蔵本モデルが解き明かすリズムの秘密 〜拍手のリズムはなぜ揃うのか？〜

「拍手のリズムはなぜ揃うのか？」そんな素朴な疑問を考えてみませんか？

このスライドでは、ホタルの点滅、心臓の鼓動、発電機の安定運転──そんな「リズムが揃う」現象を数理的に説明するためのモデル「蔵本モデル（Kuramoto Model）」を紹介しています。

・なぜバラバラだったリズムが自然に揃っていくのか？
・蔵本モデルの数式の意味や臨界点とは？
・蔵本予想が示す相転移現象

物理や数理モデルに馴染みのない人にも伝わるよう、
図解とシミュレーションを交えて解説しました。

蔵本モデルの数値シミュレーションはGitHubの以下のリポジトリを利用しました、
興味のある人はぜひ手を動かしてみてください！

https://github.com/fabridamicelli/kuramoto

Transcript

1. 蔵本モデルが解き明かすリズムの 秘密 〜拍手のリズムはなぜ揃うのか？〜
2. 自己紹介 さめ(мег-сск) 🧑‍💻 フリーランスのソフトウ ェアエンジニア 🧑‍🎓 社会人学生として通信制 大学在学中 得意分野: 📸 コンピュータビジョン (画像認識/点群処理) 🌍 空間情報処理 (地理情 報/リモートセンシング) ☁️ クラウドインフラ設 計/IaC (AWS, GCP) GitHub YouTube Speaker Deck
3. 今日話すこと 「同期現象 (バラバラだったリズムが揃う現象)」 をモデル化できる蔵本モデルについて話します！ 蔵本モデルの数式の意味を噛み砕いて説明します 「ホタルの点滅」を再現した蔵本モデルのシミュ レーションを見てみましょう 蔵本予想と結合定数の臨界点 代表的な「相転移」の紹介
4. 蔵本モデルの概要
5. 蔵本モデルとは？ 蔵本モデルとは、 「リズムが揃う」現象をモデル化 するための数理モデル 1975年に蔵本由紀先生によって提唱された メトロノームのリズムが揃っていく動画を見まし ょう！
6. 蔵本モデルの応用例 「リズムが揃う現象」をモデル化できる！ 👏拍手のリズム ホタルの発光リズム 電力系統 (発電機の周波数が乱れると大停電にな る！) 心臓の鼓動のリズム (これの乱れが心房細動)
7. 蔵本モデルの数式 は 番目の振動子の位相 は 番目の振動子の角速度 は相互作用の強さ は振動子の数 ​ = dt dθ ​ i ω ​ + i ​ ​ sin(θ ​ − N K j=1 ∑ N j θ ​ ) i θ ​ i i ω ​ i i K N
8. 蔵本モデルの右辺第2項の意味 を自分の拍手のリズム、 を他の人の拍手のリ ズムだと思おう この式は、自分とみんなのリズムのズレの平均を 表している 結合定数 が大きいほど、リズムが揃いやすくな る ​ ​ sin(θ ​ − N K j=1 ∑ N j θ ​ ) i θ ​ i θ ​ j K
9. 結合定数 の意味 結合定数 が大きいほど、リズムが揃いやすくな る が小さいとリズムは揃わない 拍手の例で例えれば、 「どれだけ他の人の拍手のリ ズムを意識して合わせようとするか」という意識 を数値化したもの の場合は、相手の拍手のリズムをまった く意識せず自分のリズムを維持しようとする、 ということ この後、シミュレーションで実例を見よう！ K K K K = 0
10. 蔵元モデルの式をもう一度見る 「自分のリズムの変化率」は「他の人とのリズム のズレの平均」と結合定数 によって決まる 結合定数 の時は右辺第2項が消え、自分の リズムの速さ を維持する 結合定数 が大きいほど、他の人とのリズムのズ レが自分のリズムの変化率に影響する ​ = dt dθ ​ i ω ​ + i ​ ​ sin(θ ​ − N K j=1 ∑ N j θ ​ ) i K K = 0 ω ​ i K
11. 蔵本モデルのシミュレー ション
12. 蔵本モデルのシミュレーション GitHubに蔵本モデルのシミュレーションのコード を公開してくれている方がいたので、その方のコ ードをいじって遊んでみました！ このコードを使って、ホタルの点滅のリズムが揃 う様子を見てみましょう！ https://github.com/fabridamicelli/kuramoto
13. ホタルの点滅: 時間をかけて徐々にリズムが揃っていく！ K = 2
14. ホタルの点滅: 結合定数が大きいと、リズムがすぐに揃う！ K = 5
15. ホタルの点滅: 結合定数が0のとき、いつまでもリズムは揃わな い！ K = 0
16. 結合定数の不思議な振る舞い の時はリズムが揃わない の時は(時間がかかるが)リズムが揃う K = 1.59 K = 1.6
17. 蔵本予想と相転移
18. 蔵本予想 結合定数が臨界点 を超えると、急激にリズムが 揃うようになる 0℃で水が急に氷になるようなイメージ 臨界点 は: は角速度の分布関数 の時の分布関数を とする K ​ c K ​ c K ​ = c ​ πg(0) 2 g(ω) ω = 0 g(0)
19. 臨界点の計算 今回のシミュレーションの角速度の分布関数 は、標準正規分布 g(ω) N(0, 1) g(ω) = ​ e ​ 2π 1 − ​ 2 ω2
20. 平均場の周波数 振動子全体の平均的な角速度は0になる この平均的な角速度を「平均場の周波数」と呼ぶ 系全体の分布を で代表できる g(0) g(0) = ​ ​ 2π 1
21. 臨界点の計算 は臨界点をギリギリ超えているので、リ ズムが揃う！ は臨界点を下回っているので、リズム は揃わない このように、臨界点を超えると急激に性質が変化 する現象を「相転移」と呼ぶ K ​ = c ​ = πg(0) 2 ​ = π ​ ​ 2π 1 2 ​ ≃ ​ π 8 1.596 K = 1.6 K = 1.59
22. 相転移の例 相転移は様々な物理現象で現れる 水が0℃で氷になる 水が100℃で蒸発する 磁石が高温で磁性を失う 真空の相転移 (宇宙の始まり)
23. 蔵本予想の証明 蔵本モデルは1975年に提唱され、1984年に蔵本予 想が定式化された 蔵本予想は、2012年に当時九州大の千葉逸人先生 によって証明された！ なので「蔵本-千葉定理」とこれからは呼ぶべきは ず https://arxiv.org/abs/1008.0249
24. まとめ 「リズムが揃う」現象を蔵本モデルが説明できる 結合定数は周りとのリズムがズレているのを合わ せようとする作用を表す 結合定数が臨界点を超えると、急激にリズムが揃 うようになる (蔵本予想、2012年に証明) 蔵本モデルは代表的な相転移現象のモデル
25. LT登壇者の募集 物理学集会ではLT登壇者を募集しています！ どんなジャンルでもOK！ 応募がないと主催がまたLTという名目のジャイ アンリサイタルを開くことになります... 興味のある方は物理学集会のDiscordサーバーま で！
26. 告知 次回開催は6月28日を予定しています LTだけでなく、YouTubeの物理の動画を「この動 画をみんなで見たい！」という提案も大歓迎で す！