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Online Matching and Ad Allocation [Chapter 6 The Online Primal-Dual View]
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Shinichi Takayanagi
May 24, 2016
Technology
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Online Matching and Ad Allocation [Chapter 6 The Online Primal-Dual View]
“Online Matching and Ad Allocation”勉強会第4回の「Chapter 6
The Online Primal-Dual View」のまとめ資料
Shinichi Takayanagi
May 24, 2016
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Transcript
“Online Matching and Ad Allocation”勉強会第4回 Chapter 6 The Online Primal-Dual
View 株式会社リクルートコミュニケーションズ ICTソリューション局アドテクノロジーサービス開発部 高柳慎一
(C)Recruit Communications Co., Ltd. The Online Primal–Dual View • これまでは”組み合わせ”の問題として定式化し、
広告のアロケーション問題を解いてきた • ここではBuchbinder, Naor[22]によって導入さ れたOnline Primal-Dualフレームワークを用いて 解く方法を考える 1
(C)Recruit Communications Co., Ltd. 主・双対問題としての定式化 Buchbinderら[21]では主・双対問題の線形計画(LP)として定式化 2 ITC_PPT_C_white_FONTUP.pptx 主問題 双対問題
(C)Recruit Communications Co., Ltd. • オフラインな状況であれば、最適化アロケー ション についてこれを解けばよい • 実際には全てのV(頂点集合、人)については不明 なので、これはできない
• まずオフラインの解についての条件をチェック 3 主・双対問題としての定式化 x uv ;u ∈U,v ∈ V { }
(C)Recruit Communications Co., Ltd. • 線形計画問題において、主・双対問題がそれぞれの問題の最適解 であるための必要十分条件 • そこから派生し、以下も成立(書籍の式) 相補性条件(Complementary
Slackness Condition) 4
(C)Recruit Communications Co., Ltd. • 解釈 – :予算消化されました – :割当てはScaledなbidが最大
になるよう実施される(双対問題の等号が解なので) – :割当られた比率は規格化されている 5 相補性条件(Complementary Slackness Condition)
(C)Recruit Communications Co., Ltd. オンライン問題における指針 • LP全体は不明(まだ見ぬvがいる)ので… – 相補性条件の(6.1)を使用して、アロケーション決定 –
良い競合比を持つアロケーションを作成できる • これをこれからひたすらに見ていく • 手始め、GREEDYの競合比が1/2になることを 見る(with small-bids assumption) 6
(C)Recruit Communications Co., Ltd. GREEDYの競合比 7 復習(Chapter 5)
(C)Recruit Communications Co., Ltd. GREEDYの競合比(証明) • 以下の一連の(不)等式により明らかになる – Dual*は条件が全部Givenだと思った時の真の解 –
OPTはsmall-bids仮定の連続極限 – (一個目の不等式以外は自明かと) 8
(C)Recruit Communications Co., Ltd. GREEDYの競合比(証明) • 双対変数の更新法について以下のように定義 – こうするとアルゴリズムがGREEDYになる –
αは、初期値0で予算消化の際に1とする – βは最も大きいbidを当てる(テキストの記法が雑) – 割当量は1 9
(C)Recruit Communications Co., Ltd. • 双対問題の第二項めで が加算される • 一方、あるuの予算が消費しつくされた場合、 第一項がBuとなる
• Buは主問題でも既にカウントしてる(二重計算) 10 GREEDYの競合比(証明) 主問題 双対問題
(C)Recruit Communications Co., Ltd. MSVV(復習, 5.2, P311) 11 • 同様に、この枠組(双対変数探し)でMSVVを解
釈・表現したい
(C)Recruit Communications Co., Ltd. 12 もろもろの定義
(C)Recruit Communications Co., Ltd. Primal-Dual Adwords • このアルゴリズムがMSVVと同じ更新式 – 最大化しているものが同じ(下記参照)
13
(C)Recruit Communications Co., Ltd. • このアルゴリズムの競合比は1/ρ – .oO(これはMSVVで証明してるので端折る) • 更新時に
– 主問題: – 双対問題: だけ目的関数が変化するので、最終的に .oO(等号成立しそうな気がするんだが…) 14 Primal-Dual Adwords
(C)Recruit Communications Co., Ltd. 6.2 Adwords with Random Order •
AdversarialではなくRandom到着の場合を検討 • 1-o(1)な競合比の存在について、Devanur and Hayes[35]が以下を提唱 – LPの頂点集合Vは指定された確率分布でサンプリン グしたものを使う – (主問題の変数ではなく)双対変数のみを考える 15
(C)Recruit Communications Co., Ltd. Random Order Adwords • ハット付のアルファベットが、サンプリングした問題・LP解いた 結果の変数に相当
• サンプリングはε個(単位は割合かも?)すると思ってる 16
(C)Recruit Communications Co., Ltd. Random Order Adwords • 競合比は下記(証明なし) •
このやり方は実務で使われ得るもの – Vの分布を過去データから推定してやる • 一般化した手法も[6, 44, 92] 17
(C)Recruit Communications Co., Ltd. 6.3 Bipartite Matching via Randomized Primal-Dual
• RANKING for bipartite matching, PERTURBED GREEDY for vertex-weighted bipartite matching に対しても似たような主双対での解釈ができる か? • 違いは予算消化が0, 1だったかそうじゃないか 18
(C)Recruit Communications Co., Ltd. • Algorithm 11との違いは – 乱数を入れるかそうじゃないか •
〜 〜 19 Primal-Dual Vertex-Weighted Bipartite Matching
(C)Recruit Communications Co., Ltd. Primal-Dual Vertex-Weighted Bipartite Matching 20
(C)Recruit Communications Co., Ltd. • 目的関数がちゃんとPERTURBED GREEDYと 同じになっている • Primal-Dual
ratioの箇所は略 21 Primal-Dual Vertex-Weighted Bipartite Matching
(C)Recruit Communications Co., Ltd. • Feasibility(実行可能性)については議論が必要 – というランダムネスがあるので • これに関して期待値をとって成り立つことを証
明[33] • 残りの議論も期待値ベースで成立が言える • .oO(意味あるのかこれ…) 22 Primal-Dual Vertex-Weighted Bipartite Matching