時間の矢について / Time's arrow

エーレンフェストの壺と不可逆性

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1. 1 28 慶應義塾大学理工学部物理情報工学科 渡辺宙志 2024年1月12日 研究室ミーティング 時間の矢について
2. 2 28 時間の矢とは？ 我々の感じる「時間」は一方向に流れている 過去の記憶はあるが、未来の記憶はない これはなぜだろう？
3. 3 28 時間反転対称性 ミクロな支配方程式は時間反転対称性を持つ 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = 𝐹(𝑥) 例：ニュートンの運動方程式 運動を録画したビデオを逆再生してもどちらが 正方向か区別がつかない 時間に関して二階微分 →もし𝑥(𝑡)が解なら、𝑥(−𝑡)も解
4. 4 28 時間反転対称性 マクロな支配方程式は時間反転非対称性 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 𝐷 𝜕2𝜌 𝜕𝑥2 例：拡散方程式 時間に関して一階微分 →もし𝜌(𝑥, 𝑡)が解でも、𝜌(𝑥, −𝑡)は解にならない 拡散現象を録画したビデオを逆再生したら逆再 生とわかる
5. 5 28 ミクロからマクロへ 水にインクを垂らすと拡散していく 水原子の動き 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = 𝐹(𝑥) 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 𝐷 𝜕2𝜌 𝜕𝑥2 マクロには時間反転非対称 ミクロには時間反転対称
6. 6 28 エーレンフェストの壺 1 2 3 4 5 6 • 2つ壺を用意する • 数字が書かれた玉をN個用意する • 一つの玉をランダムに選んで、その玉をもう一方に移す • 最初は片方にすべての玉を入れておく • 片方の壺の玉の数の時間発展を追う
7. 7 28 エーレンフェストの壺 N=10の場合 ステップ 壺 の 中 の 玉 の 数
8. 8 28 エーレンフェストの壺 N=100の場合 ステップ 壺 の 中 の 玉 の 数
9. 9 28 エーレンフェストの壺 N=1000の場合 ステップ 壺 の 中 の 玉 の 数 どんな状態からスタートしても 玉が半分ずつの状態に収束する
10. 10 28 エーレンフェストの壺 1 2 3 4 5 6 ミクロな操作は可逆 マクロな観測事実は不可逆 時間の矢 どこで時間反転対称性が破れたのか？ ※逆過程が等確率で起きる ※初期条件を忘れる
11. 11 28 玉が1個の場合 玉が一つの場合、右側の壺の状態は二通り 1 玉がない 玉がある
12. 12 28 玉が1個の場合 マルコフ遷移図 1 1 状態がくるくる回ってしまって定常状態にならない (偶数回と奇数回でそれぞれ必ず異なる状態になる) 1
13. 13 28 エーレンフェストの壺(改) 1 2 3 4 5 6 • 2つ壺を用意する • 数字が書かれた玉をN個用意する • 一つの玉をランダムに選んでその玉をもう一方に移すが、 確率ε(0< ε <1)でなにもしない • 最初は片方にすべての玉を入れておく • 片方の壺の玉の数の時間発展を追う
14. 14 28 玉が1個の場合 マルコフ遷移図 1 − 𝜀 同じ状態にとどまる可能性があるため、定常状態が存在する 1 − 𝜀 𝜀 𝜀 1
15. 15 28 確率の時間発展と定常状態 1 tステップ目に玉がない確率 𝑝𝜙 𝑡 𝑝1 𝑡 tステップ目に玉がある確率
16. 16 28 確率の時間発展と定常状態 𝑝𝜙 𝑡+1= 𝜀𝑝𝜙 𝑡 + (1 − 𝜀)𝑝1 𝑡 𝑝1 𝑡+1= (1 − 𝜀)𝑝𝜙 𝑡 + 𝜀𝑝1 𝑡 確率の時間発展 Ԧ 𝑝𝑡 = 𝑝𝜙 𝑡 𝑝1 𝑡 と書くと Ԧ 𝑝𝑡+1 = 𝑀 Ԧ 𝑝𝑡 𝑀 = 𝜀 1 − 𝜀 1 − 𝜀 𝜀 ただし
17. 17 28 確率の時間発展と定常状態 Ԧ 𝑝1 = 𝑀 Ԧ 𝑝0 この𝑀を遷移行列、もしくはマルコフ行列と呼ぶ 確率ベクトルに𝑀をかける→時間が1ステップ進む 無限回かける→(もしあれば)定常状態が得られる Ԧ 𝑝∞ = 𝑀∞ Ԧ 𝑝0 Ԧ 𝑝2 = 𝑀 Ԧ 𝑝1 = 𝑀2 Ԧ 𝑝0 ⋮
18. 18 28 確率の時間発展と定常状態 𝑀 = 𝜀 1 − 𝜀 1 − 𝜀 𝜀 マルコフ行列の最大固有値は1 最大固有値に対応する固有ベクトルが定常状態 Ԧ 𝑝∞ = 𝑀 Ԧ 𝑝∞ もし Ԧ 𝑝∞ が定常状態なら、 𝑀をかけても状態がかわらない に対応する固有ベクトルは Ԧ 𝑝∞ = 1/2 1/2 定常状態は2つの状態が等確率で現れる 1 =
19. 19 28 玉が2個の場合 1 tステップ目に玉がない確率 𝑝𝜙 𝑡 𝑝1 𝑡 tステップ目に玉1がある確率 2 𝑝2 𝑡 tステップ目に玉2がある確率 𝑝12 𝑡 tステップ目に玉1,2がある確率 2 1
20. 20 28 マルコフ遷移図(N=2) 1 2 2 1 𝜀 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 𝜀 𝜀 𝜀
21. 21 28 ミクロな対称性 1 確率1/2で玉1が選ばれ、かつ確率(1 − 𝜀)で玉を移す 1 2 (1 − 𝜀) 1 1 2 (1 − 𝜀) すべての2つの状態間の遷移確率は等しい 全ての過程と逆過程は等確率で起きる →可逆過程
22. 22 28 遷移行列 𝑀 = 𝜀 𝑐 𝑐 0 𝑐 𝜀 0 𝑐 𝑐 0 𝜀 𝑐 0 𝑐 𝑐 𝜀 𝑐 ≡ 1 2 1 − 𝜀 Ԧ 𝑝∞ = 1/4 1/4 1/4 1/4 最大固有値に対応する固有ベクトル 十分時間が経つと、全てのミクロな状態は等確率で出現する →等重率の原理 1 2 2 1 = = =
23. 23 28 粗視化 1 2 = = 玉の数字を見ないことにする 同一視
24. 24 28 粗視化 十分時間がたった後に片方の壺を観察すると 𝑝0 = 1 4 𝑝1 = 1 2 𝑝2 = 1 4 玉がない 玉が1個 玉が2個 1 2 玉が1つ(=N/2)ある状態を観測する確率が最も高くなった
25. 25 28 粗視化：玉がN個の場合 十分時間がたった後に片方の壺を観察すると 玉がない 玉が1個 𝑝0 = 1 2𝑁 𝑝1 = 𝑁 2𝑁 … 玉がn個 𝑝𝑛 = 𝐶𝑛 2𝑁 𝑁 N個の玉がある→ミクロな状態は2𝑁個 n個の玉がある状態→ 𝐶𝑛 個 𝑁
26. 26 28 粗視化：玉がN個の場合 𝑁 = 1000 Nが大きい時にN/2を中心とするガウス分布に収束 玉の数がほぼN/2である状態が観測される 𝑛 𝑝𝑛
27. 27 28 まとめ 現実のこの世界は・・・？ • エーレンフェストの壺はミクロには可逆、マクロには不可逆 • ミクロとは「全ての玉の番号を知っている状態」 • マクロとは「玉の区別をなくした状態」 • ミクロにはすべての状態が等確率で出現する →等重率の原理 • マクロには玉が半分ずつに分かれる状態に収束する →時間の矢 • 古典的には「粗視化」が時間反転対称性を破る
28. 28 28 参考 https://www.gakushuin.ac.jp/~881791/materials/Irreversiblity09.pdf スライドを作成するにあたり以下を参考にさせていただきました (本スライドの誤り、思い違いなどはすべて渡辺の責任です)