Unit propagationと最大流と分枝限定法

競プロ忘年会2018

Transcript

1. Unit propagation と 最大流 と 分枝限定法 @wata_orz 1
2. 自己紹介  東大博士(2016) → 国立情報学研究所（NII） 助教  面白いアルゴリズムを作って遊んでいる 2 ICFPC ◎wata
3. 以下の論文の紹介 0/1/All CSPs, Half-Integral A-Path Packing, and Linear-Time FPT Algorithms. Yoichi Iwata, Yutaro Yamaguchi, Yuichi Yoshida. FOCS 2018 3 コンテストで出るかも！？ ぜひ、実装してね
4. 二部グラフ判定 奇数長の閉路があるか？ 4
5. 二部グラフ判定 5 奇数長の閉路があるか？
6. 二部グラフ判定 6 奇数長の閉路があるか？
7. 二部グラフ判定 7 奇数長の閉路があるか？
8. 二部グラフ判定 8 奇数長の閉路があるか？
9. 二部グラフ判定 9 Even cycle 奇数長の閉路があるか？
10. 二部グラフ判定 10 奇数長の閉路があるか？
11. 二部グラフ判定 11 Odd cycle! 奇数長の閉路があるか？
12. -閉路判定 = 1 , 2 12 1 2 の辺を通る閉路があるか？
13. -閉路判定 13 ∗ 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
14. -閉路判定 14 ∗ 1 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
15. -閉路判定 15 ∗ 1 1 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
16. -閉路判定 16 ∗ 1 1 1 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
17. -閉路判定 17 ∗ 1 1 1 1 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
18. -閉路判定 18 ∗ 1 1 1 1 1 2 を通らない閉路 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
19. -閉路判定 19 ∗ 1 1 1 1 2 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
20. -閉路判定 20 ∗ 1 1 1 1 2 1 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
21. -閉路判定 21 ∗ 1 1 1 1 2 1 2 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
22. -閉路判定 22 ∗ 1 1 1 1 2 1 2 1 2 を通る閉路 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
23. Unit Propagation 一点のラベルを決めると、周りのラベルが連鎖的に 決まって行って、線形時間で矛盾が見つかる手法。 他にも… • = , 上で ⊆ が全部非連結か？ • = + という形の連立方程式 • 2-SAT （線形時間にするのは少し非自明） など様々な問題が解ける 23
24. 判定問題 判定問題 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 24 Unit Propagation で 時間
25. 最適化問題 判定問題 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 25 Unit Propagation で 時間 最適化問題 Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT Noの場合に、出来るだけ少ない頂点（辺）を取り除いてYesにせよ 有名なNP-hard問題
26. 最適化問題 判定問題 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 26 Unit Propagation で 時間 最適化問題 Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT Noの場合に、出来るだけ少ない頂点（辺）を取り除いてYesにせよ 有名なNP-hard問題 大きなギャップ
27. 示したこと = 0 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 27 Unit Propagation で 時間 > Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT 個頂点（辺）を取り除いてYesにせよ Unit Propagation + 最大流の一般化 + 分枝限定法 で (4) 時間 ギャップが消えた！
28. 示したこと = 0 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 28 Unit Propagation で 時間 > Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT 個頂点（辺）を取り除いてYesにせよ Unit Propagation + 最大流の一般化 + 分枝限定法 で (4) 時間 自然な拡張
29. 分枝限定法 LP緩和を解いて、 1. 緩和解が を超えたら枝刈り 2. 整数解なら終了 3. 整数でない変数を選んで、0 or 1 で分岐 29 … 2 良い性質 (half-integrality, persistency) のおかげで、分岐の度に緩和解が 0.5以上増加 22 = (4 ) : LP緩和を解く時間
30. 矛盾ウォーク 分岐等により既にラベルの決まった点集合をとする。 からの unit propagationにより、の二点（同じ場合あり） を結ぶウォーク型の矛盾が見つかる。 30 二部グラフ？ 矛盾!
31. LP緩和 を矛盾ウォーク全体の集合とする。 minimize:→ℝ≥0 ෍ s. t. ෍ ∈() ≥ 1 (∀ ∈ ) 31 0.5 1 0.5
32. 双対LP 矛盾ウォーク詰め込み問題 maximize:→ℝ≥0 ෍ s. t. ෍ :∈() ≤ 1 (∀ ∈ ) 32 1 0.5 0.5
33. LP緩和の解き方 増大路あり ⇒ フローを増大 増大路なし ⇒ 同じ大きさのカットが得られる () time (Ford–Fulkerson) 33 Max flow Min cut 双対 増大路あり ⇒ 矛盾詰め込みを増大 増大路なし ⇒ 同じ大きさのLP緩和解が得られる () time 矛盾詰め込み LP緩和 双対
34. 増大路 34 二部グラフ？ 大きさ１の詰め込み
35. 増大路 35 矛盾判定 alternating path
36. 増大路 36 alternating path 矛盾
37. 増大路 37 増大路 矛盾 矛盾 XORを取る
38. 増大路 38 大きさ2の詰め込み
39. 増大ペア 39 大きさ１の詰め込み
40. 40 2つの矛盾する alternating paths wheel を作成 矛盾 増大ペア
41. 増大ペア 41 3つの重み0.5の矛盾ウォークの和 wheel
42. 増大路その２ 42 wheel
43. 増大路その２ 43 alternating path wheelを分解 wheel
44. 増大路その２ 44 大きさ2の詰め込み
45. 主LP解の構築 最小カットの構築： 最後の増大路探索（失敗）で到達 できた点と到達出来なかった点の境目の辺を選ぶ 主LP解の構築：最後の増大路探索（失敗）で到達出 来た辺と到達出来なかった辺の境目の点を 0.5 or 1 にする 45 0.5 0.5 alternating paths
46. 主LP解の構築 最小カットの構築： 最後の増大路探索（失敗）で到達 できた点と到達出来なかった点の境目の辺を選ぶ 主LP解の構築：最後の増大路探索（失敗）で到達出 来た辺と到達出来なかった辺の境目の点を 0.5 or 1 にする 46 1 alternating paths
47. 主LP解の構築 最小カットの構築： 最後の増大路探索（失敗）で到達 できた点と到達出来なかった点の境目の辺を選ぶ 主LP解の構築：最後の増大路探索（失敗）で到達出 来た辺と到達出来なかった辺の境目の点を 0.5 or 1 にする 47 wheel 0.5 alternating paths
48. 例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 48
49. 例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 49 大きさ 3.5 の詰め込み
50. 例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 50 増大路探索に 失敗
51. 例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 51 大きさ 3.5 のLP緩和解 0.5 1
52. 例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 52 この頂点で分岐 0.5 1
53. 例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 53 1 大きさ 4 の整数解
54. まとめ = 0 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 54 Unit Propagation で 時間 > Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT 個頂点（辺）を取り除いてYesにせよ Unit Propagation + 最大流の一般化 + 分枝限定法 で (4) 時間