Exposé fil noir au 35e Festival d'Astronomie de Fleurance 2025. Présentation de la constructibilité avec le théorème de Wantzel et son analogue pour l'origami (2-3-constructibilité), des constructions par origami (Justin, Abe, Beloch)
sont les outils autorisés? • Quelles méthodes de construction? En revanche, il est clair qu’il s’agit d’obtenir une construction exacte, pas une construction approchée!
sont les outils autorisés? • Quelles méthodes de construction? En revanche, il est clair qu’il s’agit d’obtenir une construction exacte, pas une construction approchée! Remarquons qu’il y a une forme d’asymétrie. ▷ Pour avoir une solution positive, il suffit de fournir une construction. ▷ Pour avoir une solution négative, il faut un argument théorique et cela impose l’usage de l’algèbre.
la règle et au compas. Théorème 2 La trisection des angles et la duplication du cube sont résolubles par origami, pas la quadrature du cercle. Théorème 2bis Tout point constructible à la règle et au compas est constructible par origami.
sous-corps de R Un sous-corps de R est un ensemble K de nombres réels tels que • 0 et 1 appartiennent à K, • K est stable par somme et par différence, • K est stable par produit et par quotient.
R. Exemple Si K est un sous-corps de R et si x ∈ R vérifie x2 = ax + b avec a, b ∈ K, alors K(x) = {αx + β avec α, β ∈ K} est un sous corps de R qui contient K et x. Dans Q( √ 2), l’inverse de 1 + 3 √ 2 est 1 1+3 √ 2 = 1−3 √ 2 1−9×2 = − 1 17 + 3 17 √ 2.
R. Une extension de K de degré 2 est un sous-corps L de R de la forme L = K(x) avec x ∈ R tel que • x / ∈ K, • il existe a, b ∈ K tels que x2 = ax + b. Autrement dit, on ajoute à K un élément racine d’une équation de degré 2 à coefficients dans K mais pas d’une équation de degré 1.
R. Une extension de K de degré 3 est un sous-corps L de R de la forme L = K(x) avec x ∈ R tel que • x / ∈ K, • il n’existe pas a, b ∈ K tels que x2 = ax + b, • il existe a, b, c ∈ K tels que x3 = ax2 + bx + c. Autrement dit, on ajoute à K un élément racine d’une équation de degré 3 à coefficients dans K mais pas d’une équation de degré inférieur.
d’un polynôme non nul à coefficients dans Q, c’est-à-dire s’il existe un entier n et des coefficients a0, …, an−1 ∈ Q tels que xn = an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 . Le plus petit entier n qui convient est appelé degré de x. ▷ Un nombre réel qui n’est pas algébrique est appelé transcendant. Les nombres algébriques de degré 1 sont exactement les nombres rationnels.
de degré 3. On peut vérifier que x3 = 0x2 + 0x + 2 et x2 ne s’écrit pas comme combinaison linéaire à coefficients rationnels de 1 et x. Proposition Le nombre cos π 9 est algébrique de degré 3.
de degré 3. On peut vérifier que x3 = 0x2 + 0x + 2 et x2 ne s’écrit pas comme combinaison linéaire à coefficients rationnels de 1 et x. Proposition Le nombre cos π 9 est algébrique de degré 3. Proposition (Lindemann, 1882) Le nombre π est transcendant .
Considérons toutes les droites passant par deux points de E et tous les cercles centrés en un de ces points de rayon égal à la distance de deux points quelconques de E. Les points constructibles à partir de E sont les intersections de ces droites et cercles.
constructible s’il existe une suite finie de points M1, M2, …, Mn = M telle que: • le point M1 est construit à partir de l’ensemble formé des points O(0, 0) et I(1, 0), • pour tout i ∈ 2, n , le point Mi est construit à partir de l’ensemble formé des points O, I, M1, …, Mi−1. Définition de droites et cercles traçables ▷ Une droite du plan est traçable si elle passe par deux points constructibles. ▷ Un cercle est traçable si son centre est constructible et son rayon est la distance entre deux points constructibles.
égal à l’abscisse d’un point constructible. Proposition Soit x ∈ R. Alors, x est constructible si, et seulement si, le point (x, 0) est constructible. Le sens retour est immédiat d’après la définition. Si le réel x est constructible, il existe y ∈ R tel que le point (x, y) est constructible. Il suffit alors de tracer la perpendiculaire à l’axe des abscisses passant par ce point pour obtenir le point (x, 0). Proposition Soit x ∈ R. Alors, x est constructible si, et seulement si, le point (0, x) est constructible.
règle et au compas si, et seulement si, le réel √ π est constructible. (0, 0) ( √ π, 0) ▷ La duplication du cube est résoluble à la règle et au compas si, et seulement si, le réel 3 √ 2 est constructible. ▷ La trisection des angles est résoluble à la règle et au compas si, et seulement si, le réel cos θ 3 est constructible pour tout θ.
réels constructibles. Alors, le réel xy est constructible. D’après le point précédent, 1 y est constructible puis x 1 y = xy l’est à son tour. Corollaire L’ensemble des réels constructibles est un sous-corps de R.
et seulement si, il existe une famille K0, K1, …, KN de sous-corps de R telle que • K0 = Q, • x ∈ KN • pour tout p ∈ 1, N , Kp est une extension de degré 2 de Kp−1.
de points intermédiaires M1, M2, …, MN . Définissons • K0 = Q, • pour tout p ∈ 1, N , Kp comme le corps engendré par les coordonnées des points O, I, M1, M2, …, Mp . Fixons p ∈ 1, N et discutons sur la façon dont le point Mp est obtenu.
coordonnées (x, y) de Mp sont solutions d’un système de la forme ax + by = c a′x + b′y = c′ avec a, b, c, a′, b′ et c′ ∈ Kp−1. L’unique solution est x = cb′−c′b ab′−a′b et y = ac′−a′c ab′−a′b ; ainsi, x, y ∈ Kp−1.
coordonnées (x, y) de Mp sont solutions d’un système de la forme ax + by = c a′x + b′y = c′ avec a, b, c, a′, b′ et c′ ∈ Kp−1. L’unique solution est x = cb′−c′b ab′−a′b et y = ac′−a′c ab′−a′b ; ainsi, x, y ∈ Kp−1. En conclusion, Kp = Kp−1.
traçables Les coordonnées (x, y) de Mp sont solutions d’un système de la forme ax + by = c (x − a′)2 + (y − b′)2 = c′2 avec a, b, c, a′, b′ et c′ ∈ Kp−1.
traçables Les coordonnées (x, y) de Mp sont solutions d’un système de la forme ax + by = c (x − a′)2 + (y − b′)2 = c′2 avec a, b, c, a′, b′ et c′ ∈ Kp−1. En remplaçant dans la seconde équation x ou y à l’aide de l’expression de la première, on remarque que x et y sont solutions d’une équation polynomiale de degré 2 à coefficients dans Kp−1.
traçables Les coordonnées (x, y) de Mp sont solutions d’un système de la forme ax + by = c (x − a′)2 + (y − b′)2 = c′2 avec a, b, c, a′, b′ et c′ ∈ Kp−1. En remplaçant dans la seconde équation x ou y à l’aide de l’expression de la première, on remarque que x et y sont solutions d’une équation polynomiale de degré 2 à coefficients dans Kp−1. En conclusion, Kp = Kp−1 ou Kp est une extension de degré 2 de Kp−1.
coordonnées (x, y) de Mp sont solutions d’un système de la forme (x − a)2 + (y − b)2 = c2 (x − a′)2 + (y − b′)2 = c′2 avec a, b, c, a′, b′ et c′ ∈ Kp−1.
coordonnées (x, y) de Mp sont solutions d’un système de la forme (x − a)2 + (y − b)2 = c2 (x − a′)2 + (y − b′)2 = c′2 avec a, b, c, a′, b′ et c′ ∈ Kp−1. On se ramène au cas précédent en remplaçant la première équation par la différence des deux équations.
coordonnées (x, y) de Mp sont solutions d’un système de la forme (x − a)2 + (y − b)2 = c2 (x − a′)2 + (y − b′)2 = c′2 avec a, b, c, a′, b′ et c′ ∈ Kp−1. On se ramène au cas précédent en remplaçant la première équation par la différence des deux équations. En conclusion, Kp = Kp−1 ou Kp est une extension de degré 2 de Kp−1.
…, KN vérifiant les conditions de l’énoncé. Montrons, par récurrence sur p ∈ 0, N , que tout élément de Kp est constructible. ◦ Le résultat est évident pour n = 0 puisque K0 = Q. ◦ Soit p ∈ 1, N tel que tous les éléments de Kp−1 sont constructibles. Comme Kp est une extension de degré 2 de Kp−1, il existe α ∈ R racine d’une équation de degré 2 telle que Kp = Kp−1 (α). Or, par constructibilité des racines carrées de réels positifs constructibles, α est aussi constructible. En conclusion, tout élément de Kp est constructible.
…, KN vérifiant les conditions de l’énoncé. Montrons, par récurrence sur p ∈ 0, N , que tout élément de Kp est constructible. ◦ Le résultat est évident pour n = 0 puisque K0 = Q. ◦ Soit p ∈ 1, N tel que tous les éléments de Kp−1 sont constructibles. Comme Kp est une extension de degré 2 de Kp−1, il existe α ∈ R racine d’une équation de degré 2 telle que Kp = Kp−1 (α). Or, par constructibilité des racines carrées de réels positifs constructibles, α est aussi constructible. En conclusion, tout élément de Kp est constructible. Comme x ∈ KN , x est constructible.
et seulement si, il existe une famille K0, K1, …, KN de sous-corps de R telle que • K0 = Q, • x ∈ KN • pour tout p ∈ 1, N , Kp est une extension de degré 2 de Kp−1. Corollaire Si un réel x est constructible, il est algébrique de degré 2M avec M ∈ N.
de 3 √ 2 et cos π 9 ne sont pas des puissances de 2, on ne peut construire aucun des points suivants: ( √ π, 0), ( 3 √ 2, 0), (cos π 9 , sin π 9 ). Théorème 1 Aucun des trois problèmes n’est résoluble à la règle et au compas.
A2; on peut construire une droite de pliage passant par A1 et A2 A1 A2 2. Soit deux points A1 et A2; on peut construire une droite de pliage qui envoie A1 sur A2 A1 A2 3. Soit deux droites D1 et D2; on peut construire une droite de pliage qui envoie D1 sur D2 D1 D2
A2; on peut construire une droite de pliage passant par A1 et A2 A1 A2 2. Soit deux points A1 et A2; on peut construire une droite de pliage qui envoie A1 sur A2 A1 A2 3. Soit deux droites D1 et D2; on peut construire une droite de pliage qui envoie D1 sur D2 D1 D2
une droite D; on peut construire une droite de pliage perpendiculaire à D passant par A D A 5. Soit deux points A1 et A2 et une droite D; on peut construire une droite de pliage passant par A1 qui envoie A2 sur D D A2 A1
une droite D; on peut construire une droite de pliage perpendiculaire à D passant par A D A 5. Soit deux points A1 et A2 et une droite D; on peut construire une droite de pliage passant par A1 qui envoie A2 sur D si d(A1 , A2 ) ≥ d(A1 , D) D A2 A1
A2 et deux droites D1 et D2; on peut construire une droite de pliage qui envoie A1 sur D1 et A2 sur D2 si d(A1 , A2 ) ≥ d(D1 , D2 ) D2 D1 A2 A1 Pli de Margherita Piazzola Beloch.
et E′ un ensemble de droites. • Les droites traçables à partir de E et E′ sont les droites des plis autorisés à partir de E et E′. • Les points constructibles à partir de E et de E′ sont les intersections des droites de E′ et des droites traçables ou l’image par les plis autorisés d’un point de E.
constructible s’il existe une suite finie de points M1, M2, …, Mn = M telle que: • le point M1 est construit à partir de l’ensemble formé des points O(0, 0) et I(1, 0), • pour tout i ∈ 2, n , le point Mi est construit à partir de l’ensemble formé des points O, I, M1, …, Mi−1 et des droites traçables à partir de ces points.
égal à l’abscisse d’un point constructible. Proposition Un réel x est constructible si, et seulement si, le point (0, x) est constructible. Il suffit d’utiliser le pli qui passe par O et qui envoie (x, 0) sur l’axe des ordonnées.
x ∈ R algébrique de degré 3, a, b et c ∈ Q tels que x3 = ax2 + bx + c. Appliquons la construction précédente avec A1 (1−b 2 , c) et A2 (1, a+c 2 ). On obtient une droite constructible de pente p telle que p3 = ap2 + bp + c, donc p = x (car cette équation n’admet qu’une racine réelle). On plie la parallèle à cette droite passant par (−1, 0) et elle recoupe l’axe des ordonnées en (0, x).
constructibles à la règle et au compas est strictement inclus dans l’ensemble des réels constructibles par origami. • Le cas général se ramène aussi à résoudre des équations de degré 3.
utilise une autre construction reposant sur le problème suivant Problème du carré de Beloch Étant donnés deux points A et B et deux droites r et s, construire un carré WXYZ dont deux sommets adjacents X et Y sont respectivement situés sur r et s, et tel que les droites (WX) et (YZ) passent respectivement par A et B. Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill Thomas C. Hull, Monthly 118, avril 2011
(BCO) = α. Comme C est sur la médiatrice de [O, J], (BCJ) = α. Ainsi, (OCJ) = 2α. L’image par réflexion par rapport à ∆ du triangle JCO est AOC, d’où (AOC) = 2α. Par conséquent, α + 2α = θ d’où α = θ 3 . ∆ α B A C J I O
suivante analogue au théorème de Wantzel. Théorème Un réel x est constructible si, et seulement si, il existe une famille K0, …, KN de sous-corps de R telle que • K0 = Q, • x ∈ KN • pour tout p ∈ 1, N , Kp est une extension de degré 2 ou 3 de Kp−1.
mansuy
luiyoshida
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shubox
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