On Space Filling Curves: Its Beauty and Applications

1. VRCLT #3 空間充填曲線，その魅力と意義 cannorin
2. だれ • Twitter: @cannorin_vrc • Study: 数理論理学 プログラム言語の理論 • Job: F# プログラマ • in VRC: VOLT Enthusiast VRCLT Speaker (#2~)
3. 空間充填曲線とは ペアノ曲線 (0) ヒルベルト曲線 (1)
4. 空間充填曲線とは（再帰的に細かくしていく） ペアノ曲線 (1) ヒルベルト曲線 (2)
5. 空間充填曲線とは（再帰的に細かくしていく） ペアノ曲線 (2) ヒルベルト曲線 (3)
6. 空間充填曲線とは（再帰的に細かくしていく） ペアノ曲線 (3) ヒルベルト曲線 (4)
7. 空間充填曲線とは → 空間を充填する曲線（それはそう） ペアノ曲線 (∞) ヒルベルト曲線 (∞)
8. 空間充填曲線とは / 一般化 n 次元への一般化もできる（これは 3D ヒルベルト曲線）
9. 空間充填曲線とは / 定義 n 次元の単位（超）立方体を “埋め尽くす”（一次元の）曲線 ↓ 形式的には （一次元の）単位区間 [0, 1] から n 次元の単位（超）立方体 [0, 1]ⁿ への連続写像
10. なぜ埋め尽くせるのか？ ゲオルク・カントール (1845 - 1918) 実数 ℝ の濃度と n- 次元ユークリッド空間 ℝ ⁿ の 濃度は等しい ＋ （ non-degenerate な）区間 （単位区間 [0, 1] など）も等しい
11. なぜ埋め尽くせるのか？ / 濃度とは？ 全単射が存在（＝１対１対応を作れる）⇔ 濃度が等しい 「濃度」＝「要素の個数」概念の一般化（無限もＯＫ） |X| = |Y| ( ちなみに |ℝ| > |ℕ| )
12. なぜ埋め尽くせるのか？ ゲオルク・カントール (1845 - 1918) | [0, 1] | = |ℝ| = |ℝⁿ| [0, 1] ℝ と と ℝ ⁿ の間の全単射の存在を証明
13. なぜ埋め尽くせるのか？ ジュゼッペ・ペアノ (1858 - 1932) 全単射が存在するなら， 連続にできるのだろうか？ || 空間を一本の曲線で 埋め尽くせるのだろうか？
14. なぜ埋め尽くせるのか？ ジュゼッペ・ペアノ (1858 - 1932) → 全単射にはならなかったが，埋め尽くせた！ （ペアノ曲線）
15. なぜ全単射にならない？ ℝ と ℝ ² は同相ではない ↓ 一点を取り除く 分離する→ ← 分離しない
16. なぜ全単射にならない？ 一点を取り除いても分離しない ⇔ 自己交叉がある ⇔ 同じ点を何度も通る場所がある ⇔ 単射ではない！ ※ 詳しくは解析学や位相空間論の知識が必要． A.P.M Kupers, On Space-Filling Curves and the Hahn-Mazurkiewicz Theorem とか参照 ↑ 実は自己交叉してる
17. おもしろい応用例が色々ある • Google Maps のキャッシュの最適化 • 巡回セールスマン問題の高速なヒューリスティック手法 • 小型で高性能なアンテナの設計 • 大規模並列計算のロードバランシング • 衝突判定やレイトレーシングの高速化 • etc...
18. 応用 / Bounding Volume Hierarchy 物体同士の衝突判定や，物体とレイの交差判定を効率化する ために，近くにある物体同士をグループ化して扱いたい 二分木にする → 判定回数を減らせる： O(n) → O(log n)
19. 応用 / Bounding Volume Hierarchy / 二分木構築の高速化 近くにある物体同士を検出して二分木を作るのが大変 → 空間充填曲線を使って走査する 空間充填曲線は右から左へと 走査するのに比べて， 平面上で近くにあるものが 直線上でも近くになりやすい → 順番に辿ればＯＫ！
20. 応用 / 空間充填曲線の locality 「平面上で近くにあるものが直線上でも近くになりやすい」 性質 (locality) が様々な分野に応用しやすい 実装が楽なのでヒルベルト曲線がよく使われるが， 使う曲線によって効率化の度合いが変わることもある
21. ところで・・・ 今回のスライドで使われている空間充填曲線の画像は， 私が所属している「株式会社ぺあのしすてむ」で 業務の一環として開発しているスマホアプリ 「 Peano Curves 」で作成されています ・現在オープンベータテスト中 ・アプリ名 : Peano Curves ・対応 OS: iOS/Android ・公式 Twitter: @PeanoCurves
22. Thank you for listening!