2026年度秋学期　画像情報処理　第1部・画像のサンプリングと周波数／第2回　結像と空間周波数，フーリエ級数

足されるのは，どの三角関数？周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す波長 L /(1.5) 合わない → 波が進むとずれていってしまうから足してはいけない波長 L/2 合う→足す波長 L/3 合う→足す … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限る。 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 15 21

周期関数を分解ここからは１次元の波で考えるもし，この周期関数が，三角関数の周期（の長さ）L 周期関数和で書けるとしたら？ … 波長 L …

足されるのは，どの三角関数？周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す波長 L /(1.5) 合わない → 波が進むとずれていってしまうから足してはいけない波長 L/2 合う→足す波長 L/3 合う→足す … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限る。無限個の波の足し合わせだが，足し算（級数）で書ける。 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 15 21

「無限個だが，足し算で書ける」周期 L 周期関数 f(x) … … 周期関数 f(x)が，三角関数の和で書けるとしたら，足されるのは波長

L f(x) = + 波長 L/n 波長 L/3 波長 L/2 + +…+ +… 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

「無限個だが，足し算で書ける」周期 L 周期関数 f(x) … … 周期関数 f(x)が，三角関数の和で書けるとしたら，足されるのは波長

L f(x) = + 波長 L/n 波長 L/3 波長 L/2 + +…+ +… … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限るから，無限個の三角関数を足すのだけれどもこのように「項」を並べることができる 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

「無限個だが，足し算で書ける」周期 L 周期関数 f(x) … … 周期関数 f(x)が，三角関数の和で書けるとしたら，足されるのは波長

L f(x) = + 波長 L/n 波長 L/3 波長 L/2 + +…+ +… … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限るから，無限個の三角関数を足すのだけれどもこのように「項」を並べることができる「級数」という 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

波の進み方を「角度」で表す ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない L / n 波長 n / L 単位長さあたり

何周期ぶんの波が入っているか［周波数］波長 L / 2 L = 0.5[mm]とすると波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 21

波の進み方を「角度」で表す ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない L / n 波長 n / L 単位長さあたり

何周期ぶんの波が入っているか［周波数］波長 L / 2 L = 0.5[mm]とすると波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 2π(n / L) 単位長さあたり位相（角度）が何ラジアン進むか［角周波数］ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 21

波の進み方を「角度」で表す ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない L / n 波長 n / L 単位長さあたり

何周期ぶんの波が入っているか［周波数］波長 L / 2 L = 0.5[mm]とすると波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 2π(n / L) 単位長さあたり位相（角度）が何ラジアン進むか［角周波数］ 1周=360度=2πラジアン 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 21

波の進み方を「角度」で表す ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない L / n 波長 n / L 単位長さあたり

何周期ぶんの波が入っているか［周波数］波長 L / 2 L = 0.5[mm]とすると波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 2π(n / L) 単位長さあたり位相（角度）が何ラジアン進むか［角周波数］ 1[mm] あたり 2π(2 / L) = 2π ×4[rad] だけ角度が進む 1周=360度=2πラジアン 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 21

波の進み方を「角度」で表す ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない L / n 波長波長 L / 2

n / L 単位長さあたり何周期ぶんの波が入っているか［周波数］ L = 0.5[mm]とすると波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 2π(n / L) 単位長さあたり位相（角度）が何ラジアン進むか［角周波数］ 1[mm] あたり 2π(2 / L) = 2π ×4[rad] だけ角度が進む 1周=360度=2πラジアンラジアン？ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 21

ラジアン（弧度法）半径 1 半径1の円の円周の長さは 2π 45° この角度を，対応する円周の長さで表す 2026年度秋学期

ラジアン（弧度法）半径 1 半径1の円の円周の長さは 2π 45° この角度を，対応する円周の長さで表す 45°=

1周の1/8 だから，ラジアンであらわすと 2π × (1/8) = π / 4 (rad) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 21

ラジアン（弧度法）半径 1 半径1の円の円周の長さは 2π 1周=360度=2πラジアン 45° この角度を，対応する円周の長さで表す

45°= 1周の1/8 だから，ラジアンであらわすと 2π × (1/8) = π / 4 (rad) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 21

周期関数＝三角関数の級数 1 2 n f(x) = a0 + a1 cos(2π

x) + a2 cos(2π x) + … + an cos(2π x) + … L L L 波長 L 波長 L/2 波長 L/n 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 21

周期関数＝三角関数の級数 1 2 n f(x) = a0 + a1 cos(2π

x) + a2 cos(2π x) + … + an cos(2π x) + … L L L 波長 L 波長 L/2 波長 L/n なのですが… 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 21

周期関数＝三角関数の級数 1 2 n f(x) = a0 + a1 cos(2π

x) + a2 cos(2π x) + … + an cos(2π x) + … L L L 波長 L 波長 L/2 波長 L/n なのですが… 三角関数は計算が面倒。 1 cos x cos y = {cos(x + y) + cos(x − y)} 2 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 21

周期関数＝三角関数の級数 1 2 n f(x) = a0 + a1 cos(2π

x) + a2 cos(2π x) + … + an cos(2π x) + … L L L 波長 L 波長 L/2 波長 L/n なのですが… 三角関数は計算が面倒。 1 cos x cos y = {cos(x + y) + cos(x − y)} 2 指数関数なら計算が簡単 x y a a =a x+y 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 21

周期関数＝三角関数の級数 1 2 n f(x) = a0 + a1 cos(2π

x) + a2 cos(2π x) + … + an cos(2π x) + … L L L 波長 L 波長 L/2 波長 L/n なのですが… 三角関数は計算が面倒。 1 cos x cos y = {cos(x + y) + cos(x − y)} 2 指数関数なら計算が簡単 x y a a =a x+y かけ算＝指数の足し算 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 21

三角関数と指数関数の関係オイラーの式 exp(iω) = cos ω + i sin ω

三角関数と指数関数の関係 i 2 = − 1 虚数単位オイラーの式 exp(iω) =

cos ω + i sin ω 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

三角関数と指数関数の関係 i 2 = − 1 虚数単位オイラーの式 exp(iω) =

cos ω + i sin ω exp(iω) − exp(−iω) exp(iω) + exp(−iω) , sin ω = cos ω = 2 2i 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

三角関数と指数関数の関係 i 2 = − 1 虚数単位オイラーの式 exp(iω) =

cos ω + i sin ω exp(iω) − exp(−iω) exp(iω) + exp(−iω) , sin ω = cos ω = 2 2i 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

三角関数と指数関数の関係 i 2 = − 1 虚数単位オイラーの式 exp(iω) =

cos ω + i sin ω exp(iω) − exp(−iω) exp(iω) + exp(−iω) , sin ω = cos ω = 2 2i exp(x) = e x 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

三角関数と指数関数の関係 i 2 = − 1 虚数単位オイラーの式 exp(iω) =

cos ω + i sin ω exp(iω) − exp(−iω) exp(iω) + exp(−iω) , sin ω = cos ω = 2 2i exp(x) = e x x (e )′ = e x 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

三角関数と指数関数の関係 i 2 = − 1 虚数単位オイラーの式 exp(iω) =

cos ω + i sin ω exp(iω) − exp(−iω) exp(iω) + exp(−iω) , sin ω = cos ω = 2 2i exp(x) = e x x (e )′ = e x 微分しても変わらない 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

三角関数と指数関数の関係 i 2 = − 1 虚数単位オイラーの式 exp(iω) =

cos ω + i sin ω exp(iω) − exp(−iω) exp(iω) + exp(−iω) , sin ω = cos ω = 2 2i exp(x) = e x x (e )′ = e x 微分しても変わらない e = 2.71828... 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

三角関数と指数関数の関係 i 2 = − 1 虚数単位オイラーの式 exp(iω) =

cos ω + i sin ω exp(iω) − exp(−iω) exp(iω) + exp(−iω) , sin ω = cos ω = 2 2i exp(x) = e x x (e )′ = e ひとつの三角関数＝波は，正負の周波数をもつ指数関数の組で表される x 微分しても変わらない e = 2.71828... 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

三角関数と指数関数の関係 i 2 = − 1 虚数単位オイラーの式 exp(iω) =

cos ω + i sin ω exp(iω) − exp(−iω) exp(iω) + exp(−iω) , sin ω = cos ω = 2 2i exp(x) = e x x (e )′ = e ひとつの三角関数＝波は，正負の周波数をもつ指数関数の組で表される x 微分しても変わらない e = 2.71828... 「周波数がマイナス」というのはヘンだが，プラスの周波数とマイナスの周波数のペアでひとつの波になる 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

つづきは n n 波長 L / n の波は exp(i2π x)

と exp(−i2π x) の組 L L 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせてプラスもマイナスも∞（プラスとマイナスの組で1つの波だから） n f (x) = an exp i2π x L n=−∞ ∞ という級数で書ける 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 21

つづきは n n 波長 L / n の波は exp(i2π x)

と exp(−i2π x) の組 L L 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせてプラスもマイナスも∞（プラスとマイナスの組で1つの波だから） n f (x) = an exp i2π x L n=−∞ ∞ という級数で書けるはず。 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 21

つづきは n n 波長 L / n の波は exp(i2π x)

と exp(−i2π x) の組 L L 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせてプラスもマイナスも∞（プラスとマイナスの組で1つの波だから） n f (x) = an exp i2π x L n=−∞ ∞ これがフーリエ級数なんですが，という級数で書けるはず。 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 21

つづきは n n 波長 L / n の波は exp(i2π x)

と exp(−i2π x) の組 L L 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせてプラスもマイナスも∞（プラスとマイナスの組で1つの波だから） n f (x) = an exp i2π x L n=−∞ ∞ という級数で書けるはず。これがフーリエ級数なんですが，この係数はどうやって求めるの？ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 21

つづきは n n 波長 L / n の波は exp(i2π x)

と exp(−i2π x) の組 L L 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせてプラスもマイナスも∞（プラスとマイナスの組で1つの波だから） n f (x) = an exp i2π x L n=−∞ ∞ という級数で書けるはず。これがフーリエ級数なんですが，この係数はどうやって求めるの？続きは次回。 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 21

2026年度秋学期 画像情報処理 第1部・画像のサンプリングと周波数 ／ 第2回 結像と空間周...

2026年度秋学期 画像情報処理 第1部・画像のサンプリングと周波数 ／ 第2回 結像と空間周波数，フーリエ級数

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2026年度秋学期　画像情報処理　第1部・画像のサンプリングと周波数／第2回　結像と空間周...

2026年度秋学期　画像情報処理　第1部・画像のサンプリングと周波数／第2回　結像と空間周波数，フーリエ級数