なぜエネルギーは保存する？ 〜自由落下でわかる“対称性”とネーターの定理〜

【はじめに】
「エネルギー保存則」は物理学の最も基本的な法則の一つですが、なぜエネルギーは保存するのでしょうか？
このプレゼンテーションでは、自由落下という最もシンプルな運動を例に、ネーターの定理を通じて「対称性」と「保存則」の深い関係を解き明かします。

【主な内容】
・エネルギー保存則の本質的な理解
・自由落下運動における時間対称性と空間対称性
・ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式
・ネーターの定理:「対称性があれば保存則がある」

【対象者】

・解析力学に興味がある方
・エネルギー保存則の「なぜ」を知りたい方
・ネーターの定理について学びたい方

大学1-2回生程度の理工系基礎科目（微積分、力学）の知識を前提としています。偏微分やラグランジアン形式、変分法の基礎などを扱います。

📚 参考文献

江沢 洋『解析力学』培風館 (2007)
小出 昭一郎『解析力学』岩波書店 (1983)
竹内 修『解析力学』https://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/

Transcript

1. なぜエネルギーは保存する？ 〜自由落下でわかる“ 対称性” とネーターの定理〜
2. 自己紹介 さめ(мег-сск) ⚛️ VRChat物理学集会の主 催 🧑‍🎓 社会人学生として通信制 大学在学中 得意分野: 📸 コンピュータビジョン (画像認識/点群処理) 🌍 空間情報処理 (地理情 報/リモートセンシング) ☁️ クラウドインフラ設 計/IaC (AWS, GCP) GitHub YouTube Speaker Deck
3. 今日話すこと 物理にはいろんな保存則がある エネルギー保存則 運動量保存則 角運動量保存則 and more... なんでいろんな物理量は保存する？ 保存則は対称性から導かれる 今日は自由落下という最もシンプルな運動で、 対称性と保存則の関係を見ていきます！ ネーターの定理がその謎を解く！
4. ネーターの定理と 自由落下
5. ネーターの定理 ネーターの定理の主張 「対称性があると保存則がある」 🤔これだけだとよくわからない... 自由落下のような簡単な例から考えよう！ エミー・ネーター (1882 - 1935)
6. 自由落下運動とエネルギー保存則 重力加速度 の地球上で静止している質量 の物体 を地面からの高さ の位置で自由落下させる 地面に到達する時の速度 は？ g m q = h V
7. エネルギー保存則 位置エネルギーと運動エネルギーの和は保存する 地面に到達する時、位置エネルギーがすべて運動 エネルギーになるので、速度 は、 負になるのは鉛直上向きを正とした 軸の逆方向だから mgq + ​ mv = 2 1 2 一定 V mgh = ​ mV ⇒ 2 1 2 V = − ​ 2gh q
8. エネルギー保存則の 時間対称性と 空間対称性の破れ
9. 自由落下運動の時間対称性 自由落下の結果は時間に依存しない 高さ から物体を落とした時、地面に衝突する時 の速度 は 今日の0 時に落としても 明日の12 時に落としても 時間によらず結果は変わらない！ 自由落下運動は時間に対して対称性を持つ ものすごく長い時間スケールで考えると地球の質量分布が変わって 重力加速度 が変わることはあり得るが... h V g
10. 自由落下運動の空間対称性の破れ 自由落下の結果は鉛直方向の変化によって変わる 高さ から物体を落とした時 高さによって位置エネルギーが変化し、速度が 変わる！ 重力によって空間は鉛直方向に一様ではない 高さによって位置エネルギーが変化する 鉛直方向の並進対称性が破れている h + δh V = − ​ 2g(h + δh)
11. 重力が破る鉛直方向の対称性 水平方向には対称性がある 物体を水平方向に だけずらしても 重力は鉛直下向きに一様にかかるので → ✅ 自由落下の結果は変わらない 鉛直方向には対称性がない 地球の重力場が存在する → 高さ によって位置エネルギー が変わる → ❌ 空間が一様ではない！ 重力が鉛直方向の空間対称性を破っている δx q mgq
12. 対称性とは？ 物理における対称性 ある変換に対して性質が変わらないこと 例: 自由落下運動 時間を にずらしても → ✅ 結果は変わらない 高さを にずらすと → ❌ 結果が変わる 対称性がある → 対称性に対応する保存量がある これがネーターの定理の核心！ t → t + δt q → q + δq
13. 自由落下の運動方程式
14. 自由落下の運動方程式 ニュートンの運動方程式 物体が距離 を移動するのに必要な時間は f = ma = −mg ⇒ a = −g h h = ​ gt ⇒ 2 1 2 t = ​ ​ g 2h ∴ V = at = −gt = − ​ 2gh
15. 同じ問題を2 つのアプローチから 解けた 両者の間に何か密接な関係がありそう... 何が両者を結びつけるか？ 対称性とネーターの定理 オイラー- ラグランジュ方程式 (EL 方程式)
16. ラグランジアン ラグランジアン を以下のように定義する : 運動エネルギー : 位置エネルギー L L ≜ T − V T V
17. 最小作用の原理 作用 の定義 ラグランジアン の時間積分 最小作用の原理 物体は作用の変分 となる経路を通って運 動する S L S = ​ Ldt ∫ t ​ 1 t ​ 2 δS = 0
18. オイラー- ラグランジュ方程式 ラグランジアン が定まると運動方程式は以下の ように書ける : 位置 : 速度 ( 位置の時間微分 ) : 加速度 ( 位置の2 階時間微分 ) 最小作用の原理から導出可能だが今日は割愛 L ​ ​ = dt d ( ∂ ​ q ˙ ∂L ) ​ ∂q ∂L q ​ q ˙ dx/dt ​ q ¨ d x/dt 2 2
19. 自由落下のラグランジアン ラグランジアン は このラグランジアン をEL 方程式に代入 L L = T − V = ​ m ​ − 2 1 q ˙2 mgq L
20. 自由落下のEL 方程式 ラグランジアンがわかれば運動方程式は決まる！ 左辺= ​ ​ ​ m ​ − ​ = dt d ( ∂ ​ q ˙ ∂ ( 2 1 q ˙2 mgq)) m ​ q ¨ 右辺= ​ ​ − mgq = ∂q ∂ ( ​ m ​ 2 1 q ˙2 ) −mg 左辺= 右辺⇒ ​ = q ¨ −g
21. ラグランジアンの全微分 と対称性
22. ラグランジアンの全微分-1 ラグランジアン を位置 , 速度 , 時刻 の 関数として考え、全微分する L(q, ​ , t) q ˙ q ​ q ˙ t dL = ​ dq + ∂q ∂L ​ d ​ + ∂ ​ q ˙ ∂L q ˙ ​ dt ∂t ∂L ​ = dt dL ​ ​ + ∂q ∂L q ˙ ​ ​ + ∂ ​ q ¨ ∂L q ¨ ​ ∂t ∂L
23. ラグランジアンの全微分-2 ライプニッツ則 より EL 方程式を右辺第2 項に代入すると、 この式はラグランジアンの全微分の第1−2 項と一致 (fg) = ′ f g + ′ fg′ ​ ​ ​ = dt d (q ˙ ∂ ​ q ˙ ∂L ) ​ ​ + q ¨ ∂ ​ q ˙ ∂L ​ ​ ​ q ˙ dt d ( ∂ ​ q ˙ ∂L ) ​ ​ ​ = dt d (q ˙ ∂ ​ q ˙ ∂L ) ​ ​ + q ¨ ∂ ​ q ˙ ∂L ​ ​ q ˙ ∂q ∂L
24. ラグランジアンの全微分-3 ライプニッツ則から得られた結果をラグランジアン の全微分の式に代入し、 ​ = dt dL ​ ​ ​ + dt d (q ˙ ∂ ​ q ˙ ∂L ) ​ ∂t ∂L ​ ​ ​ − L = dt d (q ˙ ∂ ​ q ˙ ∂L ) − ​ ∂t ∂L
25. の時の保存量 自由落下運動で は時間変化しないので、 ​ = ∂T ∂L 0 L ​ = ∂t ∂L 0 ​ ​ ​ − L = dt d (q ˙ ∂ ​ q ˙ ∂L ) 0 ​ ​ − q ˙ ∂ ​ q ˙ ∂L L = 時間変化に対して一定
26. 時間対称性とエネルギー保存則 この時間変化に対して不変な量 をエネル ギーと呼ぶ！ ​ ​ − q ˙ ∂ ​ q ˙ ∂L L ​ ​ − q ˙ ∂ ​ q ˙ ∂L L = ​ ​ ​ m ​ − ​ − q ˙ ∂ ​ q ˙ ∂ ( 2 1 q ˙2 mgq) ​ m ​ − mgq ( 2 1 q ˙2 ) = ​ m ​ + 2 1 q ˙2 mgq = エネルギー
27. 自由落下のラグランジアンと対称 性 は時間 によって変化しない 高さ の変化によって も変化する 時間並進対称性から保存量が得られる この保存量がエネルギーである！ L = ​ m ​ − 2 1 q ˙2 mgq L t q L
28. ネーターの定理の核心 対称性が保存量を生み出すメカニズム ある変換に対してラグランジアン が不変 ラグランジアンの全微分から保存量が導かれる 保存則は数学的帰結 エネルギー保存則のような基本法則でさえラグ ランジアンの対称性から導かれる数学的結果 対称性 → 保存量という普遍的な構造 L
29. ネーターの定理の一般系 ネーターの定理（一般形） 連続的な対称性変換 に対して ラグランジアンが不変 ならば 保存量 (Noether charge) が存在する 相対論や統計力学でも活躍する重要な定理！ q → q + εδq δL = 0 Q Q = ​ ⋅ ∂ ​ q ˙ ∂L δq = 一定
30. 補足とまとめ
31. 運動量保存則と角運動量保存則 運動量保存則 空間並進対称性 が成り立つ時 運動量 が保存される 角運動量保存則 空間が回転対称性( ラグランジアンが回転に対し て不変) を持つ時 角運動量 が保存される ​ = ∂q ∂L 0 p = ​ = ∂ ​ q ˙ ∂L mq ˙ = L × r ​ p
32. より進んだ内容: 4 元運動量 相対論では時間と空間を統一的に扱う エネルギーと運動量をまとめた4 元運動量 時空の対称性から2 つの保存則が同時に導かれる 時間並進対称性 → エネルギー保存則 空間並進対称性 → 運動量保存則 相対論では両者が統一される！ p = μ ​ , ​ = ( c E p) ​ , p ​ , p ​ , p ​ ( c E x y z )
33. まとめ なぜエネルギーは保存する？ 自由落下の結果はいつ落としても変わらない この時間対称性がエネルギー保存則の源 ラグランジアンから自然に導かれる ラグランジアンが時間に依存しない このときの保存量がエネルギーである ネーターの定理の本質 対称性があれば保存則がある
34. 主要参考文献 江沢 洋, 解析力学, 培風館 (2007) ものすごく丁寧に広い話題を扱った教科書。光 学や量子力学への応用例も豊富。 小出 昭一郎, 解析力学, 岩波書店 (1983) 初学者向けの教科書。最初はこれがオススメ。 竹内 修, 解析力学, 強制振動、空気抵抗のラグランジアンなど、よ り発展的な話題を取り上げています https://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/
35. LT 登壇者の募集 物理学集会ではLT 登壇者を募集しています！ どんなジャンルでもOK ！ 興味のある方は物理学集会のDiscord サーバーま で！