2026年度秋学期　応用数学（解析）　第2部・基本的な微分方程式／第7回　2階線形微分方程式（１） (2026. 10. 30)

2026年度秋学期応用数学（解析）第２部・基本的な微分方程式／第7回 2階線形微分方程式(1) 関西大学総合情報学部浅野晃

２階線形微分方程式とは🤔🤔

２階線形微分方程式一般には x + P (t)x + Q(t)x = R(t)
′′ ′ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 3 29

′′ ′ ここが恒等的に0なのが［斉次］そうではないのが［非斉次］ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 3 29

′′ ′ ここが恒等的に0なのが［斉次］そうではないのが［非斉次］一番簡単なのは ′′ ′ x + ax + bx = 0 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 3 29

′′ ′ ここが恒等的に0なのが［斉次］そうではないのが［非斉次］一番簡単なのは ′′ ′ x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 3 29

′′ ′ ここが恒等的に0なのが［斉次］そうではないのが［非斉次］一番簡単なのは ′′ ′ x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 3 29

′′ ′ ここが恒等的に0なのが［斉次］そうではないのが［非斉次］一番簡単なのは ′′ ′ x + ax + bx = 0 定数係数の斉次方程式とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］それ以外には？ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 3 29

２階線形微分方程式の解とりあえず x ′′ ′ λt に x(t) = e
を代入すると + ax + bx = 0 2 λt λt λt λ e + aλe + be = 0 2 λt λ + aλ + b e = 0 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 4 29

を代入すると + ax + bx = 0 2 λt λt λt λ e + aλe + be = 0 2 λt λ + aλ + b e = 0 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 4 29

を代入すると + ax + bx = 0 2 λt λt λt λ e + aλe + be = 0 2 λt λ + aλ + b e = 0 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ λ1, λ2 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 4 29

を代入すると + ax + bx = 0 2 λt λt λt λ e + aλe + be = 0 2 λt λ + aλ + b e = 0 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ λ1, λ2 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 4 29

を代入すると + ax + bx = 0 2 λt λt λt λ e + aλe + be = 0 2 λt λ + aλ + b e = 0 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ λ1, λ2 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 4 29

おわり😪😪

こんなんでいいのか？🌀🌀

本当に一般解であるためには x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは，以下の２項目が正しいことと同じ 2026年度秋学期応用数学（解析）
／関西大学総合情報学部浅野晃 7 29

本当に一般解であるためには x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは，以下の２項目が正しいことと同じ１．解が一意 2026年度秋学期
応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 29

本当に一般解であるためには x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは，以下の２項目が正しいことと同じ１．解が一意初期値
x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 29

x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる初期値はこの２つ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 29

x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる初期値はこの２つ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 29

x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる初期値はこの２つ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば，一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 7 29

本当に一般解であるためには２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば，一般解は C1x1(t) + C2x2(t)
で表される 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 8 29

で表される２つの関数が1次独立とは 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 8 29

で表される２つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についてもなりたつのは，C1 = C2 = 0 のときだけ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 8 29

で表される２つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についてもなりたつのは，C1 = C2 = 0 のときだけ x2 x2 x1 x1 ◯ × 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 8 29

で表される２つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についてもなりたつのは，C1 = C2 = 0 のときだけ x2 x2 x1 解全体は x1 ２次元ベクトル空間をなす ◯ × 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 8 29

本当に一般解であるためには１．解が一意２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せるさっきの例では eλ1t, eλ2t は λ1 ≠ λ2
なら１次独立一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで，他にはない 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 9 29

なら１次独立一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで，他にはない一般の斉次形 n 階線形微分方程式（定数係数でない場合も含む）についてなりたつ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 9 29

なら１次独立一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで，他にはない一般の斉次形 n 階線形微分方程式（定数係数でない場合も含む）についてなりたつ定数係数の場合に，証明してみる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 9 29

行列で表現する ′′ ′ x + P (t)x + Q(t)x =
R(t) を， x1 = x, x2 = x′ とおいて ′ x1 = x2 ′ x2 = −Q(t)x1 − P (t)x2 + R(t) と表す 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 10 29

R(t) を， x1 = x, x2 = x′ とおいて行列で ′ x1 = x2 ′ x2 = −Q(t)x1 − P (t)x2 + R(t) と表す x′1 x′2 = 0 1 −Q(t) −P (t) x1 x2 + 0 R(t) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 10 29

R(t) を， x1 = x, x2 = x′ とおいて行列で ′ x1 = x2 ′ x2 = −Q(t)x1 − P (t)x2 + R(t) と表す x′1 x′2 = 0 1 −Q(t) −P (t) x1 x2 + 0 R(t) ′ x = A(t)x + b(t) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 10 29

R(t) を， x1 = x, x2 = x′ とおいて行列で ′ x1 = x2 ′ x2 = −Q(t)x1 − P (t)x2 + R(t) と表す x′1 x′2 = 0 1 −Q(t) −P (t) x1 x2 + 0 R(t) ′ x = A(t)x + b(t) １階線形微分方程式の形になる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 10 29

R(t) を， x1 = x, x2 = x′ とおいて行列で ′ x1 = x2 ′ x2 = −Q(t)x1 − P (t)x2 + R(t) と表す x′1 x′2 = 0 1 −Q(t) −P (t) x1 x2 + 0 R(t) ′ x = A(t)x + b(t) １階線形微分方程式の形になる何階線形微分方程式でも，この形にできる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 10 29

条件１の証明の概略 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

条件１の証明の概略１．解が一意 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

条件１の証明の概略１．解が一意初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部
浅野晃 11 29

条件１の証明の概略１．解が一意初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まるリプシッツ条件をつかう 2026年度秋学期応用数学（解析）／
関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

特異解と解の一意性初期値がひとつ定まったときに，解がひとつだけに決まることを，解が一意(unique)であるという一意性の十分条件のひとつ「リプシッツ条件」微分方程式が x′(t) = f(t, x) のとき，初期値のまわりでどんな
x1, x2 についても |f (t, x1 ) − f (t, x2 )| L|x1 − x2 | となる定数 L があるなら，その初期値について一意 x のわずかな変化について， f がいくらでも大きく変化する，ということはない 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 12 29

条件１の証明の概略１．解が一意初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まるリプシッツ条件をつかう 2026年度秋学期応用数学（解析）／
関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

条件１の証明の概略１．解が一意初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まるリプシッツ条件をつかう ′ x =
A(t)x + b(t) の右辺について，関数 x, y を考えると 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

A(t)x + b(t) の右辺について，関数 x, y を考えると ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり， 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

A(t)x + b(t) の右辺について，関数 x, y を考えると ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり， ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

A(t)x + b(t) の右辺について，関数 x, y を考えると ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり， ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在するユークリッドノルムならそうなる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

A(t)x + b(t) の右辺について，関数 x, y を考えると ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり， ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在するユークリッドノルムならそうなるノルムが連続なら，任意の有界閉区間で上限が存在する 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

A(t)x + b(t) の右辺について，関数 x, y を考えると ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり， ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在するユークリッドノルムならそうなるノルムが連続なら，任意の有界閉区間で上限が存在するリプシッツ条件が成り立ち，一意 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

ところで，「距離」について「ノルム」は，「距離」を一般的にしたもの 2点 x, y の間の「距離」 d(x, y) とは？任意の
x, y について，以下の性質（距離の公理）をもつものをいう 1. d(x, y) ≧ 0 2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y 3. d(x, y) = d(y, x) 4. d(x, z) ≦ d(x, y) + d(y, z) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

x, y について，以下の性質（距離の公理）をもつものをいう 1. d(x, y) ≧ 0 距離は正またはゼロ 2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y 3. d(x, y) = d(y, x) 4. d(x, z) ≦ d(x, y) + d(y, z) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

x, y について，以下の性質（距離の公理）をもつものをいう 1. d(x, y) ≧ 0 距離は正またはゼロ 2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y 「距離ゼロ」と「同一点」は同じ意味 3. d(x, y) = d(y, x) 4. d(x, z) ≦ d(x, y) + d(y, z) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

x, y について，以下の性質（距離の公理）をもつものをいう 1. d(x, y) ≧ 0 距離は正またはゼロ 2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y 「距離ゼロ」と「同一点」は同じ意味 3. d(x, y) = d(y, x) 距離はどちらから測っても同じ 4. d(x, z) ≦ d(x, y) + d(y, z) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

x, y について，以下の性質（距離の公理）をもつものをいう 1. d(x, y) ≧ 0 距離は正またはゼロ 2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y 「距離ゼロ」と「同一点」は同じ意味 3. d(x, y) = d(y, x) 距離はどちらから測っても同じ 4. d(x, z) ≦ d(x, y) + d(y, z) 回り道をすると距離は同じか長い（三角不等式） 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

ところで，「距離」について「ノルム」は，「距離」を一般的にしたもの (x, y) 2点 x, y の間の「距離」 d(x, y)
とは？任意の x, y について，以下の性質（距離の公理）をもつものをいう O 1. d(x, y) ≧ 0 距離は正またはゼロ 2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y 「距離ゼロ」と「同一点」は同じ意味 3. d(x, y) = d(y, x) 距離はどちらから測っても同じ 4. d(x, z) ≦ d(x, y) + d(y, z) 回り道をすると距離は同じか長い（三角不等式） 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

ところで，「距離」について「ノルム」は，「距離」を一般的にしたもの (x, y) 2点 x, y の間の「距離」 d(x, y)
とは？任意の x, y について，以下の性質（距離の公理）をもつものをいう O x2 + y2 ユークリッド距離（L 2 ノルム） 1. d(x, y) ≧ 0 距離は正またはゼロ 2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y 「距離ゼロ」と「同一点」は同じ意味 3. d(x, y) = d(y, x) 距離はどちらから測っても同じ 4. d(x, z) ≦ d(x, y) + d(y, z) 回り道をすると距離は同じか長い（三角不等式） 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

ところで，「距離」について「ノルム」は，「距離」を一般的にしたもの (x, y) (x, y) 2点 x, y の間の「距離」
d(x, y) とは？任意の x, y について，以下の性質（距離の公理）をもつものをいう O x2 + y2 ユークリッド距離（L 2 ノルム） 1. d(x, y) ≧ 0 距離は正またはゼロ 2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y 「距離ゼロ」と「同一点」は同じ意味 3. d(x, y) = d(y, x) 距離はどちらから測っても同じ 4. d(x, z) ≦ d(x, y) + d(y, z) O 回り道をすると距離は同じか長い（三角不等式） 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

ところで，「距離」について「ノルム」は，「距離」を一般的にしたもの (x, y) (x, y) 2点 x, y の間の「距離」
d(x, y) とは？任意の x, y について，以下の性質（距離の公理）をもつものをいう O x2 + y2 ユークリッド距離（L 2 ノルム） 1. d(x, y) ≧ 0 距離は正またはゼロ 2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y 「距離ゼロ」と「同一点」は同じ意味 3. d(x, y) = d(y, x) 距離はどちらから測っても同じ 4. d(x, z) ≦ d(x, y) + d(y, z) O |x| + |y| 市街区距離（L 1 ノルム）回り道をすると距離は同じか長い（三角不等式） 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

条件２の証明の概略２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば，一般解は C1x1(t) + C2x2(t)
で表される 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 15 29

で表される斉次形の場合を考える x′ = A(t)x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 15 29

で表される斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストでは n 階の場合を示しているが，ここでは２階の場合を示す 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 15 29

で表される斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストでは n 階の場合を示しているが，ここでは２階の場合を示すまず， 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 15 29

で表される斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストでは n 階の場合を示しているが，ここでは２階の場合を示すまず，一般解をを x(t) とするとき 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 15 29

で表される斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストでは n 階の場合を示しているが，ここでは２階の場合を示すまず，一般解をを x(t) とするとき t = t0 ののときの初期値は x(t0 ) = x1 e1 +x2 e2 +の形で表せる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 15 29

で表される斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストでは n 階の場合を示しているが，ここでは２階の場合を示すまず，一般解をを x(t) とするとき t = t0 ののときの初期値は x(t0 ) = x1 e1 +x2 e2 +の形で表せる e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) は，2次元の基本ベクトル 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 15 29

条件２の証明の概略２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 16 29

条件２の証明の概略２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる ′ x = A(t)x の特殊解を，２つ考える，初期値 x(t0
) = e1 をみたすもの ξ1 (t) e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 初期値 x(t0 ) = e2 をみたすもの ξ2 (t) は，2次元の基本ベクトル 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 16 29

条件２の証明の概略２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる ′ x = A(t)x の特殊解を，２つ考える，初期値 x(t0
) = e1 をみたすもの ξ1 (t) e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 初期値 x(t0 ) = e2 をみたすもの ξ2 (t) は，2次元の基本ベクトルこの特殊解 ξ1 (t), ξ2 (t), は，１次独立。本当？ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 16 29

2つの関数が1次独立とは（再掲）２つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても
なりたつのは，C1 = C2 = 0 のときだけ x2 x1 ◯ x2 x1 × 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 17 29

条件２の証明の概略２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる ′ x = A(t)x ，の特殊解を，２つ考える初期値 x(t0
) = e1 をみたすもの ξ1 (t) e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) は，2次元の基本ベクトル初期値 x(t0 ) = e2 をみたすもの ξ2 (t) この特殊解 ξ1 (t), ξ2 (t), は，１次独立である 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 18 29

) = e1 をみたすもの ξ1 (t) e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) は，2次元の基本ベクトル初期値 x(t0 ) = e2 をみたすもの ξ2 (t) この特殊解 ξ1 (t), ξ2 (t), は，１次独立である ∵ c1 ξ1 (t) + c2 ξ2 (t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 18 29

) = e1 をみたすもの ξ1 (t) e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) は，2次元の基本ベクトル初期値 x(t0 ) = e2 をみたすもの ξ2 (t) この特殊解 ξ1 (t), ξ2 (t), は，１次独立である ∵ c1 ξ1 (t) + c2 ξ2 (t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ c1 ξ1 (t0 ) + c2 ξ2 (t0 ) = 0 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 18 29

) = e1 をみたすもの ξ1 (t) e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) は，2次元の基本ベクトル初期値 x(t0 ) = e2 をみたすもの ξ2 (t) この特殊解 ξ1 (t), ξ2 (t), は，１次独立である ∵ c1 ξ1 (t) + c2 ξ2 (t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ c1 ξ1 (t0 ) + c2 ξ2 (t0 ) = 0 c1 e1 + c2 e2 = 0 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 18 29

) = e1 をみたすもの ξ1 (t) e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) は，2次元の基本ベクトル初期値 x(t0 ) = e2 をみたすもの ξ2 (t) この特殊解 ξ1 (t), ξ2 (t), は，１次独立である ∵ c1 ξ1 (t) + c2 ξ2 (t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ c1 ξ1 (t0 ) + c2 ξ2 (t0 ) = 0 e1 , e2 ,は１次独立だから c1 e1 + c2 e2 = 0 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 18 29

) = e1 をみたすもの ξ1 (t) e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) は，2次元の基本ベクトル初期値 x(t0 ) = e2 をみたすもの ξ2 (t) この特殊解 ξ1 (t), ξ2 (t), は，１次独立である ∵ c1 ξ1 (t) + c2 ξ2 (t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ c1 ξ1 (t0 ) + c2 ξ2 (t0 ) = 0 e1 , e2 ,は１次独立だから c1 e1 + c2 e2 = 0 これがなりたつのは c1 = c2 = 0 に限る 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 18 29

) = e1 をみたすもの ξ1 (t) e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) は，2次元の基本ベクトル初期値 x(t0 ) = e2 をみたすもの ξ2 (t) 👌👌 この特殊解 ξ1 (t), ξ2 (t), は，１次独立である ∵ c1 ξ1 (t) + c2 ξ2 (t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ c1 ξ1 (t0 ) + c2 ξ2 (t0 ) = 0 e1 , e2 ,は１次独立だから c1 e1 + c2 e2 = 0 これがなりたつのは c1 = c2 = 0 に限る 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 18 29

条件２の証明の概略２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

条件２の証明の概略２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる，初期値 x(t0 ) = e1 をみたす ξ1
(t) 初期値 x(t0 ) = e2 をみたす ξ2 (t) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

(t) 初期値 x(t0 ) = e2 をみたす ξ2 (t) 一般解をを x(t) とするとき 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

(t) 初期値 x(t0 ) = e2 をみたす ξ2 (t) 一般解をを x(t) とするとき t = t0 ののときの初期値は x(t0 ) = x1 e1 +x2 e2 +の形で表せる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

(t) 初期値 x(t0 ) = e2 をみたす ξ2 (t) 一般解をを x(t) とするとき t = t0 ののときの初期値は x(t0 ) = x1 e1 +x2 e2 +の形で表せる特殊解の１次結合合 x1 ξ1 (t) + x2 ξ2 (t) を考えると 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

(t) 初期値 x(t0 ) = e2 をみたす ξ2 (t) 一般解をを x(t) とするとき t = t0 ののときの初期値は x(t0 ) = x1 e1 +x2 e2 +の形で表せる特殊解の１次結合合 x1 ξ1 (t) + x2 ξ2 (t) を考えると t = t0 ののとき x1 e1 + x2 e2 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

(t) 初期値 x(t0 ) = e2 をみたす ξ2 (t) 一般解をを x(t) とするとき t = t0 ののときの初期値は x(t0 ) = x1 e1 +x2 e2 +の形で表せる特殊解の１次結合合 x1 ξ1 (t) + x2 ξ2 (t) を考えると t = t0 ののとき x1 e1 + x2 e2 ・一般解で表されたを x(t) ・特殊解の１次結合合 x1 ξ1 (t) + x2 ξ2 (t) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

(t) 初期値 x(t0 ) = e2 をみたす ξ2 (t) 一般解をを x(t) とするとき t = t0 ののときの初期値は x(t0 ) = x1 e1 +x2 e2 +の形で表せる特殊解の１次結合合 x1 ξ1 (t) + x2 ξ2 (t) を考えると t = t0 ののとき x1 e1 + x2 e2 ・一般解で表されたを x(t) どちらも同じ初期値をもつ・特殊解の１次結合合 x1 ξ1 (t) + x2 ξ2 (t) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

(t) 初期値 x(t0 ) = e2 をみたす ξ2 (t) 一般解をを x(t) とするとき t = t0 ののときの初期値は x(t0 ) = x1 e1 +x2 e2 +の形で表せる特殊解の１次結合合 x1 ξ1 (t) + x2 ξ2 (t) を考えると t = t0 ののとき x1 e1 + x2 e2 ・一般解で表されたを x(t) ・特殊解の１次結合合 x1 ξ1 (t) + x2 ξ2 (t) どちらも同じ初期値をもつ一意だから，それらは同じ解である 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

(t) 初期値 x(t0 ) = e2 をみたす ξ2 (t) 一般解をを x(t) とするとき t = t0 ののときの初期値は x(t0 ) = x1 e1 +x2 e2 +の形で表せる特殊解の１次結合合 x1 ξ1 (t) + x2 ξ2 (t) を考えると t = t0 ののとき x1 e1 + x2 e2 ・一般解で表されたを x(t) ・特殊解の１次結合合 x1 ξ1 (t) + x2 ξ2 (t) どちらも同じ初期値をもつ一意だから，それらは同じ解である x(t) = x1 ξ1 (t) + x2 ξ2 (t) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

定数係数の斉次形２階線形微分方程式を解く💡💡

２階線形微分方程式を解く ′′ ′ x + ax + bx = 0
定数係数の斉次形２階線形微分方程式 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 21 29

定数係数の斉次形２階線形微分方程式 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解特性方程式という 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 21 29

定数係数の斉次形２階線形微分方程式 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解特性方程式という特性方程式の解の形によって，３パターン 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 21 29

定数係数の斉次形２階線形微分方程式 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解特性方程式という特性方程式の解の形によって，３パターン異なる２つの実数解の場合異なる２つの虚数解の場合重解の場合 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 21 29

実数解が２つの場合特性方程式の異なる２つの実数解 λ 1 , λ2 微分方程式の１次独立な解 λ
t λ t 1 2 e ,e λ1 t + C eλ2 t x(t) = C e 一般解は 1 2 解表 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 22 29

実数解が２つの場合特性方程式の異なる２つの実数解 λ 1 , λ2 微分方程式の１次独立な解 λ
t λ t 1 2 e ,e λ1 t + C eλ2 t x(t) = C e 一般解は 1 2 解表（つまり，最初のとおり） 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 22 29

虚数解が２つの場合 (α+iβ)t + C e(α−iβ)t x(t) = C e 一般解は
1 2 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

1 2 さらに計算すると x(t) = C1 e(α+iβ)t + C2 e(α−iβ)t αt iβt −iβt C1 e + C 2 e =e = eαt (C1 (cos(βt) + i sin(βt)) + C2 (cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2 ) cos(βt) + i(C1 − C2 ) sin(βt)) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

1 2 さらに計算すると x(t) = C1 e(α+iβ)t + C2 e(α−iβ)t αt iβt −iβt C1 e + C 2 e =e αt = e (C1 (cos(βt) + i sin(βt)) + C2 (cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2 ) cos(βt) + i(C1 − C2 ) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは，次のスライドで 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

1 2 さらに計算すると x(t) = C1 e(α+iβ)t + C2 e(α−iβ)t αt iβt −iβt C1 e + C 2 e =e αt = e (C1 (cos(βt) + i sin(βt)) + C2 (cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2 ) cos(βt) + i(C1 − C2 ) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは，次のスライドで定数を置き直して，一般解は x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

1 2 さらに計算すると x(t) = C1 e(α+iβ)t + C2 e(α−iβ)t αt iβt −iβt C1 e + C 2 e =e αt = e (C1 (cos(βt) + i sin(βt)) + C2 (cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2 ) cos(βt) + i(C1 − C2 ) sin(βt)) 定数を置き直して，一般解は x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは，次のスライドで振動を表している 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

1 2 さらに計算すると x(t) = C1 e(α+iβ)t + C2 e(α−iβ)t αt iβt −iβt C1 e + C 2 e =e αt = e (C1 (cos(βt) + i sin(βt)) + C2 (cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2 ) cos(βt) + i(C1 − C2 ) sin(βt)) 定数を置き直して，一般解は x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは，次のスライドで振動を表しているこれは先で 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

（ところで）複素数の指数関数実数の指数関数のテイラー展開 2 n x x x x + ···
+ + ··· e =1+ + 1! 2! n! 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

（ところで）複素数の指数関数実数の指数関数のテイラー展開 2 n x x x x + ···
+ + ··· e =1+ + 1! 2! n! 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する 2 n z z z + ··· + + ··· ez = 1 + + 1! 2! n! 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

（ところで）複素数の指数関数 2 n x x x x + ··· +
+ ··· e =1+ + 1! 2! n! 実数の指数関数のテイラー展開複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する 2 n z z z + ··· + + ··· ez = 1 + + 1! 2! n! すると 2 n (iθ) (iθ) (iθ) + + ··· + + ··· e =1+ 1! 2! n! θ θ3 θ2 θ4 = (1 − + − · · · ) + i( − + ···) 2! 4! 1! 3! iθ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

+ ··· e =1+ + 1! 2! n! 実数の指数関数のテイラー展開複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する 2 n z z z + ··· + + ··· ez = 1 + + 1! 2! n! すると 2 n (iθ) (iθ) (iθ) + + ··· + + · · · ※本当は，級数をこんなふうに分けるのは e =1+ 1! 2! n! いつでもできるわけではありません💦💦 2 4 3 θ θ θ θ = (1 − + − · · · ) + i( − + ···) 2! 4! 1! 3! iθ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

+ ··· e =1+ + 1! 2! n! 実数の指数関数のテイラー展開複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する 2 n z z z + ··· + + ··· ez = 1 + + 1! 2! n! すると 2 n (iθ) (iθ) (iθ) + + ··· + + · · · ※本当は，級数をこんなふうに分けるのは e =1+ 1! 2! n! いつでもできるわけではありません💦💦 2 4 3 θ θ θ θ = (1 − + − · · · ) + i( − + ···) 2! 4! 1! 3! iθ cosθ のテイラー展開 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

+ ··· e =1+ + 1! 2! n! 実数の指数関数のテイラー展開複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する 2 n z z z + ··· + + ··· ez = 1 + + 1! 2! n! すると 2 n (iθ) (iθ) (iθ) + + ··· + + · · · ※本当は，級数をこんなふうに分けるのは e =1+ 1! 2! n! いつでもできるわけではありません💦💦 2 4 3 θ θ θ θ = (1 − + − · · · ) + i( − + ···) 2! 4! 1! 3! iθ cosθ のテイラー展開 sinθ のテイラー展開 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

+ ··· e =1+ + 1! 2! n! 実数の指数関数のテイラー展開複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する 2 n z z z + ··· + + ··· ez = 1 + + 1! 2! n! すると 2 n (iθ) (iθ) (iθ) + + ··· + + · · · ※本当は，級数をこんなふうに分けるのは e =1+ 1! 2! n! いつでもできるわけではありません💦💦 2 4 3 θ θ θ θ = (1 − + − · · · ) + i( − + ···) 2! 4! 1! 3! iθ cosθ のテイラー展開 sinθ のテイラー展開 iθ よって e = cos θ + i sin θ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

+ ··· e =1+ + 1! 2! n! 実数の指数関数のテイラー展開複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する 2 n z z z + ··· + + ··· ez = 1 + + 1! 2! n! すると 2 n (iθ) (iθ) (iθ) + + ··· + + · · · ※本当は，級数をこんなふうに分けるのは e =1+ 1! 2! n! いつでもできるわけではありません💦💦 2 4 3 θ θ θ θ = (1 − + − · · · ) + i( − + ···) 2! 4! 1! 3! iθ cosθ のテイラー展開 iθ よって e = cos θ + i sin θ sinθ のテイラー展開 θ = π のとき eiπ + 1 = 0 ［オイラーの等式］ 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

（ところで）テイラー展開について (n) f′(a) f′′(a) f (a) 2 n f(x) =
f(a) + (x − a) + (x − a) + ⋯ + (x − a) + ⋯ 1! 2! n! テイラー展開 f(a) a 関数 f(x) x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

f(a) + (x − a) + (x − a) + ⋯ + (x − a) + ⋯ 1! 2! n! テイラー展開微分が1つもわからないと，最初の位置 f(a) しかわからない f(a) a 関数 f(x) x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

f(a) + (x − a) + (x − a) + ⋯ + (x − a) + ⋯ 1! 2! n! テイラー展開微分が1つもわからないと，最初の位置 f(a) しかわからない f(a) a 定数関数関数 f(x) x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

f(a) + (x − a) + (x − a) + ⋯ + (x − a) + ⋯ 1! 2! n! テイラー展開 1階微分 f′(a)がわかると，進む方向がわかる微分が1つもわからないと，最初の位置 f(a) しかわからない f(a) a 定数関数関数 f(x) x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

f(a) + (x − a) + (x − a) + ⋯ + (x − a) + ⋯ 1! 2! n! テイラー展開 1次関数 1階微分 f′(a)がわかると，進む方向がわかる微分が1つもわからないと，最初の位置 f(a) しかわからない f(a) a 定数関数関数 f(x) x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

f(a) + (x − a) + (x − a) + ⋯ + (x − a) + ⋯ 1! 2! n! テイラー展開 1次関数 1階微分 f′(a)がわかると，進む方向がわかる微分が1つもわからないと，最初の位置 f(a) しかわからない f(a) 定数関数関数 f(x) 2階微分 f′′(a) がわかると，「進む方向の変化」がわかる a x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

f(a) + (x − a) + (x − a) + ⋯ + (x − a) + ⋯ 1! 2! n! テイラー展開 2次関数 1次関数 1階微分 f′(a)がわかると，進む方向がわかる微分が1つもわからないと，最初の位置 f(a) しかわからない f(a) 定数関数関数 f(x) 2階微分 f′′(a) がわかると，「進む方向の変化」がわかる a x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

f(a) + (x − a) + (x − a) + ⋯ + (x − a) + ⋯ 1! 2! n! テイラー展開 1次関数 1階微分 f′(a)がわかると，進む方向がわかる微分が1つもわからないと，最初の位置 f(a) しかわからない f(a) 定数関数 2次関数 3階微分 f′′′(a) がわかると，「『進む方向の変化』の変化」がわかる関数 f(x) 2階微分 f′′(a) がわかると，「進む方向の変化」がわかる a x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

f(a) + (x − a) + (x − a) + ⋯ + (x − a) + ⋯ 1! 2! n! テイラー展開 1次関数 1階微分 f′(a)がわかると，進む方向がわかる微分が1つもわからないと，最初の位置 f(a) しかわからない f(a) 定数関数 2次関数 3階微分 f′′′(a) がわかると，「『進む方向の変化』の変化」がわかる関数 f(x) 2階微分 f′′(a) がわかると，「進む方向の変化」がわかる a 3次関数 x 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

f(a) + (x − a) + (x − a) + ⋯ + (x − a) + ⋯ 1! 2! n! テイラー展開 1次関数 1階微分 f′(a)がわかると，進む方向がわかる微分が1つもわからないと，最初の位置 f(a) しかわからない f(a) 定数関数 2次関数 3階微分 f′′′(a) がわかると，「『進む方向の変化』の変化」がわかる関数 f(x) 2階微分 f′′(a) がわかると， 3次関数「進む方向の変化」がわかる a x f(a), f′(a), f′′(a), …, f (n)(a), … がすべてわかるなら，関数 f(x) の「行く末」はすべてわかる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

重解の場合ふつうにやると，微分方程式の解は C1e λ1t しか出て来ない 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野
晃 26 29

重解の場合ふつうにやると，微分方程式の解は C1e λ1t しか出て来ないこれと１次独立なもうひとつの解は 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部
浅野晃 26 29

重解の場合ふつうにやると，微分方程式の解は C1e これと１次独立なもうひとつの解は λ1t しか出て来ない λ t 1 te
2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t λ1は特性方程式の解だから0 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t λ1は特性方程式の解だから0 特性方程式の解と係数の関係により0 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t λ1は特性方程式の解だから0 特性方程式の解と係数の関係により0 λ t 1 も解つまり， te 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t λ1は特性方程式の解だから0 特性方程式の解と係数の関係により0 λ t 1 つまり， te も解一般解は C1 eλ1 t + C2 teλ1 t 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (teλ1 t )′ = λ1 teλ1 t + eλ1 t = (λ1 t + 1)eλ1 t (teλ1 t )′′ = λ1 (λ1 t + 1)eλ1 t + λ1 eλ1 t = (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t 微分方程式の左辺に代入すると (λ21 t + 2λ1 )eλ1 t + aλ1 teλ1 t + bteλ1 t = {λ21 + aλ1 + b}teλ1 t + (2λ1 + a)eλ1 t λ1は特性方程式の解だから0 特性方程式の解と係数の関係により0 λ t 1 つまり， te も解一般解は C1 eλ1 t + C2 teλ1 t 見つけ方はテキストで（定数変化法） 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

例題🤔🤔

例題 ′′ ′ x − 5x + 6x = 0
を解いて，初期値値 x(0) = 1, x′ (0) = 0 での特殊解を求めよ。 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

例題 ′′ ′ x − 5x + 6x = 0
を解いて，初期値値 x(0) = 1, x′ (0) = 0 での特殊解を求めよ。 2 − 5λ + 6 = 0 は λ 特性方程式は 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

例題 ′′ ′ x − 5x + 6x = 0
を解いて，初期値値 x(0) = 1, x′ (0) = 0 での特殊解を求めよ。 2 − 5λ + 6 = 0 は λ 特性方程式はその解は λ = 2, 3 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

例題 ′′ ′ x − 5x + 6x = 0
を解いて，初期値値 x(0) = 1, x′ (0) = 0 での特殊解を求めよ。 2 − 5λ + 6 = 0 は λ 特性方程式はその解は λ = 2, 3 異なる２つの実数解なので，微分方程式の一般解は x(t) = C1 e2t + C2 e3t 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

例題 ′′ ′ x − 5x + 6x = 0
を解いて，初期値値 x(0) = 1, x′ (0) = 0 での特殊解を求めよ。 2 − 5λ + 6 = 0 は λ 特性方程式はその解は λ = 2, 3 異なる２つの実数解なので，微分方程式の一般解は x(t) = C1 e2t + C2 e3t 初期条件から x(0) = C1 + C2 = 1 x′ (0) = 2C1 + 3C2 = 0 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

例題 ′′ ′ x − 5x + 6x = 0
を解いて，初期値値 x(0) = 1, x′ (0) = 0 での特殊解を求めよ。 2 − 5λ + 6 = 0 は λ 特性方程式はその解は λ = 2, 3 異なる２つの実数解なので，微分方程式の一般解は x(t) = C1 e2t + C2 e3t 初期条件から x(0) = C1 + C2 = 1 x′ (0) = 2C1 + 3C2 = 0 C1 = 3, C2 = −2 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

例題 ′′ ′ x − 5x + 6x = 0
を解いて，初期値値 x(0) = 1, x′ (0) = 0 での特殊解を求めよ。 2 − 5λ + 6 = 0 は λ 特性方程式はその解は λ = 2, 3 異なる２つの実数解なので，微分方程式の一般解は x(t) = C1 e2t + C2 e3t 初期条件から x(0) = C1 + C2 = 1 x′ (0) = 2C 1 + 3C2 = 0 C1 = 3, C2 = −2 よって，求める特殊解は , x(t) = 3e2t − 2e3t 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

今日のまとめ定数係数・斉次形の２階線形微分方程式 ′′ ′ x + ax + bx
= 0 次回は非斉次形（右辺が０でない）をやります 2026年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃 29 29

2026年度秋学期 応用数学（解析） 第2部・基本的な微分方程式 ／ 第7回 2階線形微分方程...

2026年度秋学期 応用数学（解析） 第2部・基本的な微分方程式 ／ 第7回 2階線形微分方程式（１） (2026. 10. 30)

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2026年度秋学期　応用数学（解析）　第2部・基本的な微分方程式／第7回　2階線形微分方程...

2026年度秋学期　応用数学（解析）　第2部・基本的な微分方程式／第7回　2階線形微分方程式（１） (2026. 10. 30)