サイコロで理解する原子核崩壊と拡散現象 〜単純化されたモデルで本質を理解する〜

サイコロを使った単純なゲームを通して、原子核崩壊と拡散現象という複雑な物理現象をモデル化する方法を解説したプレゼンテーションです。

サイコロを振って出た目によってボールを移動させるというシンプルなルールから、指数関数的減衰や拡散方程式のガウス分布解が数学的に導出できることを示しています。テイラー展開や極限操作を用いて、複雑な物理現象の背後にある本質的な数理モデルへと繋げる過程を説明しています。

物理現象をシンプルなモデルで理解することの威力を実感できる内容になっています。

Transcript

1. サイコロで理解する原子核崩壊と 拡散現象 〜単純化されたモデルで本質を理解する〜
2. 自己紹介 さめ(мег-сск) 🧑‍💻 フリーランスのソフトウ ェアエンジニア 🧑‍🎓 社会人学生として通信制 大学在学中 得意分野: 📸 コンピュータビジョン (画像認識/点群処理) 🌍 空間情報処理 (地理情 報/リモートセンシング) ☁️ クラウドインフラ設 計/IaC (AWS, GCP) GitHub YouTube Speaker Deck
3. 今日話すこと サイコロを振って出た目によってボールを移動さ せる単純なゲームを考える このゲームで原子核崩壊や拡散現象(インクの染み の広がりなど)が再現できることを示す！ 物理現象をシンプルなモデルで理解することの威 力を実感しよう！
4. 原子核崩壊のモデル化
5. 原子核崩壊のおさらい 原子核崩壊は放射性物質が放射線を放出する現象 放射線を放出した原子核は安定した原子核に変 化する
6. 原子核崩壊の速度 放射性同位体の数は指数関数的に減少する: 放射性同位体の数が半分になる時間を半減期 という 半減期は放射性同位体によって異なる N(t) = N ​ e 0 −λt T ​ 1/2
7. 原子核崩壊をサイコロで再現 箱の中に 個のボールが入っている サイコロを振って、偶数ならボールを取り出し、 奇数ならそのまま残す すべてのボールに対してこの操作を行う N ​ 0
8. 1回の操作でのボールの減少 ボールが取り出される確率は: ボールが残る確率は: 1回の操作を行った後のボールの数は: p = ​ 2 1 1 − p = ​ 2 1 N ​ = 1 N ​ − 0 N ​ p = 0 N ​ (1 − 0 p)
9. 2回の操作でのボールの減少 1回目の操作で生き残ったボールは: 同じことが2回目の操作でも起きるので 2回の操作を行った後のボールの数は: N ​ (1 − 0 p) N ​ = 2 N ​ (1 − 0 p)2
10. 同じ操作を繰り返す まったく同じ事の繰り返しなので、 回の操作を行 った後のボールの数は: n N ​ = n N ​ (1 − 0 p)n
11. サイコロゲームの一般化 この操作を の間に 回の頻度で行うとする 時刻 とする とする 今までの例は 、 の場合と考えて OK 時刻 におけるボールの数は: Δt λ t = nΔt p = λΔt λ = 1 Δt = 1 t N(t) = N ​ (1 − 0 p) = n N ​ (1 − 0 λΔt)n
12. 指数の極限 以下の公式を思いだそう この公式を使うと: ​ 1 − ​ = n→∞ lim ( n x ) n e−x N(t) = N ​ 1 − λΔt = 0 ( )n N ​ 1 − ​ 0 ( n λt ) n
13. 原子核崩壊の再現 , の極限を取ると、 これは原子核崩壊の式と一致する！ サイコロゲームで原子核崩壊を再現できた！ Δt → 0 n → ∞ N(t) = N ​ e 0 −λt
14. 半減期 半減期 は: 半減期は「サイコロを振る頻度(の逆数)」と解釈で きる！ T ​ 1/2 N(T ​ ) = 1/2 ​ = 2 N ​ 0 N ​ e 0 −λT ​ 1/2 T ​ = 1/2 ​ λ ln 2
15. 拡散現象のモデル化
16. 拡散現象のおさらい ガーゼの上に1滴のインクを零したとしよう インクはガーゼの中を拡散していく 時間が経つと、インクはガーゼの中に均等に広が る
17. 拡散方程式 拡散現象は拡散方程式で記述される は拡散係数 は濃度 初期条件は として解くと... D ρ ​ = ∂t ∂ρ(t, x) D ​ ∂x2 ∂ ρ(t, x) 2 ρ(0, x) = δ(x)
18. 拡散方程式の解 拡散方程式の解はガウス分布になる ρ(t, x) = ​ exp − ​ ​ 4πDt 1 ( 4Dt x2 )
19. 拡散をサイコロで再現 時刻 でボールは原点 にいる サイコロの目によってボールを移動させる 1,2が出たら だけ移動 (確率 ) 3,4が出たら だけ移動 (確率 ) 5,6が出たら移動しない (確率 ) x=0 x=a x=-a p p 1-2p t = 0 x = 0 +a p −a p 1 − 2p
20. 1回の操作でのボールの移動 ですべてのボールは原点 にいる の間にすべてのボールに対して1回この操作を する ボールの密度を とする 後のボールの密度は: t = 0 x = 0 Δt ρ(t, x) Δt ρ(Δt, x) = ρ(0, x) − 2pρ(0, x) +pρ(0, x + a) + pρ(0, x − a)
21. 同じ操作を繰り返すと？ 時刻 でのボールの密度を とする 時刻 でのボールの密度は: t ρ(t, x) t + Δt ρ(t + Δt, x) = ρ(t, x) − 2pρ(t, x) +pρ(t, x + a) + pρ(t, x − a)
22. ボールの密度のテイラー展開 テイラー展開を使うと: 時間微分に対して 空間微分に対して ρ(t + Δt, x) = ρ(t, x) + Δt ​ + ∂t ∂ρ(t, x) O(Δt ) 2 ρ(t, x ± a) = ρ(t, x) ± a ​ + ∂x ∂ρ(t, x) ​ ​ + 2 a2 ∂x2 ∂ ρ(t, x) 2 O(a
23. 拡散方程式の導出 テイラー展開の式をボールの密度の式に代入: ここで とした これは拡散方程式の解と一致する！ サイコロゲームで拡散現象を再現できた！ D = ​ Δt pa2 ρ(t, x) = ​ exp − ​ ​ 4πDt 1 ( 4Dt x2 )
24. 拡散係数の物理的意味 拡散係数 は拡散の速さを表す 拡散係数が大きいほど拡散が速い 確率 が大きいほど拡散係数は大きくなる 時間間隔 の時、拡散係数は に収束する ように は動くとした D p Δt → 0 D a
25. 補足事項 なんで時間微分は1次の項までしか考えないの？ 空間微分は2次の項まで考えるのに？ 数学的な厳密性は伊藤の公式によって保証されて いる (今日は省略)
26. まとめ サイコロの目によってボールを移動させるゲームで 物理現象を再現！ 原子核崩壊 拡散現象 シンプルなモデルで本質を理解できる！ より複雑な物理現象もシンプルなモデルで理解さ れる例がある イジングモデル、パーコレーション理論... あなたも面白いモデルを考えてみませんか？
27. 参考文献 A. Murray and I. Hart, , DOI 10.1088/0031-9120/47/2/197 十分な試行回数があればサイコロゲームで 原子核崩壊を再現できることを解説した論 文です 田崎晴明, ブラウン運動による拡散現象の説明がとて もわかりやすいです The 'radioactive dice' experiment: why is the 'half-life' slightly wrong? ブラウン運動と非平衡統計力学
28. LT登壇者の募集 物理学集会ではLT登壇者を募集しています！ どんなジャンルでもOK！ 応募がないと主催がまたLTという名目のジャイ アンリサイタルを開くことになります... 興味のある方は物理学集会のDiscordサーバーま で！
29. 告知 次回開催は5月31日を予定しています LTだけでなく、YouTubeの物理の動画を「この動 画をみんなで見たい！」という提案も大歓迎で す！