GPSで活躍する相対論！ 〜🛰️人工衛星はどのように📱スマートフォンの位置を測るのか？〜

このスライドでは、GPSなどの衛星測位システムがどのようにして私たちのスマートフォンの位置を特定しているのかを、幾何学的な考え方から出発して、特殊相対論・一般相対論の影響まで解説しています。

「相対性理論って実生活に関係あるの？」と思っている人にこそ届けたい、日常と物理をつなぐトークです。

VRChatの物理学集会での発表スライドとして作成しましたが、物理や宇宙にちょっとでも興味がある方なら、どなたでも楽しめる内容になっています！

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🛰 Relativity in GPS:
~ How do satellites pinpoint your smartphone’s location? ~

This slide deck explains how satellite navigation systems like GPS determine your location, starting from basic geometric concepts and leading up to the effects of special and general relativity.

If you've ever wondered, "Does relativity actually affect my daily life?" — this talk is for you. It's a journey that connects abstract physics with the familiar experience of using a map app on your phone.

Originally created for a VRChat physics meetup, this talk is accessible and engaging for anyone with even a slight curiosity about space, science, or technology.

Transcript

1. 🛰️GPSで活躍する相対論 〜人工衛星はどのように 📱スマートフォンの位置を 測るのか？〜
2. 自己紹介 さめ(мег-сск) 🧑‍💻 フリーランスのソフトウ ェアエンジニア 🧑‍🎓 社会人学生として通信制 大学在学中 得意分野: 📸 コンピュータビジョン (画像認識/点群処理) 🌍 空間情報処理 (地理情 報/リモートセンシング) ☁️ クラウドインフラ設 計/IaC (AWS, GCP) GitHub YouTube Speaker Deck
3. 今日話すこと 🛰️GPSなどのGNSSはどうやって位置を測定してい るのか？ 相対論効果を考慮しないケース (幾何光学) 特殊相対論効果の影響 一般相対論効果の影響 📱スマートフォンが 🗾地図アプリなどであなたの 位置を教えてくれる時、何が起きているのかわか ります！
4. 前提とする仮定 地球は球 地球は自転しない 地球は電気的に中性 地球の質量分布は均一 地球に大気は存在しない (真空である) 地球以外の天体(月など)は存在しない 実際の地球とかけ離れているけど、これで問題を シンプルにします！ でも意外とこの近似でOKです
5. 技術的な用語の補足 GNSS (Global Navigation Satellite System)が人工 衛星による測位システムの総称 🇺🇸GPS (Global Positioning System)はGNSSの一 つ 🇷🇺GLONASS, 🇪🇺Galileo, 🇨🇳BeiDou, 🇯🇵みちびきな どがある 今日は日本人にとって最も身近なGPSと称します 本当はゲーム機を全部「ファミコン」と呼ぶお 母さんのような感じなのですが...
6. 幾何光学による位置測定
7. 距離測定の簡単な例 時刻 に地点 から速度 で 地点 に移動を始める 時刻 に地点 に着いた 間の距離は? 2点間の距離は速さ 時間で計算できる！ t = 0 (s) A v = 10 (m/s) B t = 10 (s) B AB ∣∣AB∣∣ = 10 (m/s) × 10 (s) = 100m ×
8. 光による距離測定 光の速さ: 人工衛星が時刻 に地点 から電磁波を送信する 時刻 に地点 でスマートフォンが電磁波を 受信する 地点 と地点 の距離は? 基本は同じ： 距離 = 光の速さ 時間 c = 3.0 × 10 (m/s) 8 t ​ 0 P t ​ + 0 Δt Q P Q × ∣∣PQ∣∣ = cΔt
9. 1つの人工衛星による測位 人工衛星1が電波を時刻 に地点 から送信する 後に地点 でスマートフォンが電波を受信する 地点 と地点 の距離は P₁ Q R₁ = cΔt 時刻: t₀ 時刻: t₀+Δt t ​ 0 P ​ 1 Δt Q P ​ 1 Q R ​ = 1 cΔt
10. スマートフォンはどこにあるか？ を中心とする半径 の球面 の表面のどこか にいる！ P₁ R₁ = cΔt 時刻: t₀ 時刻: t₀+Δt 球⾯ S₁ (半径R₁) スマートフォンは 球⾯S₁上のどこかにある！ P ​ 1 R ​ 1 S ​ 1
11. 2つの人工衛星による測位 2つの人工衛星から同様に距離を測定したとする スマートフォンは球 の表面のどこかにいる かつ球 の表面のどこかにいる P₁ P₂ 球⾯ S₁ (半径R₁) 球⾯ S₂ (半径R₂) 球⾯S₁ (衛星1から) 球⾯S₂ (衛星2から) S ​ 1 S ​ 2
12. スマートフォンの位置を絞り込む 2つの球の共通部分は円 つまり円 の円周上のどこかにいる！ 衛星の数を増やしてさっきよりも絞り込めた！ P₁ P₂ 球⾯ S₁ (半径R₁) 球⾯ S₂ (半径R₂) 断⾯ 円C 2つの球S₁とS₂が交わるとき、その交差部分は円Cになる C
13. 3つの人工衛星による測位 3つ目の衛星から球 を得る 円 の円周上のどこかにいることがわかっている 円 と球 の交点は2点 ( ) つまり、2つの点のどちらかにまで絞られる！ P₃ S₃ 円C Q₁ Q₂ スマートフォンは点Q₁かQ₂のどちらかにある！ S ​ 3 C C S ​ 3 Q ​ , Q ​ 1 2
14. 4つの人工衛星による測位 4つ目の衛星から球 を得る 球 は2つの候補のうち、1つのみを通る 4つの人工衛星からの距離測定により、スマートフ ォンの位置 を特定できる！ P₄ S₄ Q₁ Q₂ 2つの候補のうち、1つのみを通る！ この例ではQ₁が正解！ S ​ 4 ​ 4 Q
15. 衛星測位システムのまとめと補足 1つのGPS衛星からの信号を受信すると、球の表面 のどこかにいることがわかる 4つの衛星からの信号を受信することで、位置を特 定できる 実用的には地球表面をもうひとつの球として扱 い、3つの衛星から測位を行うことが多いです 航空機などでは4つ目の衛星の測位が重要！ 球と球の共通部分から、スマートフォンの位置を 特定できる！
16. 特殊相対論効果の影響
17. 特殊相対論の重要な主張 高速で運動する物体は静止 している観測者から見て、 時間の進みがゆっくりにな る ものすごく簡略化した説 明であることに注意！
18. 特殊相対論の主張の具体例 地球に対して速度 で等速直線運動するロケットを 考える 地球から見た時、ロケットの時計は地球の時計よ りゆっくり進む！ 12:00 13:00 12:00 12:59 速度 v 1時間経過 地球から⾒ると、 🚀ロケットの時計は 🌍地球の時計より ゆっくり進んでいる！ v
19. ローレンツ因子 ロケットの時計が 秒進んだ時、地球の時計は 秒 経過している この はローレンツ因子と呼ばれる t′ t γ t = ′ ​ = ​ 1 − v /c 2 2 t γt
20. 時計の遅れの簡単な例 ロケットの速度を とする 地球で1秒経過する間に、ロケットでは0.99秒経過 する 地球から見て、ロケットは0.01秒だけ時計が遅 く進む v = 4.2 × 10 (m/s) 7 Δt = 1 − ​ = γ t′ 1 − ​ ≃ 1 − ​ (3.0 × 10 ) 8 2 (4.2 × 10 ) 7 2 0.01(s)
21. 特殊相対論効果のよる時間の遅れ GPS衛星の速度 GPS衛星の高度は約20,000km GPS衛星の速度は約3.9km/s 簡単のため衛星は局所的に等速直線運動をして いると考える 地上で1秒時計が進む時、人工衛星の時計は地上の 時計より約 秒遅れて進む Δt ​ = sec 1 − ​ ≃ γ t′ 1 − 8.5 × 10−11 8.5 × 10−11
22. 1日あたりに生じる時間差 1日は 1日あたりのGPS衛星の時計の遅れは: なので距離測定で無視できな い時間差が生じる！ GPSによる測位はこの時間差を補正する必要があ る！ 24(h) × 60(min) × 60(s) = 86400(s) Δt ​ = day 86400(s) × 8.5 × 10 ≃ −11 7.3(μs) cΔt ​ ≃ day 2.2(km)
23. 一般相対論効果の影響
24. 一般相対論の主張 質量は時空の歪みを作る この時空の歪みが重力である 時間は重力によって遅くなる Mysid, Wikipedia Commons (CC BY- SA 3.0).
25. 重力がどのように時計の進みに影 響するのか？ 重力が強いほど時間の進みは遅くなる 重力が弱いほど時間の進みは速くなる 地表面は地球の中心に近く重力が強いので、時計 は遅くなる 人工衛星は地表面から高度20,000kmを周回してい るため重力が弱い。そのため時計は速くなる
26. シュバルツシルト計量 時空の歪み(重力)を表す最もシンプルな計量 は重力定数 は天体の質量 は天体の中心からの距離 地球の重力はシュバルツシルト計量で近似できる G M r ds = 2 − 1 − ​ c dt + ( c r 2 2GM ) 2 2 1 − ​ dr ( c r 2 2GM ) −1 2 + r (dθ + 2 2 sin θdϕ ) 2 2
27. 地球の重力はなぜシュバルツシル ト計量で近似できるのか？ シュバルツシルト計量の前提 天体は球対称かつ静止している 天体は自転しない 天体は電気的に中性 今日の地球はこれらを満たしている！ 実際の地球もこれで近似していいほどの影響し かありません
28. シュバルツシルト計量のさらなる 近似 GPSで測位を行うスマートフォンの速度は光速と比 べて非常に遅く、ほぼ静止していると考えてOK！ シュバルツシルト計量の空間成分を無視でき る！ 時間の伸び縮みは重力によってのみ生じる！ ds = 2 − 1 − ​ c dt ( c r 2 2GM ) 2 2
29. 地球の重力による時間の伸び縮み ここで は地球の中心からの距離 地球の中心で1秒経過する間に、半径 の地点では 右辺の分だけ時計が早く進む 重力が強い場所では時計が遅くなるから dτ = − ​ = c2 ds2 ​ dt ≃ 1 − ​ c r 2 2GM 1 − ​ dt ( c r 2 GM ) r r
30. 地球表面と人工衛星の時間差 地球の半径を とする GPS衛星の高度を とする GPS衛星の地球中心からの距離は 地球表面の時計とGPS衛星の時計の時間差は: R h R + h Δt = 1 − ​ − ( c (R + h) 2 GM ) 1 − ​ ( c R 2 GM ) = ​ ​ − ​ c2 GM ( R 1 R + h 1 )
31. 時間差の計算に用いる値 以下の値を代入して計算 G = 6.674 × 10 (m kg s ) −11 3 −1 −2 M = 5.972 × 10 (kg) 24 R = 6.378 × 10 (m) 6 h = 2.0 × 10 (m) 7 c = 3.0 × 10 (m/s) 8
32. 時間差の計算結果 1日あたりにGPS衛星の時計が地上の時計と比べて 進む時間差は: 1日あたり 、GPS衛星の時計は地球の時計 より早く進む 特殊相対論効果による時間の遅れよりも大きい！ Δt ​ ≃ day 45.5(μs) 45.5μs
33. トータルで生じる時間差 特殊相対論効果による時間差は (遅れ) 一般相対論効果による時間差は (進み) 両者を足して： 1日あたり、GPS衛星は地上と比べて だけ 時計が早く進む！ −7.3μs +45.5μs Δt ​ = total 45.5 − 7.3 = +38.2μs 38.2μs
34. 時計の差を放置するとどうなる？ 1日あたり だけ時計が早く進む 距離に直すと 35日間で約400km (東京-大阪間の距離)もずれる！ カーナビで東京に行こうと思ったら大阪に連れて 行かれる！ 38.2μs c × 38.2μs ≃ 11.5(km)
35. どのように補正しているか？ (この例では)1日あたり38.2 だけわざと遅れる時 計を載せて打ち上げる！ 結果的に帳尻が合う 厳密にはクロック周波数が異なる時計を載せて 実現している 理論の計算はエレガント しかし解決策は驚くほどシンプル！ GNSSはエレガントさとシンプルさの合わせ技！ μs
36. まとめ GPSは人工衛星からスマートフォンなどの測定器に 光が届く時間を測定することで位置を特定する 1基の時は球の表面、2基の時は円周、3基の時は 2点、4基の時は1点と、衛星の数が増えるほど位 置を絞り込める 正確な測位には正確な時間の補正が必要 特殊相対論効果による時間の遅れ 一般相対論効果による時間の進み 相対論はわたしたちの生活の身近にある！
37. 参考文献 International Committee on Global Navigation Satellite Systems, GNSSの基本原理、特になぜ衛星の数を増や すことで位置を絞り込めるのかについて詳 しく解説されています イラスト付きの解説が多く、わかりやすい です GNSS, How it Works and Applications
38. 参考文献 Neil Ashby, , DOI: 10.12942/lrr-2003- 1 相対論効果によるGNSSの時計の補正方法は このサーベイ論文を主に参考にしました ジオイド補正などさらに進んだ話題も詳し く解説されています Relativity in the Global Positioning System
39. 参考文献 内山龍雄， ，岩波書店 (1989) 相対論の基本的な考え方はこちらの教科書 を参考にしました 特殊相対論から一般相対論まで、一通りの 基礎的知識がコンパクトにまとまっていま す 過激な巻頭言で有名 「もし本書を読んでも、これが理解出来 ないようなら、もはや相対性理論を学ぶ ことはあきらめるべきであろう。 」 ...そんなことはないと思います 相対性理論
40. LT登壇者の募集 物理学集会ではLT登壇者を募集しています！ どんなジャンルでもOK！ 応募がないと主催がまたLTという名目のジャイ アンリサイタルを開くことになります... 興味のある方は物理学集会のDiscordサーバーま で！
41. 告知 次回開催は5月3日を予定しています YouTubeの物理の動画をみんなで見ようと思って ます 「この動画をみんなで見たい！」という提案も大 歓迎です！