x = C2 · dt + C3 t t t  1 1 x= dt + C 4 2 （C3, C4, C は定数） t t 1 1 x=− +C t t すなわち，一般解は x = − 1 + Ct x = −1 + Ct 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 22
126. 今日のまとめ 同次形 １階線形 ベルヌーイ 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 22