フォン=ミーゼス分布が解き明かす図形の特徴 〜データサイエンスの幾何学への応用〜

2025年3月20日、VRChatの学術系イベント「DS集会」での発表スライドです。

このプレゼンテーションでは、方向統計学の基礎となるフォン=ミーゼス分布について解説しています。フォン=ミーゼス分布は「方向の分布」を表す分布関数で、平均方向(μ)と集中度(κ)という2つのパラメータで特徴づけられます。
スライドでは以下の内容を取り上げています：

- フォン=ミーゼス分布の基本概念と数学的定義
- 実用例として気象データにおける風向分布の分析
- 図形の法線方向の分布による形状特徴の定量化
- 3次元への拡張（フォン=ミーゼス-フィッシャー分布）
- 点群データ解析への応用例

方向を持つデータの分析手法として、コンピュータビジョン、形状解析、気象データ分析など様々な分野で活用できる統計的アプローチを紹介しています。

Transcript

1. フォン=ミーゼス分布が 解き明かす図形の特徴 〜データサイエンスの幾何学への応用〜
2. 自己紹介 さめ(meg-ssk) 🧑‍💻 フリーランスのソフトウェ アエンジニア 得意分野: 📸 コンピュータビジョン (画像認識/点群処理) 🌍 空間情報処理 (地理情 報/リモートセンシング) ☁️ クラウドインフラ設 計/IaC (AWS, GCP) GitHub YouTube Speaker Deck
3. ハイライト フォン=ミーゼス分布は「方向の分布」を表す分布 関数である 重要な応用例を数多く持つ 大きさだけではなく方向を持つ量(ベクトル)の分 析 風向や図形の法線分布など 今日は基礎的なコンセプトとオープンデータを使 った分析例を示します！ 方向統計学 の基礎を紹 介します (Directional Statistics)
4. 簡単な例 平均⽅向 平均すれば右を向いているが、ひとつひとつのサ ンプルの向きは揺らぐ 方向の分布を表す分布関数とそれを特徴付けるパ ラメータは？
5. フォン=ミーゼス分布 言うなれば 次元のベクトルの向きの正規分布 : 平均 : 集中度 : 第1種ベッセル関数 f(θ) = ​ 2πI ​ (κ) 0 exp(κ cos(θ − μ)) 2 μ κ I ​ (.) 0
6. フォン=ミーゼス分布の可視化 , の例を極座標ヒストグラムで 表現 μ = 180∘ κ = 1.5
7. 実用例: 風向の分布解析 日本海側は冬に北西から季節風が吹く を利用して検証 気象庁が公開している青森県鯵ヶ沢町の風向分 布のデータ
8. 年 月と 月の風向分布 月の日別最頻風向分布 月の日別最頻風向分布 西方向から風が吹く頻度が 月の方が高い 本来ならより詳細な検討が必要だが割愛 2024 6 12 6 12 12
9. 風向のパラメタライズ 風向がフォン=ミーゼス分布に従うと仮定し、 月 と 月の風向の平均と集中度を推定 月 平均: 集中度: 月 平均: 集中度: 月は集中度が低く各方向に分散 月は集中度が高く、西方向からの風の頻度が高 い 6 12 6 μ ≃ 242∘ κ ≃ 0.46 12 μ ≃ 170∘ κ ≃ 2.40 6 12
10. 図形の法線方向の分布 円と正方形の法線の分布を比較
11. 円と正方形の法線分布の比較 円の法線分布は一様、集中度 は 正方形の法線は つピークを持つ。平均 は 度 法線分布から図形の情報を抽出できる！ κ 0 4 μ 0
12. 次元への拡張: フォン ミーゼス- フィッシャー分布 フォン=ミーゼス分布は 次元平面での議論 フォン=ミーゼス-フィッシャー分布は一般の 次元 に拡張可能 ただし今日は 次元のみにフォーカス 平均 がベクトルになることに注意 3 = 2 d 3 f ​ (x) = 3 ​ exp(κ⟨μ, x⟩) (2π) I ​ (κ) 3/2 1/2 ​ κ μ
13. 次元のフォン ミーゼス-フィッ シャー分布の可視化 放線密度を球上のヒートマップで可視化 3 =
14. 実用例: 点群データの法線分布 スタンフォードバニーの法線分布 どの方向にも分布する比較的均一な分布 有名なウサギの モデル 3D
15. どのような モデルが特徴的な 法線分布を持つか？ 直方体に近い モデルは 箇所にピークを持つ 室内やビル群など 草原は上向きの法線(地表面)を多く持つが、方向の 集中度は低い 表面は荒いので法線の方向はあまり集中しない 横向きの法線は少ない 球体はどの方向も均一に分布 バニーはほとんど球体 ( 「まず牛を球とします」 は大体本当) 3D 3D 6
16. さらなる応用例 フォン=ミーゼス-フィッシャー分布は本質的には 空間のベクトルの分布を表す分布関数 データサイエンスや機械学習モデルの開発では 様々なベクトル化されたデータを扱う フォン=ミーゼス-フィッシャー分布の平均方向と 集中度を推定することで、ベクトル化されたデー タの特徴を単純化して捉えることができる 角度の分布は位相の分布としても解釈可能 → 音 声処理や信号処理の分野でも応用可能 異常検知などに応用可能（……らしいです） Rd
17. まとめ フォン ミーゼス-フィッシャー分布はベクトルの 分布を表す分布関数である 平均方向と集中度の つのパラメーターでベクトル の分布を特徴づけられる 今日は図形の特徴を定量化するための手法として の応用例を紹介した 幾何学的な応用に限らず、ベクトルの集合を分析す る有力な手法である = 2
18. 補足 法線分布は図形の特徴を表現する方法のひとつ ガウス曲率などの幾何学的量も図形の特徴を表現 するのに役立つ （ 次元の場合） 複数の定量化手法を組み合わせることで、より豊 かに図形の特徴を捉えることができる 3