問題解決に役立つ数理工学

2025/03/19に、高校生を対象とする講演会にて発表した、梅谷の資料です。

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1. 問題解決に役立つ数理工学 株式会社リクルート データ推進室 アドバンスドテクノロジーラボ 梅谷 俊治 2025/3/19 大学と数理工学と 数理最適化を話します
2. 2 自己紹介 • 梅谷 俊治（うめたに しゅんじ） • 現職（2023/10〜） 株式会社リクルート データ推進室 アドバンスドテクノロジーラボ シニアリサーチャー （大阪大学 大学院情報科学研究科 招へい教授） • 前職（〜2023/9） 大阪大学 大学院情報科学研究科 数理最適化寄附講座教授 • 専門分野 数理最適化（組合せ最適化）、アルゴリズム、オペレーションズ・リサーチ • 研究テーマ ü 大規模かつ汎用的な組合せ最適化問題に対するアルゴリズムの開発 ü 機械学習にもとづく組合せ最適化アルゴリズムの自動構成 ü 最適化モデルとアルゴリズムの現実問題への応用 • 著書 ü 『しっかり学ぶ数理最適化：モデルからアルゴリズムまで』講談社（2020） ü 『応用に役立つ50の最適化問題』朝倉書店（2009）
3. 3 しっかり学ぶ数理最適化 • 2020年10月に講談社より出版。 • 1章：数理最適化入門 • 2章：線形計画 線形計画問題の定式化、単体法、 緩和問題と双対問題 • 3章：非線形計画問題 非線形計画問題の定式化、制約なし最適化問題、 制約つき最適化問題 • 4章：整数計画と組合せ最適化 整数計画問題の定式化、 アルゴリズムの性能と問題の難しさ、 効率的に解ける組合せ最適化問題、 分枝限定法と切除平面法、近似解法、 局所探索法、メタヒューリスティクス 最適化問題の定式化からアルゴリズムまで幅広い内容を解説 お陰様で10刷発行 1万部を超えました
4. 4 リクルートは何をしてる？ • 選択・意思決定を支援する情報サービスを提供。 • 人材関連事業をはじめとして、人生の節目となるライフイベント領域、 日常消費のライフスタイル領域へと事業を拡大。 • 最近は、クラウドを利用したSaaSによる業務・経営支援にも注力。 SaaS(Software as a Service)：利用者側にソフトウェアを導入するのではなく、利用者がインターネットを 介してサーバーで稼働しているソフトウェアを利用する。 マッチング＆ソリューションSBU HRテクノロジーSBU 人材派遣SBU 国内派遣 海外派遣 まだ、ここにない、出会い。より速く、シンプルに、もっと近くに。
5. 5 リクルートは何をしてる？ • 選択・意思決定を支援する情報サービスを提供。 • リクルートにはカスタマーとクライアントの2つのお客様が存在する。 • その間に立ち、双方にとって最適なマッチングを図る「場」を提供すると ともに、クライアントのビジネスを業務・経営支援で支える。 リクルート マッチング プラットフォーム ユーザー クライアント SaaS(Software as a Service)：利用者側にソフトウェアを導入するのではなく、利用者がインターネットを 介してサーバーで稼働しているソフトウェアを利用する。 まだ、ここにない、出会い。より速く、シンプルに、もっと近くに。
6. 6 リクルートで何をしてる？ • データ推進室にてシニアリサーチャーとして勤務。 アドバンスドテクノロジーラボ→研究開発、産学連携 アジリティテクノロジー部→事業貢献 データサイエンス部・機械学習エンジニアリング部→社内教育 z 職種・ 機能単位 プロダクト単位 アジリティテクノロジー部 データソリューションユニット データテクノロジーユニット HR 結婚 旅行 自動車 学習 飲食 美容 住宅 SaaS 横断 データプロダクト マネジメント1部 データプロダクト マネジメント2部 データプロダクト マネジメント3部 データサイエンス部・機械学習エンジニアリング部 データエンジニアリング部 データマネジメント部 採用・育成による専門性強化に責任を持つ プロダクト戦略の実現のための活動に責任を持つ より高度な専門性を基に領域・横断の重要案件の支援を行う データ テクノロジー ラボ部 室直下 アドバンスド テクノロジーラボ部 イノベーティブテクノロジー 研究戦略部 専門性をもって、事業価値を最大化させることで、より良い未来を実現する 新人研修で 最適化モデリング入門 講義を担当 データ推進室 https://www.recruit.co.jp/employment/mid-career/data_lp/
7. 7 講演の概要 1. 大学と進路選択 2. 数理工学の紹介 3. 数理最適化の紹介
8. 8 大学は何をするところ？ • 広範囲に渡る知識の獲得と諸分野の専門的な教育研究を行うことで、拡大・ 深化した知見と柔軟な思考力を備えた知識人を育成する(Wikipediaより)。 • 筆記試験で良い成績を取れる人材を育成することが目的ではない。 • 社会におけるサービスやそれを支える技術の激しい変化に柔軟に対応する。 • 新しいアイデアにもとづくサービスや技術を創り出せる人材を育成する。 →情報収集・問題発見・問題解決 学部(4年間)→学士 大学院 博士前期課程(2年間)→修士 大学院 博士後期課程(3年間)→博士 博士号まで9年
9. 9 大学は何をするところ？ • 最先端の学問分野では、複数の分野をまたがる学際・融合研究が盛んで文系・ 理系の区別もない。 • 学問の進歩に合わせて組織もカリキュラムも変化するので、これだけ勉強して おけば大丈夫という「標準」がない。 • 「受験科目≠大学の専門課程に必要な知識」なので、成績の良し悪しや受験 科目の相性だけで進路を決めるのは非常に危うい。 共通テスト：国語、地理歴史、公民、数学、理科、外国語、情報 学部：文学部、人間科学部、法学部、経済学部、理学部、医学部、歯学部、 薬学部、工学部、基礎工学部 大学院：人文額研究科、人間科学研究科、法学研究科、経済学研究科、理学研究科、 医学系研究科、歯学研究科、薬学研究科、工学研究科、基礎工学研究科、国際公共政策 研究科、情報科学研究科、生命機能研究科 上記の学部・大学院は大阪大学の例です。
10. 10 理学部と工学部の違いは？ • 理学(science)：一般的な法則を導き、自然の成り立ちを説明・記述する。 • 工学(engineering)：蓄積された知識を利用し、社会の利益となる実用的な 手法・技術を開発する。 • 異なる学部・学科で同じような学問に取り組んでいることは本当に良くある。 • 入学時に学科ごとに募集する大学と、入学後に学科に配属する大学がある。 理学部：数学科、物理学科、化学科、生物科学科 工学部：応用自然科学科、応用理工学科、電子情報工学科、環境・エネルギー工学科、地球総合工学科 理学研究科：数学専攻、物理学専攻、化学専攻、生物科学専攻、高分子科学専攻、宇宙地球科学専攻 工学研究科：生物工学専攻、応用化学専攻、物理学系専攻、機械工学専攻、マテリアル生産科学専攻、 電気電子情報通信工学専攻、環境エネルギー工学専攻、地球総合工学専攻、ビジネスエンジニアリング専攻 情報科学研究科：情報基礎数学専攻、情報数理学専攻、コンピュータサイエンス専攻、情報システム工学専攻、 情報ネットワーク学専攻、マルチメディア工学専攻、バイオ情報工学専攻 基礎工学部：電子物理科学科、化学応用科学科、システム科学科、情報科学科 基礎工学研究科：物質創成専攻、機能創成専攻、システム創成専攻 学 部 大 学 院 学年が進むとコースに 分かれる場合が多い 上記の学部・大学院は大阪大学の例です。
11. 11 進路選択のアドバイス • 受験勉強は大学入試に必要だが、進路選択には情報収集と分析が大事。 • オープンキャンパス、大学や学問分野の紹介などを活用する。 • 本を読んで学問分野の成り立ちや最先端を知れば具体的なイメージが持てる。 • 英語と数学の習得が自身の活動の場所と分野を大きく広げてくれる。 • 英語は読み書き会話ができると働く場所と得られる情報量が格段に増える。 • 数学は文系・理系問わずあらゆる分野に現れるので習得を諦めたらダメ。 大学数学の微分積分、線形代数、統計学まで習得しよう。 夢ナビ https://yumenavi.info/ スタディサプリ進路 https://shingakunet.com/gakumon/
12. 12 講演の概要 1. 大学と進路選択 2. 数理工学の紹介 3. 数理最適化の紹介
13. 13 数学は何の役に立つの？ • 大学・大学院で研究に携わるまでは、数学と科学技術の繋がりを実感するのは 難しく、高校数学が役に立つ気がしないと思うのは仕方ない。 • 現実世界の異なる現象や問題が、数学的には同じ問題であることが少なくない。 • 数学を良く知ると、現実世界とは全く異なる視点で現象や問題をとらえて解決 することが可能になる。 • 技術者・研究者にならなくても、さまざまな産業(もちろんAIも！)の技術を 理解し、新たなサービスや製品を企画・運用するために数学の知識は不可欠。 広告配信 人員配置 情報通信 物流・輸送 生産計画 電力運用 機械学習 信号処理 メカニズムデザイン シミュレーション 数理最適化 現実世界 数理の世界 学術から産業まで幅広い分野の事例が 最適化問題に定式化できる グラフ・ネットワーク いわゆるAI
14. 14 数理工学とは？ • 現実世界における現象や問題を数理モデルとしてとらえ、数学的・科学的な アプローチで解析し、問題解決の手段を提供する枠組み。 • 学術分野でも、数理経済学、数理生物学、数理物理学など、文系・理系問わず 非常に多くの分野で「数理」が現れる。 • 産業分野でも、製造業、情報通信、物流・輸送、資源・エネルギー、医療、 材料、建築・土木、防災、航空・宇宙、農業、広告・マーケティングなど あらゆる分野の技術の基礎を成している。 問題・現象 数理モデル 解決方法 意思決定 現実世界 数理の世界 定式化 解析 評価 適用 本質的な部分を 数式で記述 モデルに応じた 解法を適用 「数理モデルの解＝解決策」 ではないので判断が必要 数理科学と呼ばれる ことが多いかも？
15. 15 コンピュータで問題を解く • 数値解法：紙と鉛筆だけで代数的に解けない問題をコンピュータを用いた 数値計算により(近似的に)解く。 • 情報通信技術(ICT)の発展とともにあらゆる分野で活用されるようになった。 • 大規模な連立方程式、非線形方程式、微分方程式、積分、サンプリングなど。 • アルゴリズム：問題を解くための計算手順。 • プログラム：アルゴリズムをコンピュータ上で実行できるよう実装したもの。 • 人間が効率良い計算手順を考えなければ、どんな高性能なコンピュータでも ただの鉄くずでしかない。 ICT: Information and Communication Technology アルゴリズムの設計 プログラムの実行 プログラミング 理化学研究所 計算機科学研究センター
16. 16 数値解法の例 • 勾配法：現在の解の周辺で目的関数を1次関数に近似し、関数値が減少する 方向に移動する手続きを繰り返す。 • ニュートン法：現在の解の周辺で目的関数を2次関数に近似し、関数値が最小 になる点に移動する手続きを繰り返す。 勾配法 ニュートン法 関数値の 等高線 勾配(微分) ヘッセ行列(2階微分) 最適解 1変数だと1次関数の近似は と書ける。 同様に2次関数の近似は と書ける。 微分が大活躍！
17. 17 数理最適化 • 最適化問題：制約条件を満たす解の中で目的関数の値を最小(最大)にする解を 求める問題。 • 製造、製紙、鉄鋼、石油・化学、物流、旅客、農業、鉱業、エネルギー、医療、 科学、広告、スポーツなど幅広い分野に応用を持つ。 • ポートフォリオ最適化：与えられた予算で利益を確保しつつリスク(分散)を 最小化する資金配分を求める。 株券1 株券2 10株 0株 1000円 1000円 1300円 (+300) 800円 (-200) 900円 (-100) 1200円 (+200) 青だと+3000円、赤だと-2000円 状況により大損することも！ 株券1 株券2 4株 6株 1000円 1000円 1300円 (+300) 800円 (-200) 900円 (-100) 1200円 (+200) 青だと+600円、赤だと+400円 状況によらずプラスの収益！ 一般人に AIと言われがち
18. 18 信号処理 • フーリエ変換：どんな関数でも三角関数の和(級数、積分)で表せる。 三角関数は周波数と振幅で決まるので、これをデジタルデータとして記録すれ ば元の関数を復元できる。 • デジタルオーディオ：人間の可聴域は20Hz〜20kHzなので、音響心理学など の技術を用いて人間に知覚されない音を省いてデータ圧縮する。 • ノイズキャンセリング：マイクで取得した環境音を解析し、ノイズ成分(多く は高周波)に逆位相の音を重ねて打ち消す。 MP3: MPEG-1/2 Audio Layer-3 音声データ(時間領域) 音声データ(周波数領域) 周波数 0 1 2 3 4 … 振幅 高周波はノイズ
19. 19 なら感染者数は指数関数的に増大 シミュレーション • 微分方程式：未知関数と導関数を含む方程式で、時間など変数の推移にとも なう関数値の変化を表す。 • 天体の運動、気象の変化、人口の変動、化学反応、構造物の振動、株価の変動 など、幅広い分野の現象を定式化できる数理モデルの王様。 • SIRモデル：感染症の流行で、時間の推移にともなう感受性者(Suspectible)、 感染者(Intectious)、回復者(Recovered)の人数の変化を微分方程式で表す。 感受性者 感染者 回復者 感染 治癒 接触当たりの感染率 回復率(隔離率) 総人口 基本再生産数 感染者数の予測
20. 20 機械学習 • データからルールやパターンを抽出した結果を活用して分類や予測をする。 • 画像認識(顔認識、物体検出、画像分類)、自然言語処理(音声認識、機械翻訳、 テキストマイニング、チャットボット)、予測・制御(需要予測、株価予測、 異常検知、自動運転、ロボット制御)、推薦システム(ECサイト、動画・音楽 配信)、医療・ヘルスケア(創薬、ゲノム解析、健康診断)など応用多数。 • 回帰分析：入力データ と出力データ の関係を表す関数を作る。 教師データから関数を生成し、未知の入力に対する出力を予測する。 入力データ 出力データ 株価 売上高 前日の終値 売上高 … 金利 原油価格 株価 誤差 →最小化 実測値 予測値 関係式 世間でAIと呼ばれて いるのはコレ
21. 21 機械学習 • データからルールやパターンを抽出した結果を活用して分類や予測をする。 • 画像認識(顔認識、物体検出、画像分類)、自然言語処理(音声認識、機械翻訳、 テキストマイニング、チャットボット)、予測・制御(需要予測、株価予測、 異常検知、自動運転、ロボット制御)、推薦システム(ECサイト、動画・音楽 配信)、医療・ヘルスケア(創薬、ゲノム解析、健康診断)など応用多数。 • サポートベクターマシン：入力データを2つのクラスに分類する関数を作る。 教師データから関数を生成し、未知の入力に対するクラスを予測する。 赤血球の濃さ 血圧 … 肝酵素 一日の飲酒量 １ 健康 −１ 肝臓疾患 入力データ 出力データ インシュリン 血圧 マージン →最大化 判別式 世間でAIと呼ばれて いるのはコレ
22. 22 機械翻訳 • 対訳文から共起するフレーズから抽出した翻訳ルールを用いて翻訳する。 • ウェブで大量の多言語データが利用可能になったことを背景に統計的機械翻訳 を用いた翻訳サービスが次々と登場した。 • 直前に現れる 個の単語の頻度を数えて語順ルールを抽出する。 • 「意味の近さ×◦◦語らしい語順」を最大にする翻訳候補を選ぶ。 確 か ら し さ ヘリウム食べたスープとスプーン 彼は飲んだスープでスプーン … ヘリウムはスプーンでスープを飲んだ … 彼はスプーンでスープを飲んだ … 翻訳候補 He ate soup with a spoon. 彼 飲んだ 食べた スープ で と スプーン は が を に ヘリウム 位置 P(原言語文 | 目的言語文) × P(目的言語) 翻訳モデル (同じ意味) 言語モデル (もっともらしい語順) 翻訳の候補数は 単語毎の翻訳候補数 ×文長で膨大に！ 世間でAIと呼ばれて いるのはコレ
23. 23 グラフ・ネットワーク • グラフ理論：頂点と辺から構成される組合せ構造の性質を研究する。 • オイラーの一筆書き(1736年)から始まり、道路網、 エネルギー網、通信網、ソーシャルネットワーク、 バイオインフォマティクスなど多くの応用を持つ。 • 最短路問題：各辺が長さを持つグラフ上で、出発点 から目的点までの最短路を求める問題。Google Map の経路検索や乗り換え案内などに使われる。 代謝経路ネットワーク エネルギーネットワーク ソーシャルネットワーク ケーニヒスベルグの7本の橋 頂点 辺 代謝経路ネットワーク https://www.genome.jp/kegg/pathway.html 欧州エネルギーネットワーク https://www.entsoe.eu/data/map/
24. 24 メカニズムデザイン • 人間の動機や誘因を考慮した上で、効率的な資源配分や合意形成を実現する。 • オークション、選挙制度、マッチング、公共サービス、環境政策、雇用・保険 契約、交通システムなど多くの応用を持つ。 • 安定マッチング問題： 人の男性と 人の女性をいい感じにマッチングする。 • 研修医のマッチング：研修医の研修を実施する病院を決定する。 • 保育園の入所マッチング：自治体の保育園の入所選考を決定する。 経済学のトピック 2024年度の医療臨床研修マッチングは参加者数10136、病院数1026だった。 1 2 3 4 a b c d a>b>c>d c>b>a>d a>b>d>c c>a>d>b 1>2>3>4 2>1>4>3 2>3>1>4 1>4>3>2 カップルを 解消しそう？ 安定ではないマッチング 1 2 3 4 a b c d a>b>c>d c>b>a>d a>b>d>c c>a>d>b 1>2>3>4 2>1>4>3 2>3>1>4 1>4>3>2 安定なマッチング 今度は 大丈夫！
25. 25 講演の概要 1. 大学と進路選択 2. 数理工学の紹介 3. 数理最適化の紹介
26. 26 数理最適化による問題解決 • 「AIで問題解決しました！」というプレスリリースの実態は？ • 問題解決では、記述的段階(データ取得)、予測的段階(データ分析)、 処方的段階(意思決定)の手順を踏む。 • 数理最適化による問題解決を実現するためには「最適化問題の定式化」と 「アルゴリズムの開発(もしくは利用)」が必要。 AIと一口には 言うものの ビッグデータ AI(機械学習) 数理最適化 現状把握・可視化 Description(記述) 要因・予測分析 Prediction(予測) 意思決定・計画作成 Prescription(処方) 数百万の顧客に推薦する 商品の割当てを求める 超大規模な最適化問題 クーポン配信の事例 人気商品に偏ってない？ 予算内に収められる？ 多様な制約を満たせる？ 機械学習で個別の割当の 期待利得は推定できる
27. 27 数理最適化による問題解決 • 「AIで問題解決しました！」というプレスリリースの実態は？ • 問題解決では、記述的段階(データ取得)、予測的段階(データ分析)、 処方的段階(意思決定)の手順を踏む。 • 数理最適化による問題解決を実現するためには「最適化問題の定式化」と 「アルゴリズムの開発(もしくは利用)」が必要。 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 アルゴリズムの 開発・利用 分析・検証 最適化問題の修正 最適化問題を解くことは問題解決の一部分にすぎない
28. 28 最適化問題の定式化 • ある飲料メーカーでは、トマト、にんじん、ほうれん草を原料とする野菜 ジュースを製造している。 • 野菜ジュースに含まれる食物繊維、ビタミンC、鉄分、βカロチンの必要量を 満たしつつ、原料費を最小に抑える各野菜の購入量は？ • トマト、にんじん、ほうれん草の購入量(kg)を とする。 食物繊維 ビタミンC 鉄分 βカロチン 価格(円/kg) トマト 10 15 2 5 400 にんじん 25 5 2 80 250 ほうれん草 30 35 20 40 1000 必要量(単位/2L) 50 60 10 40 → 原料費を最小化 → 食物繊維は50単位以上 → ビタミンCは60単位以上 → 鉄分は10単位以上 → βカロチンは40単位以上 → 各野菜の購入量は非負
29. 29 最適化問題の定式化 • ある飲料メーカーでは、トマト、にんじん、ほうれん草を原料とする野菜 ジュースを製造している。 • 野菜ジュースに含まれる食物繊維、ビタミンC、鉄分、βカロチンの必要量を 満たしつつ、原料費を最小に抑える各野菜の購入量は？ • トマト、にんじん、ほうれん草の購入量(kg)を とする。 食物繊維 ビタミンC 鉄分 βカロチン 価格(円/kg) トマト 10 15 2 5 400 にんじん 25 5 2 80 250 ほうれん草 30 35 20 40 1000 必要量(単位/2L) 50 60 10 40 最適値：1600 最適解：
30. 30 代表的な最適化問題 • 連続最適化問題：変数が実数のような連続的な値を取る最適化問題。 • 組合せ最適化問題：変数が整数や{0,1}のような離散的な値を取る最適化問題 や、最適解を含む解集合(探索空間)が順列やネットワークなど組合せ的な構造 を持つ最適化問題。 線形計画問題 凸2次計画問題 非線形計画問題 連続最適化問題 混合整数計画問題 整数計画問題 ネットワーク最適化問題 組合せ最適化問題 組合せ数学
31. 31 代表的な最適化問題とアルゴリズム 連続最適化問題 離散最適化問題 (組合せ最適化問題) 線形計画問題 凸2次計画問題 (半正定値計画問題，2次錐計画問題) 制約なし非線形計画問題 整数計画問題 資源配分問題，最小全域木問題など 貪欲法 ナップサック問題，資源配分問題， 最小費用弾性マッチング問題など 動的計画法 最大流問題，最小費用流問題， 最大マッチング問題，割当問題など 増加路法，負閉路消去法，最短路繰り返し法， (ハンガリー法) 最短路問題 ダイクストラ法，ベルマン・フォード法， フロイド・ウォーシャル法 分枝限定法，切除平面法，(分枝カット法) ビンパッキング問題，最大カット問題， 巡回セールスマン問題，頂点被覆問題， ナップサック問題など 性能保証付き近似解法 さまざまなNP困難問題 発見的解法，局所探索法，メタヒューリスティクス， (分枝カット法) 単体法，(内点法) 有効制約法，(内点法) 制約つき非線形計画問題 最急降下法，ニュートン法，準ニュートン法 ペナルティ関数法，拡張ラグランジュ関数法， 内点法，逐次２次計画法 今日はこちらを 紹介します
32. 32 専門誌の購読計画 • 専門誌の価格高騰による包括契約からタイトル毎の個別契約への移行に ともなう諸問題の解決。 • 限られた予算の下で購読タイトルを決定する問題を最適化問題に定式化し、 最小充足率の最大化で分野による偏りの少ない現実的な購読計画案を実現。 • 全体の充足率が66.05%→70.50%に向上、最小充足率も68.87%と分野による 偏りを大幅に軽減 0% 20% 40% 60% 80% 100% Veterinary Science and Veterinary… Social and Behavioral Sciences Physics and Astronomy Pharmacology, Pharmaceutical Science… Nursing Neuroscience Medicine Mathematics Materials Science Life Sciences Health Professions Environmental Sciences Engineering, Energy and Technology Economics, Business and Management Earth and Planetary Sciences Dentistry Computer Science Chemistry and Chemical Engineering Arts and Humanities Agricultural and Biological Sciences 0% 20% 40% 60% 80% 100% Veterinary Science and Veterinary… Social and Behavioral Sciences Physics and Astronomy Pharmacology, Pharmaceutical Science… Nursing Neuroscience Medicine Mathematics Materials Science Life Sciences Health Professions Environmental Sciences Engineering, Energy and Technology Economics, Business and Management Earth and Planetary Sciences Dentistry Computer Science Chemistry and Chemical Engineering Arts and Humanities Agricultural and Biological Sciences 梅谷俊治，電子ジャーナル購読計画の効率的な作成，OR学会九州支部講演会，2016/3/26． 2000誌以上から500誌弱まで絞込み
33. 33 カタログレイアウトの作成 • 週次で、①商品カタログ配布、②顧客から商品受注、③顧客に商品配達する 宅配事業会社にて、1000点以上の商品を掲載するカタログの各ページの商品 レイアウトを自動作成する。 • 同種の商品を互いに近くに配置するレイアウトを自動作成する問題を最適化 問題に定式化。 • コマ割りのテンプレートを用意し、1ページ当たり約1秒で実用的なレイアウト を作成するアルゴリズムを開発。 梅谷俊治，カタログレイアウトの自動生成，OR学会秋季研究発表会，2018/9/6．
34. 34 自動車船の配船・運航計画 • 世界各地を航海する約100隻の自動車船に4ヶ月分の約200ブッキング (約130万台)を割り当てる。 • 各船の航海パターン候補を列挙した後に、全てのブッキングを充足する航海 パターンの組合せを求める最適化問題に定式化する。 • 数理最適化ソフトウェアにより約3分で実用的なスケジュールを作成。 Booking1 5000台 Booking2 3000台 Booking3 4000台 Booking4 4500台 Booking5 2500台 貨物船2:3000台 貨物船1:5000台 <latexit sha1_base64="tI4NbA88wk3UGDXGY96Hwj3VUrI=">AAACrHichVE9S8NQFD3Gr/rZqovgIpaKU7mRguJUcHFUa1WopSTxpQbzRZIWa/APCK46OCk4iD/DRdwd+hPEUcHFwZs0UFTU+3h55513z33n5aquafgBUbtH6u3rHxhMDQ2PjI6NpzMTk9u+0/A0UdYc0/F2VcUXpmGLcmAEpth1PaFYqil21MPV6HynKTzfcOytoOWKqqXUbUM3NCVgqnRUk2uZLOUpjtmfQE5AFkmsO5lH7GEfDjQ0YEHARsDYhAKfRwUyCC5zVYTMeYyM+FzgBMOsbXCW4AyF2UP+1nlXSVib91FNP1ZrfIvJ02PlLHL0RLf0Sg90R8/08WutMK4ReWnxqna0wq2lT6dL7/+qLF4DHHRVf3oOoGM59mqwdzdmoldoHX3z+OK1tLKZC+fpml7Y/xW16Z5fYDfftJsNsXn5hx+Vvfz+x0Lm9K5bbqP8vWk/wfZiXqa8vFHIFgtJQ1OYwRwWuGtLKGIN6yjzLXWc4RwXUl7akipStZMq9SSaKXwJSf8EQVGZRg==</latexit> <latexit sha1_base64="TvN/BVfDctszjWwBRC5rFEyjDRI=">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</latexit> <latexit sha1_base64="htk3V/2aYntsWzUxyIJ36MHWJ7U=">AAACrHichVE9S8NQFD3Gr1o/WnURXMRScSo3KihOBRfH1tpaqKUk8bWGpklI0qIW/4DgagcnBQfxZ7iIu0N/gjgquDh4mwaKFut9vLzzzrvnvvNyVdvQXY+oPSQNj4yOjYcmwpNT0zOR6OxczrXqjiaymmVYTl5VXGHopsh6umeIvO0IpaYa4kCt7nTODxrCcXXL3PdObVGsKRVTL+ua4jGVOSmtl6IxSpAfS/1ADkAMQaSs6DMOcQQLGuqoQcCEx9iAApdHATIINnNFNJlzGOn+ucA5wqytc5bgDIXZKn8rvCsErMn7Tk3XV2t8i8HTYeUS4vRC9/ROT/RAr/T1Z62mX6Pj5ZRXtasVdilysZD5/FdV49XDcU810LOHMrZ8rzp7t32m8wqtq2+ctd4z23vx5grd0hv7v6E2PfILzMaHdpcWe9cD/Kjs5e8/1mSu3HPLbZR/N60f5NYSMiXk9EYsuRE0NIRFLGOVu7aJJHaRQpZvqeASV2hJCWlfKkjFbqo0FGjm8SOk8jdF3ZlI</latexit> <latexit sha1_base64="wD8k2qTn7FJZuCWfggfI0/NHryM=">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</latexit> <latexit sha1_base64="0c977q0VdlK7Tvfijp+fdA27RJs=">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</latexit> <latexit sha1_base64="htbl/5wnPsioSaE2iOfxBj35DGc=">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</latexit> <latexit sha1_base64="mhFnBiJ3ht41i33JOJyqPTOG7LY=">AAACrHichVE9S8NQFD3G789WXQQXsVScyo0UFCfBxbFaq0ItJYkvNZgvkrSowT8guNrBScFB/Bku4u7gTxBHBRcHb9KAaGm9j5d33nn33Hderuqahh8QvfRIvX39A4NDwyOjY+MTqfTk1I7v1D1NlDTHdLw9VfGFadiiFBiBKfZcTyiWaopd9Wg9Ot9tCM83HHs7OHFFxVJqtqEbmhIwVTyuLlfTGcpRHHPtQE5ABkkUnPQT9nEABxrqsCBgI2BsQoHPowwZBJe5CkLmPEZGfC5whhHW1jlLcIbC7BF/a7wrJ6zN+6imH6s1vsXk6bFyDll6pjt6p0e6p1f66lgrjGtEXk54VVta4VZT5zPFz39VFq8BDn9UXT0H0LESezXYuxsz0Su0lr5x2nwvrm5lwwW6oTf2f00v9MAvsBsf2u2m2Lrq4kdlL53/WMic/uOW2yj/bVo72FnKyZSTN/OZtXzS0CHMYh6L3LVlrGEDBZT4lhoucImmlJO2pbJUaaVKPYlmGr9C0r8BTvWZTA==</latexit> 航海パターン候補は 約200万通り 問題の性質を利用し 候補数を大幅に削減 4ヶ月間の航海数は 約200航海 4ヶ月間の荷量は 約130万台 船舶数は約100隻 (約50万台の輸送能力) 商船三井，自動車船の配船計画支援システムの運用を開始しDXを加速，プレスリリース，2021/5/21． https://www.mol.co.jp/pr/2021/21046.html
35. 35 自動車船の積付け計画 • 複数の積み港から複数の揚げ港に運航する自動車船において、複数の車種から 構成される約20ブッキングを自動車船内の約40区画に割り当てる。 • 寄港時の車両の搬入出経路の確保を始めとする多様な条件を考慮し、ブッキン グを自動車船内の区画に割り当てる問題を最適化問題に定式化。 揚げ港 X港 Y港 Z港 A港 100 200 2200 積み港 B港 300 2000 300 C港 1300 600 100 寄港順は A→B→C→X→Y→Z ホールド1 ブッキングの概要 ホールド2 ホールド3 ホールド4 ホールド5 自動車専用船の概要 積付け手順の例 商船三井，自動車船の配船計画支援システムの運用を開始しDXを加速，プレスリリース，2021/5/21． https://www.mol.co.jp/pr/2021/21046.html 積付け作業の様子
36. 36 クーポン配信計画 • 人気商品に偏らない、各顧客の配信数の上限を満たすなどの制約の下で、期待 利得の合計を最大化するクーポン配信計画を求める問題を最適化問題に定式化。 • 約500商品、約300万顧客の超大規模な最適化問題に対し、実用的な配信計画 を約1時間で作成するアルゴリズムを開発。 人気商品に偏ってない？ 予算内に収められる？ 多様な制約を満たせる？ 機械学習で個別の割当の 期待利得は推定できる 広告主 広告企業 クーポン配布 商品購入 顧客 最低限の利益保証 顧客数が300万人以上の 超大規模な最適化問題 T.Kan, S.Umetani, H.Morita, A weighting local search algorithm for huge assignment problem in item recommendation, ISMP2018, 2018/7/1.
37. 37 遺伝子発現の解析 • 遺伝子の発現量を測定して細胞の種類を推定する。 • シングルセル遺伝子発現解析：細胞ごとに遺伝子の発現量を測定する。 • 空間トランスクリプトーム解析：スポットごとに遺伝子の発現量を測定する。 • スポット内に混在する細胞の種類の内訳を推定する問題を最適化問題に定式化。 瀬尾先生＠大阪大学 との共同研究 生物の組織 細胞 遺伝子発現量 細胞種1 細胞種2 細胞種3 細胞種4 遺伝子発現量 スポット シングルセル遺伝子発現解析 空間トランスクリプトーム解析 S.Seno, S.Umetani, H.Matsuda, Cell-type deconvolution for spatial transcriptome based on linear programming, 32th Conference on ISMB (Intelligent Systems for Molecular Biology), 2024/7/12.
38. 38 ビットマップ図形の詰込み • 高解像度・任意形状の図形を効率的に詰め込む最適化問題。 • ビットマップ図形を隙間なく詰め込む問題に対してアルゴリズムを開発。 • ビットマップ図形を水平・垂直方向に走査して2種類のスキャンライン図形を 作成した上で、ミンコフスキー差と呼ばれる補助データ構造から、各図形対の 重なり度を高速に計算する手法を提案。 • 1次元探索を繰返し適用するアルゴリズムを開発し、テスト問題例に適用。 2048pixel Profiles2 (75.9%) Profiles9 (55.3%) Swim (72.7%) Mao (83.6%) S.Umetani, S.Murakami, Coordinate descent heuristics for the irregular strip packing problem of rasterized shapes, European Journal of Operational Research, 303 (2022), 1009-1026.
39. 39 組合せ最適化問題は難しい？ • NP困難問題：厳密な最適解を求めるのに必要な計算時間が最悪で入力サイズ の指数関数になると多くの研究者が考えている問題。 • 都市をちょうど1回ずつ訪問する最短の巡回路を求める巡回セールスマン問題 の解候補を列挙すると(n-1)!/2通り。 全ての解を列挙することは現実的には不可能 Newsweek, July 26, 1954 PCB3038 D15112 都市数 巡回路の総数 計算時間(秒) 6 60 4.32×10-10 8 2520 3.23×10-8 10 1.81×105 3.63×10-6 15 4.36×1010 1.96 20 6.08×1016 4.87×106 約56日 25 3.10×1023 3.88×1013 約122万年 30 4.42×1030 7.96×1020 約25233億年 100TFlopsのコンピュータを用いて 巡回路を列挙したときの計算時間 大規模な巡回セールスマン問題を 解く必要が生じることは少なくない
40. 40 汎用的かつ高性能なアルゴリズムの実現 • 多様な現実問題に適用可能な汎用性の高い組合せ最適化問題(整数計画問題)に 対して、高性能なアルゴリズムを開発したい。 • 整数計画問題はアルゴリズムの性能向上に利用できる構造がない？ • 個々の現実問題の入力データは特徴的な部分の組合せとなる場合がほとんど。 • 入力データの特徴を事前知識として利用できれば、理論的には求解困難でも、 実用では高性能なアルゴリズムを開発できる。 S.Umetani, Exploiting variable associations to configure efficient local search algorithm, European Journal of Operational Research, 263 (2017), 72-81. データ(instance) 問題(problem) x1 x98 x809 x701 x141 x765 x749 x784 x365 x662 x2 x186 x810 x99 x303 x275 x291 x247 x204 x766 x825 x750 x785 x142 x663 x148 x702 x241 x1040 x417 x3 x100 x811 x304 x187 x78 x143 x703 x891 x767 x826 x751 x786 x418 x657 x205 x292 x276 x995 x391 x166 x682 x4 x79 x491 x85 x1064 x101 x658 x167 x188 x392 x833 x426 x368 x463 x775 x10 x398 x689 x173 x382 x160 x758 x1186 x144 x704 x892 x665 x5 x102 x813 x705 x492 x369 x893 x828 x769 x753 x788 x145 x659 x427 x834 x997 x6 x493 x1066 x731 x208 x777 x428 x162 x760 x685 x394 x7 x494 x309 x104 x86 x370 x429 x475 x424 x707 x395 x170 x11 x690 x174 x8 x495 x87 x105 x708 x83 x430 x371 x476 x642 x1127 x12 x175 x668 x691 x896 x310 x171 x396 x461 x192 x9 x496 x311 x106 x193 x84 x431 x372 x477 x643 x267 x381 x709 x1014 x254 x283 x298 x210 x664 x688 x397 x172 x194 x497 x735 x284 x211 x958 x299 x432 x763 x561 x108 x821 x711 x373 x836 x761 x779 x1190 x1070 x196 x388 x764 x287 x301 x212 x499 x13 x500 x274 x416 x435 x185 x900 x14 x109 x318 x712 x1151 x901 x260 x601 x437 x15 x199 x502 x110 x319 x375 x866 x1115 x242 x153 x713 x261 x602 x438 x16 x827 x111 x714 x277 x768 x752 x1179 x787 x200 x320 x376 x671 x293 x903 x1153 x17 x112 x1074 x201 x155 x715 x278 x504 x1180 x868 x244 x1117 x18 x1075 x113 x202 x829 x420 x279 x716 x322 x378 x869 x245 x1118 x754 x770 x789 x19 x203 x114 x487 x1119 x830 x20 x831 x323 x281 x1077 x756 x816 x773 x790 x191 x907 x972 x507 x772 x21 x115 x508 x1078 x324 x717 x154 x56 x282 x444 x832 x871 x22 x116 x509 x718 x325 x1079 x1185 x818 x792 x672 x675 x445 x1030 x425 x774 x23 x117 x510 x326 x1080 x676 x719 x1142 x873 x1143 x446 x1035 x1159 x272 x910 x58 x24 x118 x1081 x835 x157 x383 x720 x776 x1187 x1188 x251 x1125 x874 x25 x209 x286 x513 x253 x876 x794 x300 x195 x912 x448 x1051 x26 x514 x119 x329 x449 x385 x1146 x722 x837 x450 x877 x1147 x1037 x913 x1161 x27 x723 x120 x330 x288 x386 x679 x677 x1148 x451 x1019 x914 x1162 x467 x28 x289 x331 x915 x948 x453 x1150 x839 x29 x121 x290 x726 x686 x389 x30 x122 x846 x520 x727 x339 x390 x994 x917 x455 x1164 x647 x681 x687 x31 x847 x728 x1091 x123 x221 x408 x1158 x791 x803 x521 x32 x124 x222 x522 x1092 x729 x1166 x919 x457 x584 x33 x125 x730 x523 x342 x223 x684 x393 x458 x920 x1160 x1016 x464 x849 x36 x527 x128 x226 x345 x734 x588 x851 x654 x807 x37 x129 x736 x1099 x227 x926 x1173 x399 x38 x1102 x130 x532 x214 x797 x738 x402 x470 x39 x739 x1103 x853 x131 x176 x692 x403 x215 x533 x798 x348 x40 x534 x740 x132 x349 x854 x472 x404 x799 x693 x230 x367 x471 x1165 x41 x741 x1105 x350 x855 x133 x694 x405 x217 x535 x800 x231 x42 x134 x856 x351 x742 x179 x1167 x232 x473 x294 x695 x43 x135 x858 x353 x743 x538 x234 x1169 x802 x1170 x44 x744 x136 x1109 x354 x539 x235 x178 x181 x804 x1000 x1034 x859 x409 x1171 x1048 x596 x45 x355 x137 x860 x540 x236 x1110 x182 x745 x974 x410 x478 x1172 x1015 x1049 x805 x46 x138 x861 x356 x746 x237 x183 x699 x696 x47 x238 x139 x862 x543 x1112 x413 x357 x747 x806 x480 x1174 x48 x748 x140 x863 x358 x239 x1038 x49 x302 x481 x50 x1072 x656 x77 x51 x360 x483 x1041 x629 x482 x1073 x52 x419 x305 x884 x484 x503 x812 x53 x362 x631 x990 x1043 x306 x485 x54 x146 x263 x421 x660 x1137 x886 x307 x486 x1076 x55 x771 x264 x755 x1138 x887 x147 x265 x889 x1139 x488 x489 x1012 x57 x266 x890 x366 x619 x490 x248 x606 x1140 x149 x249 x1141 x340 x554 x59 x150 x268 x312 x250 x608 x206 x1123 x555 x60 x1082 x269 x1124 x1031 x61 x151 x270 x667 x895 x1145 x641 x314 x62 x152 x1085 x1018 x315 x271 x515 x1191 x780 x63 x781 x1086 x838 x560 x64 x273 x434 x257 x1149 x899 x1054 x628 x65 x1055 x442 x246 x374 x1120 x423 x308 x66 x443 x1056 x670 x67 x1057 x1122 x607 x1042 x68 x1058 x377 x872 x69 x1059 x156 x207 x673 x70 x447 x379 x674 x327 x512 x71 x1062 x252 x380 x1126 x313 x1013 x72 x1063 x159 x757 x328 x73 x1128 x567 x74 x161 x759 x255 x878 x819 x1065 x1129 x1050 x511 x568 x75 x1067 x256 x571 x1130 x945 x76 x163 x1068 x1131 x518 x762 x165 x454 x332 x519 x883 x683 x80 x168 x189 x81 x169 x190 x363 x336 x82 x296 x460 x127 x526 x297 x1001 x528 x341 x572 x732 x344 x400 x733 x737 x88 x407 x967 x1028 x537 x1046 x89 x177 x595 x90 x583 x969 x848 x91 x92 x180 x411 x474 x93 x412 x697 x542 x1017 x587 x94 x698 x598 x795 x95 x414 x544 x911 x96 x415 x700 x184 x545 x97 x888 x462 x904 x937 x953 x905 x971 x954 x103 x706 x894 x666 x909 x466 x897 x107 x710 x898 x669 x498 x865 x1177 x867 x1116 x243 x441 x505 x793 x880 x220 x582 x585 x651 x126 x34 x343 x525 x586 x999 x465 x35 x850 x1020 x347 x1006 x1008 x592 x593 x844 x1135 x636 x918 x935 x1045 x506 x1011 x158 x1061 x611 x817 x1053 x678 x384 x724 x721 x164 x680 x725 x1069 x334 x959 x530 x1121 x870 x1029 x1152 x902 x1154 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x936 x439 x622 x387 x879 x824 x970 x1098 x401 x531 x648 x536 x624 x1111 x956 x655 x986 x549 x632 x931 x550 x633 x932 x1184 x822 x452 x615 x1087 x960 x1178 x943 x644 x975 x1032 x233 x541 x225 x962 x963 x964 x580 x634 x933 x645 x569 x875 x599 x916 x609 x610 x939 x616 x947 x661 x1060 x1084 x1192 x1088 x815 x1183 x778 x820 x1083 x1189 x1090 x842 x1093 x1094 x1096 x1097 x1100 x1101 x852 x1163 x1108 x808 x1175 x881 x988 x1071 x1089 x1107 x1144 x1176 x1181 x1182 補助データ(meta data) 問題に良い構造がないから難しいよ！ NP困難問題だしなあ データに潜む特徴を活用すれば 上手く解けるんじゃない？ 数理最適化と機械学習を融合しましょう
41. 41 汎用的かつ高性能なアルゴリズムの実現 • 多様な現実問題に適用可能な汎用性の高い組合せ最適化問題(整数計画問題)に 対して、高性能なアルゴリズムを開発したい。 • 整数計画問題はアルゴリズムの性能向上に利用できる構造がない？ • 個々の現実問題の入力データは特徴的な部分の組合せとなる場合がほとんど。 • 入力データの特徴を事前知識として利用できれば、理論的には求解困難でも、 実用では高性能なアルゴリズムを開発できる。 S.Umetani, Exploiting variable associations to configure efficient local search algorithm, European Journal of Operational Research, 263 (2017), 72-81. 同じ制約条件に同時に現れる 頻度が高い変数の組を抽出 変数間の関係を表すネットワーク x1 x98 x809 x701 x141 x765 x749 x784 x365 x662 x2 x186 x810 x99 x303 x275 x291 x247 x204 x766 x825 x750 x785 x142 x663 x148 x702 x241 x1040 x417 x3 x100 x811 x304 x187 x78 x143 x703 x891 x767 x826 x751 x786 x418 x657 x205 x292 x276 x995 x391 x166 x682 x4 x79 x491 x85 x1064 x101 x658 x167 x188 x392 x833 x426 x368 x463 x775 x10 x398 x689 x173 x382 x160 x758 x1186 x144 x704 x892 x665 x5 x102 x813 x705 x492 x369 x893 x828 x769 x753 x788 x145 x659 x427 x834 x997 x6 x493 x1066 x731 x208 x777 x428 x162 x760 x685 x394 x7 x494 x309 x104 x86 x370 x429 x475 x424 x707 x395 x170 x11 x690 x174 x8 x495 x87 x105 x708 x83 x430 x371 x476 x642 x1127 x12 x175 x668 x691 x896 x310 x171 x396 x461 x192 x9 x496 x311 x106 x193 x84 x431 x372 x477 x643 x267 x381 x709 x1014 x254 x283 x298 x210 x664 x688 x397 x172 x194 x497 x735 x284 x211 x958 x299 x432 x763 x561 x108 x821 x711 x373 x836 x761 x779 x1190 x1070 x196 x388 x764 x287 x301 x212 x499 x13 x500 x274 x416 x435 x185 x900 x14 x109 x318 x712 x1151 x901 x260 x601 x437 x15 x199 x502 x110 x319 x375 x866 x1115 x242 x153 x713 x261 x602 x438 x16 x827 x111 x714 x277 x768 x752 x1179 x787 x200 x320 x376 x671 x293 x903 x1153 x17 x112 x1074 x201 x155 x715 x278 x504 x1180 x868 x244 x1117 x18 x1075 x113 x202 x829 x420 x279 x716 x322 x378 x869 x245 x1118 x754 x770 x789 x19 x203 x114 x487 x1119 x830 x20 x831 x323 x281 x1077 x756 x816 x773 x790 x191 x907 x972 x507 x772 x21 x115 x508 x1078 x324 x717 x154 x56 x282 x444 x832 x871 x22 x116 x509 x718 x325 x1079 x1185 x818 x792 x672 x675 x445 x1030 x425 x774 x23 x117 x510 x326 x1080 x676 x719 x1142 x873 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42. 42 まとめ • 大学と進路選択 大学とは？、理学部と工学部の違い、進路選択のアドバイス • 数理工学の紹介 数値解法、数理最適化、信号処理、シミュレーション、機械学習、機械翻訳、 グラフ・ネットワーク、メカニズムデザイン • 数理最適化の紹介 数理最適化による問題解決、最適化問題の定式化、代表的な最適化問題、 応用事例、組合せ最適化問題の難しさ、汎用的かつ高性能なアルゴリズム 皆さんが進路選択を考える上で 少しでも助けになれば幸いです
43. 43 参考文献 • 大学と進路選択 ü アビナッシュ・ディキシット，バリー・ネイルバフ，戦略的思考とは何か，阪急コミュニケーションズ，1991． ü カール・セーガン，COSMOS(上・下)，朝日新聞社，1980． ü ナイルズ・エルドリッジ，進化論裁判，平河出版社，1991． ü 菊池誠，若きエンジニアへの手紙，ダイヤモンド社，1990． ü 内井惣七，うそとパラドックス，講談社，1987． • 数理最適化 ü 梅谷俊治，しっかり学ぶ数理最適化，講談社，2020． ü 岩永二郎，石原響太，西村直樹，田中一樹，Pythonではじめる数理最適化(第2版)，オーム社，2024． ü 中山舜民，マンガでわかる数理最適化，オーム社，2024． • おすすめの本など ü リチャード・P・ファインマン，ご冗談でしょうファインマンさん(上・下)，岩波文庫，2000． ü デイヴィット・サルツブルグ，統計学を拓いた異才たち，日本経済新聞出版社，2006． ü ポール・ホフマン，放浪の天才数学者エルデシュ，草思社，2000． ü 金出武雄，独創はひらめかない，日本経済新聞出版社，2012． ü 結城浩，数学ガール，ソフトバンククリエイティブ，2007． ü ウィリアム・J・クック，驚きの数学：巡回セールスマン問題，青土社，2013． ü スティーブン・D・レヴィット他，ヤバい経済学，東洋経済新聞社，2007． ü 池谷裕二，糸井重里，海馬/脳は疲れない，朝日新聞社，2002． ü ヨビノリたくみ，予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」https://www.youtube.com/@yobinori