線形代数学入門講座 第1回スライド

てくますプロジェクトで行った線形代数学入門講座の第1回スライドです。
実施：2024/04/08

Transcript

1. 線形代数学 入門講座 ①行列の演算 てくますゼミ
2. ①行列の演算 ②連立一次方程式 ③正則行列 ④置換 ⑤行列式 ⑥数ベクトル空間 ⑦固有値 ⑧行列の対角化 てくます講座 線形代数学(全8回) の流れ 数ベクトルと行列 行列の演算 様々な行列 行列の使われ方
3. てくます講座 学習方法 ・メモをとろう！ 講座ではスライドに載せきれない大事なことも話します。 配布されたレジュメの余白に書いておきましょう。 ・問題を解こう！ 学問を読み聞きだけで身に付けるのは難しいです。 問題を解くことで手を動かし、理解の確認をしましょう。 ・質問をしよう！ せっかく参加した講座です。 気になることは、講座中でも質問していきましょう。
4. 線形代数学 ①行列の演算 数ベクトル 平面，空間で扱っていたベクトルは数を並べて表示できました。 2 1 𝑂 一般化 平面ベクトルの成分表示(2,1) (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) 𝑛次の数ベクトル
5. 線形代数学 ①行列の演算 行列 数を縦横に並べたものが行列です。行列の各部分の名前を見ていきます。 ・型…𝑚 × 𝑛行列 ・第𝑖行 ・第𝑗列 ・(𝑖, 𝑗)成分 この行列の略記(𝑎𝑖𝑗 )
6. 線形代数学 ①行列の演算 行列の和 行列にもベクトルと同じような足し算(引き算)があります。 (例) 型が違う行列は足し算(引き算)ができません。
7. 線形代数学 ①行列の演算 行列のスカラー倍 行列にもベクトルと同じようなスカラー倍(定数倍)があります。 (例)
8. 線形代数学 ①行列の演算 行列の積 行列にもスカラーのように掛け算がありますが、計算はすこし複雑です。 行列の掛け算は、意味のあるようにするために次のように定義されます。 としたいところですが…
9. 線形代数学 ①行列の演算 行列の積 ・行列𝐴の列の数と行列𝐵の行の数が等しいとき、積𝐴𝐵が定義できる。 ・𝐴の型が𝑙 × 𝑚，𝐵の型𝑚 × 𝑛がのとき、𝐴𝐵の型は𝑙 × 𝑛である。 ・𝐴の(𝑖, 𝑗)成分を𝑎𝑖𝑗 ，𝐵の(𝑗, 𝑘)成分を𝑏𝑗𝑘 としたとき、 𝐴𝐵の(𝑖, 𝑘)成分は𝑎𝑖1 𝑏1𝑘 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑚 𝑏𝑚𝑘 で定義される。 (例)
10. 線形代数学 ①行列の演算 行列の積 行列の積は、表の掛け算として次のようなイメージでとらえることができます。 × 大人 子供 幼児 佐藤 2 1 1 鈴木 2 0 3 動物園 博物館 大人 500円 1000円 子供 300円 700円 幼児 100円 0円 動物園 博物館 佐藤 1400円 2700円 鈴木 1300円 2000円 ＝
11. 線形代数学 ①行列の演算 行列の積 行列の積を図解すると次のようになります。 2 2 3 3 4 4
12. 線形代数学 ①行列の演算 行列の積 一般には、行列の積は掛ける順番で計算結果が異なります。 (例)
13. 線形代数学 ①行列の演算 行列の転置 行列𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )の𝑎𝑖𝑗 と𝑎𝑗𝑖 をすべて入れ換えた行列を𝐴の転置行列といいます。 (例) 転置 𝑡𝐴と表す。
14. 線形代数学 ①行列の演算 行ベクトルと列ベクトル ・𝑛次の行ベクトル…1 × 𝑛行列 ・𝑚次の列ベクトル…m × 1行列 m × 𝑛行列は𝑚個の行ベクトルや𝑛個の列ベクトルで表せる。
15. 線形代数学 ①行列の演算 様々な行列 次のような特別な行列には名前が付いています。 ・零行列…成分がすべて0。 ・正方行列…行と列の数が等しい。 (例) (例)
16. 線形代数学 ①行列の演算 様々な行列 ・対角行列…正方行列で対角成分𝑎𝑖𝑖 以外がすべて0。 ・上三角行列…正方行列で𝑖 > 𝑗なる成分 𝑎𝑖𝑗 がすべて0。 (例) (例)
17. 線形代数学 ①行列の演算 様々な行列 ・単位行列…対角行列で対角成分𝑎𝑖𝑖 がすべて1。 ・対称行列… 𝑡𝐴 = 𝐴なる行列。 (例) (例)
18. 線形代数学 ①行列の演算 行列の使われ方 データは数ベクトルの形で表されることが多く、行列はそれを変動させます。 (例) 平面上の点を2次の列ベクトルで表すと、原点を中心に回転させる変換は 2 × 2行列を左から掛けることで表現できます。 𝑂 𝜃
19. 線形代数学 ①行列の演算 まとめ ・数ベクトルや行列は数を並べて表示できる。 ・行列には、和，スカラー倍，積などの演算がある。 ・それぞれ特徴を持った様々な行列がある。 ・行列はデータを計算できるように扱うときに便利である。