Upgrade to Pro
— share decks privately, control downloads, hide ads and more …
Speaker Deck
Features
Speaker Deck
PRO
Sign in
Sign up for free
Search
Search
Strassenのアルゴリズムによる行列積の計算 /strassen-algorithm
Search
Miyakawa Taku
December 27, 2017
Programming
8
3.2k
Strassenのアルゴリズムによる 行列積の計算 /strassen-algorithm
このスライドの著者は宮川拓です。
CC BY 3.0 Licenseの元に利用を許諾します。
Miyakawa Taku
December 27, 2017
Tweet
Share
More Decks by Miyakawa Taku
See All by Miyakawa Taku
入門: 末尾呼び出し最適化 /tail-call-elimination-intro
miyakawataku
2
2.3k
JVM言語の動き方・動かし方 /make-jvm-lang
miyakawataku
6
2.1k
Java SE 8から11で何が起きた?一気におさらいしてみよう! /java-se-8-to-11
miyakawataku
15
5.2k
ミニバッチサイズと学習率の関係 /small-batch-learning
miyakawataku
0
2.1k
機械学習プロジェクトの進め方 /howtoproceedwithmlproject
miyakawataku
0
350
グラフアルゴリズムその2: 単一始点最短路問題 /graphShortestPaths
miyakawataku
0
160
Viterbiのアルゴリズム /viterbi-algorithm
miyakawataku
0
270
Other Decks in Programming
See All in Programming
PHPによる"非"構造化プログラミング入門 -本当に熱いスパゲティコードを求めて- #phperkaigi
o0h
PRO
0
1.1k
生成AIの使いどころ
kanayannet
0
100
The Evolution of Enterprise Java with Jakarta EE 11 and Beyond
ivargrimstad
0
940
PHPUnit 高速化テクニック / PHPUnit Speedup Techniques
pinkumohikan
1
1.2k
MCP世界への招待: AIエンジニアが創る次世代エージェント連携の世界
gunta
2
570
Boost Your Performance and Developer Productivity with Jakarta EE 11
ivargrimstad
0
110
自分のために作ったアプリが、グローバルに使われるまで / Indie App Development Lunch LT
pixyzehn
1
120
Develop Faster With FrankenPHP
dunglas
2
2.5k
エンジニア未経験が最短で戦力になるためのTips
gokana
0
210
なぜselectはselectではないのか
taiyow
2
310
アーキテクトと美学 / Architecture and Aesthetics
nrslib
12
3.1k
私の愛したLaravel 〜レールを超えたその先へ〜
kentaroutakeda
12
3.5k
Featured
See All Featured
How to Create Impact in a Changing Tech Landscape [PerfNow 2023]
tammyeverts
51
2.4k
The Invisible Side of Design
smashingmag
299
50k
Cheating the UX When There Is Nothing More to Optimize - PixelPioneers
stephaniewalter
280
13k
Dealing with People You Can't Stand - Big Design 2015
cassininazir
367
25k
Intergalactic Javascript Robots from Outer Space
tanoku
270
27k
Building a Scalable Design System with Sketch
lauravandoore
462
33k
4 Signs Your Business is Dying
shpigford
183
22k
How To Stay Up To Date on Web Technology
chriscoyier
790
250k
Building Adaptive Systems
keathley
41
2.5k
Docker and Python
trallard
44
3.3k
Keith and Marios Guide to Fast Websites
keithpitt
411
22k
Fight the Zombie Pattern Library - RWD Summit 2016
marcelosomers
233
17k
Transcript
Strassenのアルゴリズムによる 行列積の計算 2017-12-27 ビール&LT大会 ハッシュタグ: #jjug 宮川 拓
@miyakawa_taku JJUG幹事です SI屋で賃労働してます オレオレJVM言語Kinkを作っています https://bitbucket.org/kink/kink
尾上部屋の里山さんのファンです 自己紹介 #jjug 2/19
あらまし 本物のプログラマになりたい! ということで、 『アルゴリズムイントロダクション』 を読み進めています n次正方行列の積が、Θ(3)よりも小さい計 算量で計算できるらしい(§4.2)
びっくり! #jjug 3/19
背景 機械学習の計算は行列計算のかたまり 行列計算が速いと嬉しい #jjug 4/19
まずはふつうに計算 #jjug 5/19
三重ループ = ( ), = ( )をn次の正方行列とする =
∙ の要素は = σ=1 ∙ すなおに三重ループで実装: for i in 1~n: for j in 1~n: c[i, j] = 0 for k in 1~n: c[i, j] += a[i, k] * b[k, j] 3 回繰り返す → 計算量は() #jjug 6/19
準備: 分割統治 #jjug 7/19
分割統治 A, B, Cを縦横半分に分割すると、 = ∙ は次のように書き直せる 11 12 21
22 = 11 12 21 22 ∙ 11 12 21 22 = 11 ∙ 11 + 12 ∙ 21 11 ∙ 12 + 12 ∙ 22 21 ∙ 11 + 22 ∙ 21 21 ∙ 12 + 22 ∙ 22 #jjug 8/19
分割統治 def prod(a, b): if a.order == b.order == 1:
return matrix_1x1(a[0, 0] * b[0, 0]) a11, a12, a21, a22 = partition(a) b11, b12, b21, b22 = partition(b) c11 = prod(a11, b11) + prod(a12, b21) c12 = prod(a11, b12) + prod(a12, b22) c21 = prod(a21, b11) + prod(a22, b21) c22 = prod(a21, b12) + prod(a22, b22) return concat(c11, c12, c21, c22) 計算量はスカラ値の掛け算の回数に比例 n次行列の乗算は 2 次行列の乗算を8回再帰呼び出し #jjug 9/19
分割統治 n: 行列の次数 スカラ値の 掛け算の回数 1 1 2 8 4
64 8 512 16 4,096 2倍 8 = 23 倍 2倍 8 = 23 倍 2倍 8 = 23 倍 計算量はやっぱり() #jjug 10/19
Strassenのアルゴリズム #jjug 11/19
Strassenのアルゴリズム A, Bを分割した上で1 ~7 を次のように置く 1 = 11 (12
− 22 ) 2 = (11 + 12 )22 3 = (21 + 22 )11 4 = 22 21 − 11 5 = (11 + 22 )(11 + 22 ) 6 = 12 − 22 21 + 22 7 = 11 − 21 11 + 12 2 次行列を 計7回乗算 #jjug 12/19
Strassenのアルゴリズム ここで、次が成り立つ 11 = 11 11 + 12 21
= 5 + 4 − 2 + 6 12 = 11 12 + 12 22 = 1 + 2 21 = 21 11 + 22 21 = 3 + 4 22 = 21 12 + 22 22 = 5 + 1 − 3 − 7 Cは1 ~7 の和で表せる 2 次行列の乗算を7回再帰呼び出しすれば良い! #jjug 13/19
Strassenのアルゴリズム Strassen 計算量 n 三重ループ 計算量 1 1 1 7
2 8 49 4 64 343 8 512 2,401 16 4,096 8倍 8倍 8倍 7倍 7倍 7倍 Θ 27 = .… Θ 28 = Θ 3 < #jjug 14/19
実装&計測 #jjug 15/19
実装 https://bitbucket.org/miyakawataku/matrix- multiplication/src/default/matrix.go #jjug 16/19
計測 0.000010 0.000100 0.001000 0.010000 0.100000 1.000000 10.000000 100.000000 1,000.000000
10,000.000000 16 64 256 1,024 4,096 実行時間(秒) n (行列の次数) 三重ループ Strassen #jjug 17/19
総括 #jjug 18/19
総括 素敵なアルゴリズムは、nが小さい時には遅い。 そして大抵の場合、nは小さい。 素敵なアルゴリズムの計算量の式には、大きな 定数項が掛かっている。 nが大きくなることが分かっていない限り、素敵 にしてはならない。 ― Rob Pike
“Notes on Programming in C” #jjug 19/19