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Model for a Quantum Hall Effect without Landau ...

Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed-Matter Realization of the “Parity Anomaly” F.D.M.Haldane

六方格子に強束縛された多電子系のホール伝導度
論文紹介

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Kazu Ghalamkari

August 17, 2016
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Transcript

  1. 六方格子に強束縛された多電子系のホール伝導度 Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels:

    Condensed-Matter Realization of the “Parity Anomaly” F.D.M.Haldane 発表:ガラムカリ 和 1
  2. 強束縛模型 1 2 3 この系のハミルトニアン () 底の状態 境界条件 = −

    ෍ ۧ | + 1 ۦ| + ۧ | ۦ + 1| + ෍ ۧ | ۦ| ホッピングのしやすさ 各サイトで粒子の感じる ポテンシャル Hoppingは最隣接間のみ 7 = 1,2, … , ≥ 0 スピンは考えない
  3. 強束縛模型 8 フーリエ変換の定義 | ۧ = 1 ෍ =0 −1

    −| ۧ | ۧ = 1 ෍ | ۧ フーリエ変換後のハミルトニアン = ෍ −2 cos + | ۧ ۦ| = 2 , = 0, … , − 1
  4. エネルギーバンド () = −2 cos + = 1, = 0

    電子のとれる波数は離散的 9
  5. Fermi準位 Fermi準位 基底状態において、電子はバンドの下から埋まっていく = 1, = 0 電子のとれる波数は離散的 10 ε

    電子が 2 個ある。 () = −2 cos + 相互作用のない多粒子系を考える。 電子の入るサイトは個ある。
  6. Hoppingが偶奇で異なる場合 サイト数 (偶数) この系のハミルトニアン = −1 ෍ =0 2 −1

    ( ۧ |2 + 1 ۦ2| + ۧ |2 ۦ2 + 1|) −2 ෍ =0 2−1 ۧ |2 + 2 ۦ2 + 1| + ۧ |2 + 1 ۦ2 + 2| + ෍ =0 −1 | ۧ ۦ| −2 Hoppingは最隣接間のみ 粒子の感じるポテンシャルは 12 −1 −2 −1 −2 −1 −2 −1 −2 −1 サブ格子A サブ格子B 1 2 3 1 > 0 2 > 0 4
  7. Hoppingが偶奇で異なる場合 この系のハミルトニアンのフーリエ変換 H() = − 1 + 2 cos −

    1 − 2 sin 1 − 2 sin + 1 + 2 cos エネルギー固有値 = ± 1 2 + 2 2 + 21 2 (cos2 − sin2 ) 13
  8. Hoppingが偶奇で異なる場合 1 = 2 で金属 1 = 2 = 1,

    = 0 = ± 1 2 + 2 2 + 21 2 (cos2 − sin2 ) 14 電子が 2 個ある
  9. Hoppingが偶奇で異なる場合 1 ≠ 2 でバンド絶縁体 1 = 1, 2 =

    0.5, = 0 バンド構造をみることで、物性を明らかにする 15 電子が 2 個ある = ± 1 2 + 2 2 + 21 2 (cos2 − sin2 ) エネルギーギャップ 2つのバンドの出現はサブ格子がふたつあることに対応
  10. 正方格子 格子点 , に粒子がある状態 | ۧ , 境界条件 | ۧ

    , = | ۧ + , | ۧ , = | ۧ , + = − ෍ ෍ | ۧ , ۦ, + 1| + | ۧ , + 1 ۦ, | + | ۧ , ۦ + 1, | + | ۧ + 1, ۦ, | + ෍ ෍ | ۧ , ۦ, | この系のハミルトニアン サイト数 N2 = ෍ ෍ ( − 2cos − 2 cos ) ൿ | , ൻ , | この系のハミルトニアンのフーリエ変換 Hoppingは最隣接間のみ 17 , = 1,2, … , > 0
  11. 正方格子のHalf-fillingのFermi面 0 2 4 6 19 half fillingのε サイトの半分が埋まる状態 =

    = 0 青と白の境界面=Fermi面 電子の占有する波数を塗りつぶした図 電子が2 2 個ある 2 2 2 2
  12. 六方格子 − 最隣接へのHopping 1 > 0 第2隣接へのHopping 2 ≥ 0

    局所的な磁場を与える。 (系全体の一様磁場は0) , , 方向へのHopping − , − , − 方向へのHopping で粒子の感じるポテンシャル で粒子の感じるポテンシャル− 21 − − − 2 −2 サブ格子A サブ格子B 2 , = 0 六方格子系 2 , ≠ 0 Haldaneモデル
  13. 六方格子 この系のハミルトニアンのフーリエ変換 = 22 cos ∑ cos ⋅ +∑[cos ⋅

    + sin ⋅ ] + − 22 sin ∑ sin ⋅ この系のエネルギー固有値 = 22 cos ∑ cos ⋅ ± ∑ cos ⋅ 2 + ∑ sin ⋅ 2 + − 22 sin ∑ sin ⋅ 2 22
  14. 六方格子のバンド構造 = 0, = 0, 1 = 1, 2 =

    0 特徴的な接し方をしている ディラックポイント 局所的な磁場なし 第2隣接のHoppingなし バンド構造の繰り返しから一部を議論すれば十分 + − 23 − ≤ ≤ − ≤ ≤ /3 ≤ ≤ − 3 ≤ ≤ 3 ± = 2 3 , ± 2 3 3
  15. -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -1 1

    3 = 0, = 0, 1 = 1, 2 = 0でのFermi面 Half-filling 正方格子のHalf-fillingのFermi面と全く異なる 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 24 ディラックポイント − 0 2 2
  16. 相図 27 = 6.5, = /6 = −6.5, = /6

    バンドギャップが出現する
  17. 相図 28 = 3 3 2 , = /6 =

    − 3 3 2 , = /6 − + バンドが閉じる
  18. 相図 29 = 1, = /6 = −1, = /6

    バンドギャップが出現する
  19. ここまでのまとめ 30 + が現れる条件 − が現れる条件 • 相図の曲線上でギャップが消える = ±3

    3 sin が満たされるときはギャップが生じない 絶縁相 量子ホール相1 絶縁相 量子ホール相2
  20. 各相での物性の違い → − − と + 近傍のハミルトニアンから、エネルギー固有値を求める 離散化が起きた。 二次元系に磁場を印加したことによるランダウ準位の出現。 系全体に無限小の一様磁場0

    をかける + 近傍でとれるエネルギー +,± = ± − 3 32 sin 2 + ℏ|0 | − 近傍でとれるエネルギー −,± = ± + 3 32 sin 2 + ℏ|0 | 絶縁体に弱い磁場をかけても 状態はあまり変化しない (複合同順) (複合同順) = 1,2, … 32
  21. まとめ 強束縛模型でHalf-fillingの電子系の議論をした。 • ホッピングが偶奇で異なる1次元模型では、Half- fillingで、1 = 2 で金属、1 ≠ 2

    で絶縁体となる。 • 正方格子系と六方格子系でフェルミ面を比較した。 • Haldaneモデルでは、弱い磁場を与えただけでホー ル伝導度が量子化した。 36
  22. 37

  23. 量子力学の原理 38 局所的な磁場のかけ方 Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ

    Φ Φ Φ Φ Φ න ・ ベクトルポテンシャルがあるときの位相 に比例する △PQRを貫く磁束 = 2Φ + Φ ベクトルポテンシャルの定義 × = を න( × ) ・ = න ・ = න ・ = P Q R 面PQRで面積分
  24. ベクトルポテンシャルが押し付けられる正当性 39 12 = න 1 2 ・ = 12

    + 23 + 31 = ර ・ 1に粒子がいる状態 | ۧ 1 2に粒子がいる状態 | ۧ 2 3に粒子がいる状態 | ۧ 3 12 ۧ 1 ൻ2 + −12 ۧ 2 ൻ1 + 23 ۧ 2 ൻ3 + −23 ۧ 3 ൻ2 + 31 ۧ 3 ൻ1 + −31 | ۧ 1 ൻ3 | ൞ ۧ |1 = 12| ۧ 1 ۧ |3 = −23| ۧ 3 ۧ |2 = | ۧ 2 と定義して、かきかえると ۧ 1 ൻ2 + ۧ 2 ൻ1 + ۧ 3 ൻ2 + ۧ 2 ൻ3 + 31 ۧ 3 ൻ1 + −31 ۧ 1 ൻ3 1 2 3