2026年度秋学期　画像情報処理　第1部・画像のサンプリングと周波数／第4回　フーリエ変換とサンプリング定理

2026年度秋学期画像情報処理第1部・画像のサンプリングと周波数／第4回フーリエ変換とサンプリング定理関西大学総合情報学部浅野晃

サンプリングとサンプリング定理🤔🤔

サンプリングとサンプリング定理連続関数を輝度f(x) f(x) サンプリング位置x x 2026年度秋学期画像情報処理／
関西大学総合情報学部浅野晃 3 21

サンプリングとサンプリング定理連続関数を離散的に輝度f(x) f(x) サンプリング位置x x 2026年度秋学期画像情報処理
／関西大学総合情報学部浅野晃 3 21

サンプリングとサンプリング定理連続関数を離散的に輝度f(x) f(x) サンプリング位置x x サンプリング定理 2026年度秋学期
画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 3 21

サンプリングとサンプリング定理連続関数を離散的に輝度f(x) f(x) サンプリング位置x x サンプリング定理ある程度細かい間隔でサンプリングすれば，もとの連続関数に戻せる
2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 3 21

どのくらい細かくなければならないかは，もとの関数に含まれる最高の周波数による 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 3 21

どのくらい細かくなければならないかは，もとの関数に含まれる最高の周波数による「細かい」関数は細かくサンプリング 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 3 21

サンプリング定理・直観的には fT(x) サンプリングされた関数連続関数に復元 x 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野
晃 4 21

サンプリング定理・直観的には fT(x) fT(x) サンプリングされた関数これが正解？連続関数に復元 x x 2026年度秋学期画像情報処理

サンプリング定理・直観的には fT(x) fT(x) サンプリングされた関数これが正解？ x 連続関数に復元 fT(x) x これだって
正解じゃないの？ x 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 4 21

サンプリング定理・直観的には fT(x) fT(x) サンプリングされた関数これが正解？ x 連続関数に復元 fT(x) x これだって
正解じゃないの？ x もしこのような細かい動きが正解だとすれば，細かい動きをとらえるにはサンプリングが粗すぎる，つまり元の連続関数の最高の周波数に対して十分細かくサンプリングされていない 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 4 21

サンプリングとは連続関数を離散的に輝度f(x) f(x) サンプリング位置x x 2026年度秋学期画像情報処理

サンプリングとは連続関数を離散的に輝度f(x) f(x) サンプリング位置x x この１本１本は何？ 2026年度秋学期
画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 5 21

サンプリングとは連続関数を離散的に輝度f(x) f(x) サンプリング位置x x この１本１本は何？ディラックのデルタ関数
δ(x) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 5 21

ディラックのデルタ関数 δ(x) x = 0 の１点以外すべてゼロ δ(x) = 0 (x
= 0), ∞ δ(x)dx = 1 −∞ x = 0 をはさんで積分すると1 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 6 21

= 0), ∞ δ(x)dx = 1 −∞ x = 0 をはさんで積分すると1 何ですかこれ？？😲😲 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 6 21

積分って何でしたっけ f(x) この面積を求めたい a 0 x 短冊の面積の合計 f(x) 幅が
Δx の長方形で近似 n−1 f (k∆x)∆x a f (x)dx これが積分 k=0 0 Δx 2Δx nΔx x Δx → 0 区切りを無限に細かく 0 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 7 21

積分って何でしたっけ 🤔🤔💬💬 f(x) しかし，デルタ関数は１点以外すべてゼロで幅はないから面積もないはず… この面積を求めたい a 0
x 短冊の面積の合計 f(x) 幅が Δx の長方形で近似 n−1 f (k∆x)∆x a f (x)dx これが積分 k=0 0 Δx 2Δx nΔx x Δx → 0 区切りを無限に細かく 0 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 7 21

= 0), ∞ δ(x)dx = 1 −∞ x = 0 をはさんで積分すると1 幅はなくても面積はあるんです。だから，こんな「↑」で表さざるを得ない 0 x 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 8 21

= 0), ∞ δ(x)dx = 1 −∞ x = 0 をはさんで積分すると1 高さは，何だともいえない幅はなくても面積はあるんです。だから，こんな「↑」で表さざるを得ない 0 x 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 8 21

= 0), ∞ δ(x)dx = 1 −∞ x = 0 をはさんで積分すると1 高さは，何だともいえない（「無限」でもない。なぜなら→ ∞ kδ(x)dx = k −∞ 幅はなくても面積はあるんです。だから，こんな「↑」で表さざるを得ない 0 x 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 8 21

くし形関数 combT(x) とサンプリングくし形関数 combT (x) = ∞ n=−∞
δ(x–T) δ(x − nT ) デルタ関数を等間隔に並べたもの δ(x) δ(x–nT) ... ... ... x T サンプリング周期 T サンプリング周波数 1/T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 21

δ(x–T) δ(x − nT ) デルタ関数を等間隔に並べたもの δ(x) δ(x–nT) ... ... ... x T サンプリング周期 T サンプリング周波数 1/T サンプリングとは，くし形関数とのかけ算 fT (x) = f (x)combT (x) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 21

δ(x–T) δ(x − nT ) デルタ関数を等間隔に並べたもの δ(x) δ(x–nT) ... ... ... x T サンプリング周期 T サンプリング周波数 1/T サンプリングとは，くし形関数とのかけ算 fT (x) = f (x)combT (x) 輝度f(x) 位置x 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 21

δ(x–T) δ(x − nT ) デルタ関数を等間隔に並べたもの δ(x) δ(x–nT) ... ... ... x T サンプリング周期 T サンプリング周波数 1/T サンプリングとは，くし形関数とのかけ算 fT (x) = f (x)combT (x) 輝度f(x) δ(x–T) δ(x) × 位置x δ(x–nT) ... ... ... x T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 21

δ(x–T) δ(x − nT ) デルタ関数を等間隔に並べたもの δ(x) δ(x–nT) ... ... ... x T サンプリング周期 T サンプリング周波数 1/T サンプリングとは，くし形関数とのかけ算 fT (x) = f (x)combT (x) fT(x) 輝度f(x) δ(x–T) δ(x) × 位置x δ(x–nT) ... ... ＝ ... x x T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 21

こんなややこしい関数でなければいけないディラックのデルタ関数ではなく，「縦棒」を並べて，くし形関数にしてはだめ？ δ(x) = 0 (x = 0) 1
(x = 0) 1 ... ... ... x 0 T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 10 21

(x = 0) 1 ... ... だめです🙅🙅 ... x 0 T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 10 21

(x = 0) 1 ... ... だめです🙅🙅 ... x 0 T 縦棒の関数は，幅がなくて高さ1だから，積分したらゼロ →画像の輝度の合計がゼロのはずはない 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 10 21

(x = 0) 1 ... ... だめです🙅🙅 ... x 0 T 縦棒の関数は，幅がなくて高さ1だから，積分したらゼロ →画像の輝度の合計がゼロのはずはないディラックのデルタ関数は，幅がないのに積分したら1 というヘンな関数（超関数） 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 10 21

(x = 0) 1 ... ... だめです🙅🙅 ... x 0 T 縦棒の関数は，幅がなくて高さ1だから，積分したらゼロ →画像の輝度の合計がゼロのはずはないディラックのデルタ関数は，幅がないのに積分したら1 というヘンな関数（超関数） ※ただ，こういうややこしい話になっているのは，「積分」をもとに考えを進めているからでもあります。そのあたりは，次回の「離散フーリエ変換」で説明します。 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 10 21

サンプリングされたら，周波数の範囲は？輝度f(x) f(x) サンプリング位置x 周波数がある範囲内におさまっているとき x サンプリングした後の周波数の範囲は？ 2026年度秋学期画像情報処理

サンプリングされたら，周波数の範囲は？輝度f(x) f(x) サンプリング位置x 周波数がある範囲内におさまっているとき x サンプリングした後の周波数の範囲は？サンプリングされた関数である fT(x)
のフーリエ変換を求める 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 21

のフーリエ変換を求める fT (x) = f (x)combT (x) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 21

のフーリエ変換を求める fT (x) = f (x)combT (x) ２つの関数のかけ算のフーリエ変換は？ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 21

かけ算のフーリエ変換こうなります F T [f (x)g(x)](ν) = F T [f
(x)](ν) ∗ F T [g(x)](ν) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 21

(x)](ν) ∗ F T [g(x)](ν) かけ算のフーリエ変換 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 21

(x)](ν) ∗ F T [g(x)](ν) かけ算のフーリエ変換フーリエ変換と 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 21

(x)](ν) ∗ F T [g(x)](ν) かけ算のフーリエ変換フーリエ変換とフーリエ変換の 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 21

(x)](ν) ∗ F T [g(x)](ν) かけ算のフーリエ変換フーリエ変換とフーリエ変換の？？？🤔🤔 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 21

(x)](ν) ∗ F T [g(x)](ν) かけ算のフーリエ変換フーリエ変換とフーリエ変換の？？？🤔🤔 ＊は，コンヴォリューション（畳み込み）といいます 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 21

(x)](ν) ∗ F T [g(x)](ν) かけ算のフーリエ変換フーリエ変換とフーリエ変換の？？？🤔🤔 ＊は，コンヴォリューション（畳み込み）といいます [ f ∗ g](t) = ∞ ∫−∞ f(y)g(t − y)dy 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 21

(x)](ν) ∗ F T [g(x)](ν) かけ算のフーリエ変換フーリエ変換とフーリエ変換の？？？🤔🤔 ＊は，コンヴォリューション（畳み込み）といいます [ f ∗ g](t) = ∞ ∫−∞ f(y)g(t − y)dy その意味は，少し後で… 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 21

サンプリングされた関数のフーリエ変換つまり F T [fT (x)](ν) = F T [f
(x)](ν) ∗ F T [combT (x)](ν) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 21

(x)](ν) ∗ F T [combT (x)](ν) サンプリングされた関数のフーリエ変換は 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 21

(x)](ν) ∗ F T [combT (x)](ν) サンプリングされた関数のフーリエ変換はもとの関数のフーリエ変換と 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 21

(x)](ν) ∗ F T [combT (x)](ν) サンプリングされた関数のフーリエ変換はもとの関数のフーリエ変換とくし形関数のフーリエ変換の 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 21

(x)](ν) ∗ F T [combT (x)](ν) サンプリングされた関数のフーリエ変換はもとの関数のフーリエ変換とくし形関数のフーリエ変換のコンヴォリューション 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 21

(x)](ν) ∗ F T [combT (x)](ν) サンプリングされた関数のフーリエ変換はもとの関数のフーリエ変換とくし形関数のフーリエ変換のコンヴォリューションくし形関数のフーリエ変換は 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 21

(x)](ν) ∗ F T [combT (x)](ν) サンプリングされた関数のフーリエ変換はもとの関数のフーリエ変換とくし形関数のフーリエ変換のコンヴォリューションくし形関数のフーリエ変換は 1 F T [combT (x)](ν) = comb1/T (ν) T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 21

(x)](ν) ∗ F T [combT (x)](ν) サンプリングされた関数のフーリエ変換はもとの関数のフーリエ変換とくし形関数のフーリエ変換のコンヴォリューションくし形関数のフーリエ変換は 1 F T [combT (x)](ν) = comb1/T (ν) T くし形関数のフーリエ変換はくし形関数，ただし間隔が逆数 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 21

くし形関数とのコンヴォリューション F T [fT (x)](ν) = F T [f (x)](ν)
∗ F T [combT (x)](ν) サンプリングされた関数のフーリエ変換はもとの関数のフーリエ変換とくし形関数のフーリエ変換のコンヴォリューション 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 21

∗ F T [combT (x)](ν) サンプリングされた関数のフーリエ変換はもとの関数のフーリエ変換とくし形関数のフーリエ変換のコンヴォリューション「くし形関数とのコンヴォリューション」とは？ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 21

∗ F T [combT (x)](ν) サンプリングされた関数のフーリエ変換はもとの関数のフーリエ変換とくし形関数のフーリエ変換のコンヴォリューション「くし形関数とのコンヴォリューション」とは？「デルタ関数とのコンヴォリューション」を並べたもの 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 21

さて，コンヴォリューションとは [ f ∗ g](t) = コンヴォリューションの t での値は ∞
∫−∞ f(y)g(t − y)dy 関数 f と関数 g を t だけずらして重ねたときの，重なりの面積 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 15 21

さて，コンヴォリューションとは [ f ∗ g](t) = コンヴォリューションの t での値は ∞
∫−∞ f(y)g(t − y)dy 関数 f と関数 g を t だけずらして重ねたときの，重なりの面積【参考リンク】のサイトを使って説明します。 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 15 21

デルタ関数とのコンヴォリューションある何かの関数 f(t) [ f ∗ g](t) = ∞ ∫−∞
f(y)g(t − y)dy デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

デルタ関数とのコンヴォリューションある何かの関数 f(t) [ f ∗ g](t) = ∞ ∫−∞
f(y)g(t − y)dy デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ t = 0のとき 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

デルタ関数とのコンヴォリューションある何かの関数 f(t) [ f ∗ g](t) = t =
0のとき ∞ ∫−∞ [ f ∗ δ](t) |t=0 = ∞ ∫−∞ f(y)g(t − y)dy デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ f(y)δ(0 − y)dy 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

0のとき ∞ ∫−∞ [ f ∗ δ](t) |t=0 = ∞ ∫−∞ f(y)g(t − y)dy デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ f(y)δ(0 − y)dy y = 0 のとき以外は積分に無関係 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

0のとき ∞ ∫−∞ [ f ∗ δ](t) |t=0 = ∞ ∫−∞ f(y)g(t − y)dy デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ f(y)δ(0 − y)dy y = 0 のとき以外は積分に無関係デルタ関数を積分するとある何かの関数 f(t) f(t) y = 0 のときだけ 1 0 t 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

0のとき ∞ ∫−∞ [ f ∗ δ](t) |t=0 = ∞ ∫−∞ f(y)g(t − y)dy デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ f(y)δ(0 − y)dy y = 0 のとき以外は積分に無関係デルタ関数を積分するとある何かの関数 f(t) f(t) y = 0 のときだけ 1 f (0) が取り出される 0 t 0 t 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

0のとき ∞ ∫−∞ [ f ∗ δ](t) |t=0 = ∞ ∫−∞ f(y)g(t − y)dy デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ f(y)δ(0 − y)dy t = 1のとき y = 0 のとき以外は積分に無関係デルタ関数を積分するとある何かの関数 f(t) f(t) y = 0 のときだけ 1 f (0) が取り出される 0 t 0 t 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

0のとき ∞ ∫−∞ [ f ∗ δ](t) |t=0 = ∞ ∫−∞ f(y)g(t − y)dy デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ f(y)δ(0 − y)dy t = 1のとき [ f ∗ δ](t) |t=1 = ∞ ∫−∞ f(y)δ(1 − y)dy y = 0 のとき以外は積分に無関係デルタ関数を積分するとある何かの関数 f(t) f(t) y = 0 のときだけ 1 f (0) が取り出される 0 t 0 t 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

0のとき ∞ ∫−∞ [ f ∗ δ](t) |t=0 = ∞ ∫−∞ f(y)g(t − y)dy デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ f(y)δ(0 − y)dy t = 1のとき y = 0 のとき以外は積分に無関係 [ f ∗ δ](t) |t=1 = ∞ ∫−∞ f(y)δ(1 − y)dy y = 1 のとき以外は積分に無関係デルタ関数を積分するとある何かの関数 f(t) f(t) y = 0 のときだけ 1 f (0) が取り出される 0 t 0 t 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

0のとき ∞ ∫−∞ [ f ∗ δ](t) |t=0 = ∞ ∫−∞ f(y)g(t − y)dy デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ f(y)δ(0 − y)dy [ f ∗ δ](t) |t=1 = t = 1のとき y = 0 のとき以外は積分に無関係ある何かの関数 f(t) f(t) ∫−∞ f(y)δ(1 − y)dy y = 1 のとき以外は積分に無関係デルタ関数を積分するとデルタ関数は積分すると y = 0 のときだけ 1 y = 1 のときだけ1 f (0) が取り出される 0 ∞ t 0 t f(t) 0 t 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 21

0のとき ∞ ∫−∞ [ f ∗ δ](t) |t=0 = ∞ ∫−∞ f(y)g(t − y)dy デルタ関数はここが0のとき以外はゼロ → 積分してもゼロ f(y)δ(0 − y)dy [ f ∗ δ](t) |t=1 = t = 1のとき y = 0 のとき以外は積分に無関係ある何かの関数 f(t) f(t) ∫−∞ f(y)δ(1 − y)dy y = 1 のとき以外は積分に無関係デルタ関数を積分するとデルタ関数は積分すると y = 0 のときだけ 1 y = 1 のときだけ1 f (0) が取り出される 0 ∞ t 0 t f(t) 0 t f (1) が取り出される 0 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 t 16 21

デルタ関数とのコンヴォリューション f(t) t = α のとき， f(α)が取り出される 0 t 0
t 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 21

t つまり 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 21

t つまり f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは，f(x) 自身 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 21

デルタ関数とのコンヴォリューション f(t) t = α のとき， f(α)が取り出される t 0 t
0 つまり f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは，f(x) 自身 f(t) ＊ 0 t = 0 t f(t) 0 t 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 21

デルタ関数とのコンヴォリューション f(t) t = α のとき， f(α)が取り出される t 0 t
0 つまり f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは，f(x) 自身 f(t) ＊ 0 t = 0 t 画像の「ぼけ」は，画像と「ぼけ関数」とのコンヴォリューション f(t) 0 t 画像の各点をデルタ関数と考えると，各点に「ぼけ関数」が重ねられている【参考リンク】で説明します。 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 21

くし形関数とのコンヴォリューション f(t) ＊ 0 t = 0 t f(t) f(x)
とデルタ関数のコンヴォリューションは，f(x) 自身 0 t 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 21

とデルタ関数のコンヴォリューションは，f(x) 自身 0 t くし形関数は，デルタ関数が等間隔に並んでいる 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 21

とデルタ関数のコンヴォリューションは，f(x) 自身 0 t くし形関数は，デルタ関数が等間隔に並んでいるくし形関数とのコンヴォリューションは，元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 21

くし形関数とのコンヴォリューション f(t) ＊ = t 0 0 t f(t) f(x)
とデルタ関数のコンヴォリューションは，f(x) 自身 0 t くし形関数は，デルタ関数が等間隔に並んでいるくし形関数とのコンヴォリューションは，元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる f(t) 0 t 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 21

くし形関数とのコンヴォリューション f(t) ＊ = t 0 0 t f(t) f(x)
とデルタ関数のコンヴォリューションは，f(x) 自身 0 t くし形関数は，デルタ関数が等間隔に並んでいるくし形関数とのコンヴォリューションは，元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる f(t) ＊ 0 t 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 21

くし形関数とのコンヴォリューション f(t) ＊ = t 0 0 f(t) f(x) とデルタ関数のコンヴォリューションは，f(x)
自身 t 0 t くし形関数は，デルタ関数が等間隔に並んでいるくし形関数とのコンヴォリューションは，元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる f(t) ＊ 0 t t 0 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 21

自身 t 0 t くし形関数は，デルタ関数が等間隔に並んでいるくし形関数とのコンヴォリューションは，元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる f(t) = ＊ 0 t t 0 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 21

自身 t 0 t くし形関数は，デルタ関数が等間隔に並んでいるくし形関数とのコンヴォリューションは，元の関数の「コピー」が等間隔に並んだものになる f(t) = ＊ 0 t t t 0 0 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 21

まとめると・サンプリングとフーリエ変換 FT[f(x)](ν) f(x) フーリエ変換 –νc x νc ν サンプリングフーリエ変換
fT(x) FT[fT(x)](ν) ... ... ν x T 1/T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 21

まとめると・サンプリングとフーリエ変換 FT[f(x)](ν) f(x) フーリエ変換 –νc x νc カットオフ周波数 ν サンプリング
フーリエ変換 fT(x) FT[fT(x)](ν) ... ... ν x T 1/T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 21

フーリエ変換 fT(x) FT[fT(x)](ν) ... ... ν x T 1/T サンプリング間隔 T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 21

フーリエ変換 fT(x) FT[fT(x)](ν) ... ... ν x T サンプリング間隔 T 1/T サンプリング周波数 1/T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 21

周波数空間での間隔 FT[fT(x)](ν) ... FT[fT(x)](ν) ... ... νc –νc ν 1/T
... –νc νc 1/T ν 切り出す切り出す FT[f(x)](ν) –νc νc (a) 2νc ≤ 1 / T ？ ν (b) 2νc > 1 / T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

サンプリング周波数（ 1/T )が，カットオフ周波数の2倍以上細かければ ... –νc νc 1/T ν 切り出す切り出す FT[f(x)](ν) –νc νc (a) 2νc ≤ 1 / T ？ ν (b) 2νc > 1 / T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

サンプリング周波数（ 1/T )が，カットオフ周波数の2倍以上細かければひとつだけ切り出して切り出す ... –νc νc 1/T ν 切り出す FT[f(x)](ν) –νc νc (a) 2νc ≤ 1 / T ？ ν (b) 2νc > 1 / T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

サンプリング周波数（ 1/T )が，カットオフ周波数の2倍以上細かければ切り出す –νc νc 1/T ν 切り出す FT[f(x)](ν) –νc これを逆フーリエ変換して元の関数に戻せるひとつだけ切り出して ... νc (a) 2νc ≤ 1 / T ？ ν (b) 2νc > 1 / T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

サンプリング周波数（ 1/T )が，カットオフ周波数の2倍以上細かければ切り出す –νc νc 1/T ν 切り出す FT[f(x)](ν) –νc これを逆フーリエ変換して元の関数に戻せるひとつだけ切り出して ... νc (a) 2νc ≤ 1 / T ？ ν (b) 2νc > 1 / T サンプリング間隔が粗いと，周波数空間で重なり合ってしまい元には戻せない（エイリアジング） 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20 21

まとめ・サンプリング定理ある関数（画像でも，音声でも）を，それのもつ最大の周波数の２倍以上の細かさでサンプリングしておけば，サンプリングされたもの（ディジタル画像，ディジタル音声）から元の関数（画像や音声）を再現できる例）CDはサンプリング周波数が44.1kHz →22.05kHzまでの音声が記録できる 22.05kHzまでしか含まれていないとわかっているときには正しく記録できる（録音時に，それ以上の周波数の成分が入らないように
しなければならない） 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 21

2026年度秋学期 画像情報処理 第1部・画像のサンプリングと周波数 ／ 第4回 フーリエ変換...

2026年度秋学期 画像情報処理 第1部・画像のサンプリングと周波数 ／ 第4回 フーリエ変換とサンプリング定理

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2026年度秋学期　画像情報処理　第1部・画像のサンプリングと周波数／第4回　フーリエ変換...

2026年度秋学期　画像情報処理　第1部・画像のサンプリングと周波数／第4回　フーリエ変換とサンプリング定理