感染症の数理モデル13

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1. 感染症の数理 セミナー(13) April 11, 2025 @NIID 国立感染症研究所 第12室長 米岡 大輔
2. 目次 1. 感染症のコンパートメントモデル 2. 基本再生産数 3. 最終流行規模 4. R実装 5. 人口の異質性とSIR 6. 再生産方程式とエボラ vs インフル 7. R 0 の推定方法（流行初期） 8. 内的増殖率の検定 9. Effective distance 10. 分岐過程 (Branching process) 11. 大規模流行確率と水際対策 12. Backcalculation 13. 致死率の計算 14. （シンプルな）ワクチン接種の自然史と流行条件 15. ワクチン接種VEの推定 16. 従属性現象における因果推論 17. ワクチン接種戦略について 本書の内容をカバーします。 具体的なコードなどは右の本 詳細なプログラムなどは https://github.com/objornstad/epimdr/tree/ master/rcode (結構間違ってる。。。) 2/48
3. はじめに 本セミナーシリーズは数理重めです。 簡単な微分/積分、線形代数が出てきます。 なるべく平易に解説しますが、完全に数学アレルギーの方はここ で終わられることをおすすめします。 セミナー終了時にはある程度次のパンデミックに向けて、 （ある程度） 数理モデリングができるようになることを目標としてます。 自由参加なので、もし無理そうならお気軽に休んでください。 3/20
4. ワクチン接種の集団への効果推定 • 従属性現象：個人への効果 ≠ 集団への効果（両者の関係はめっちゃ非線形かもね ） • さて現実的な設定で考えましょう、JIHSですしね。 82 新型インフルが流行した。 １．どれくらいワクチンを生産すればいいか？ ２．ワクチン接種は何回すべきか？1 or 2回？ ３．ワクチン接種はどういった人から始めるか？ ４．流行途中にワクチン接種を開始する場合、そ れにより、どういう効果がでるのか？ 推定するなら早くしろ でなければ帰れ 制約条件 1. ワクチン製造のキャパシティには限界（年5000万人分程度）がある 2. 他のワクチンは今もつくっている 注：あくまでイメージ 新世紀エヴァンゲリオンより抜粋
5. まずは情報収集です • 必要な疫学データは以下 • あとは、潜伏期間や世代時間の分布型なども必要 83 次世代行列 R ij は個体群jの一人が生み出した個体群iの２ 次感染者数の平均値 i, j = 1は20歳未満、2は20歳以上 ←横のRはこのKのスペクトル半径（=最大固 有値） これはどうやって取るのか？ → 1つは血清疫学調査。全感染者のうち何％が報告されたかもわかる
6. （再掲）ワクチン接種者の感染史 • 感染してから死亡 or 回復まで 84 ワクチン未接種者 ワクチン接種者 たいてい、 AとCがよく質問され るよね。 感受性の減弱効果 感染性の減弱効果 症状発現確率の減弱効果 感染期間の短縮効果 注意：発症しても死亡したり重 症化したりする確率が減弱する 効果も含む
7. ワクチンを幾つ製造すればいいのか？ 数理的な最適化問題 制限のなかで、生産量をどう配分すれ総死亡数を最小化できるか？ 今、季節性感染症sと新興感染症pがあり、以下のSIRに従う γは平均世代時間(2.6日とする) の逆数: 2.6 = 1/γ 感染力λ k (k = s or p)は以下 (q k はkのワクチン接種率) 85
8. • q k を動かすことでSIRをシミュレーションし、Iを生成することで以下 を得る（致命割合は0.01%と想定、その他のパラメータは既知） 86 横軸は
9. ワクチンの回数 • 1回でもしOKなら（２回に比べて）倍の人口をカバーできる 数理的問題：1回 vs 2回の集団レベルでの効果を比較 87 これは2回接種の効果とする。1回の場合は これのf倍 (f≤1) つまり、1回接種だと 感受性の減弱効果はfα s 感染性の減弱効果はfα i fがどれくらいかは血清疫学調査などで見積 もっておく
10. 定式化：fとRの関係 • 2回接種によってp% (p≤50)の人がワクチン接種 → 1回接種だと2p%の人がワクチン接種 88 ２回接種 1回接種 ワクチン未接種者と接種者の次世代行列 スペクトル半径(再生産数)は スペクトル半径(再生産数)は
11. 接種回数と再生産の関係 • ２回接種割合p=0.3で固定した場合 • f≥0.44であれば1回接種のほうが再生産数が小さく抑えられる • つまり、1回接種によるワクチン効能の相対的効果がf≥44％なら、2回接種を して石橋を叩くよりも、1回接種を実施することにより2倍の接種対象者にワク チンを接種したほうが流行規模が小さく抑えられる 89
12. ワクチンの優先度 • （インフルだとして） 基礎疾患の多い高齢者に優先的に打つべき？ • 流行の中心である若年層に打つべき？ 90 最初の年齢別次世代行列 R ij は個体群jの一人が生み出した個体群iの２次感染者数の平均値 i, j = 1は20歳未満、2は20歳以上 クロネッカー積は、固有値に関し ては可換なので、逆でもいいよ ↑この行列の要素をR ij 個体群iの最終規模z i これはclosed formな解ではなく、数値計算で解を計算する これは、ワクチン接種と非 接種者の間の次世代行列
13. 誰に優先的にワクチン接種すればいいの？ • 全人口の10％を接種できる状況を想定し、未成年の致命割合は 0.001％、 成人の致命割合は 0.01％ 91 成人のワクチン未接種者の死亡 がほとんど。 でも、未成年へのワクチン接種 を優先すると、極端に減少する 基礎疾患を持つ高齢者ではなく、（二次感染の頻 度の高い）若年層へのワクチン接種を優先すべき