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2024年度春学期 統計学 第14回 分布についての仮説を検証する ― 仮説検定(1) (20...

2024年度春学期 統計学 第14回 分布についての仮説を検証する ― 仮説検定(1) (2024. 7. 11)

関西大学総合情報学部 統計学(担当・浅野晃)
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2024s/STAT/

Akira Asano

July 02, 2024
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Transcript

  1. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 9 例題 標本 をとりだす サイズ X1 ,

    X2 , …, Xn n 母集団 (受験者全体) 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわかっているものとする σ2 (説明の都合です) 標本平均 ¯ X
  2. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 11 例題 標本 をとりだす サイズ X1 ,

    X2 , …, Xn n 母集団 (受験者全体) 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわか σ2 標本平均 ¯ X らないので,
  3. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 11 例題 標本 をとりだす サイズ X1 ,

    X2 , …, Xn n 母集団 (受験者全体) 母平均 μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわか σ2 標本平均 ¯ X らないので, 不偏分散 で代用 s2
  4. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布 12 は t(n − 1) t =

    ¯ X − µ s2/n 自由度 の t分布にしたがう (n − 1) t統計量
  5. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布 12 は t(n − 1) t =

    ¯ X − µ s2/n 自由度 の t分布にしたがう (n − 1) t統計量 (「スチューデントのt分布」という)
  6. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布 12 は t(n − 1) t =

    ¯ X − µ s2/n 自由度 の t分布にしたがう (n − 1) t統計量 (「スチューデントのt分布」という)
  7. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布 12 は t(n − 1) t =

    ¯ X − µ s2/n 自由度 の t分布にしたがう (n − 1) t統計量 (「スチューデントのt分布」という) 発見者ウィリアム・ゴセットのペンネーム
  8. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 14 面積=95% 面積=2.5%

    (左右で5%) 境界の値は自由度によってちがうので t0.025 (n − 1) としておく
  9. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 14 面積=95% 面積=2.5%

    (左右で5%) 境界の値は自由度によってちがうので t0.025 (n − 1) としておく [上側2.5%点]
  10. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 16 式で書くと が と の間に入っている確率が95% −t0.025 (n

    − 1) t0.025 (n − 1) の式に直すと μ t = ¯ X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯ X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95
  11. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 16 式で書くと が と の間に入っている確率が95% −t0.025 (n

    − 1) t0.025 (n − 1) の式に直すと μ t = ¯ X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯ X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
  12. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 前回のテキストの例題 17 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X

    − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 t0.025 (10 − 1) = 2.262 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ
  13. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 前回のテキストの例題 17 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X

    − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 t0.025 (10 − 1) = 2.262 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ で,信頼区間を求めるのは,今日の本題ではありません。
  14. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 「本質的な差」 22 10人の実験協力者について,差の平均値は +2 薬Bでの数値のほうが高い その差は, 偶然生じたものではなく 「本質的な」差なのか?

    「本質的」とは? 実験協力者番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 薬 A 60 65 50 70 80 40 30 80 50 60 薬 B 64 63 48 75 83 38 32 83 53 66 差 4 −2 −2 5 3 −2 2 3 3 6 仮に全人類が薬を飲んだとしても 薬Bでの数値のほうが高い
  15. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定で考える 27 2. 実験協力者は,母集団から無作為抽出された,10人からなる標本と考える。 3. 実験協力者10人での「薬Aと薬Bでの差」の平均値を求める。 1.「母集団(ここでは,世界のすべての患者)については 『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」と仮説を設定する。

     つまり,「本質的な差はない」という仮説を設定する。 4. 実験協力者10人について求められた「薬Aと薬Bでの差」が, 「本質的な差はない」はずの母集団から無作為抽出されたときに 偶然生じる確率を求める。 5.その確率が小さければ, 「こんな差が偶然生じるとは思わない」と考える。 すなわち,「本質的な差はない」という当初の仮説は誤り と結論する。
  16. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定で考える 28 この論理を仮説検定(検定)という 2. 実験協力者は,母集団から無作為抽出された,10人からなる標本と考える。 3. 実験協力者10人での「薬Aと薬Bでの差」の平均値を求める。 1.「母集団(ここでは,世界のすべての患者)については

    『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」と仮説を設定する。  つまり,「本質的な差はない」という仮説を設定する。 4. 実験協力者10人について求められた「薬Aと薬Bでの差」が, 「本質的な差はない」はずの母集団から無作為抽出されたときに 偶然生じる確率を求める。 5.その確率が小さければ,「こんな差が偶然生じるとは思わない」と考える。 すなわち,「本質的な差はない」という当初の仮説は誤り と結論する。
  17. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定で考える 28 この論理を仮説検定(検定)という 2. 実験協力者は,母集団から無作為抽出された,10人からなる標本と考える。 3. 実験協力者10人での「薬Aと薬Bでの差」の平均値を求める。 1.「母集団(ここでは,世界のすべての患者)については

    『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」と仮説を設定する。  つまり,「本質的な差はない」という仮説を設定する。 4. 実験協力者10人について求められた「薬Aと薬Bでの差」が, 「本質的な差はない」はずの母集団から無作為抽出されたときに 偶然生じる確率を求める。 5.その確率が小さければ,「こんな差が偶然生じるとは思わない」と考える。 すなわち,「本質的な差はない」という当初の仮説は誤り と結論する。 くじ引き🎯🎯の例で いえば?
  18. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定で考える 28 この論理を仮説検定(検定)という 2. 実験協力者は,母集団から無作為抽出された,10人からなる標本と考える。 3. 実験協力者10人での「薬Aと薬Bでの差」の平均値を求める。 1.「母集団(ここでは,世界のすべての患者)については

    『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」と仮説を設定する。  つまり,「本質的な差はない」という仮説を設定する。 4. 実験協力者10人について求められた「薬Aと薬Bでの差」が, 「本質的な差はない」はずの母集団から無作為抽出されたときに 偶然生じる確率を求める。 5.その確率が小さければ,「こんな差が偶然生じるとは思わない」と考える。 すなわち,「本質的な差はない」という当初の仮説は誤り と結論する。 くじ引き🎯🎯の例で いえば? 本当に半分当たると 考える
  19. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定で考える 28 この論理を仮説検定(検定)という 2. 実験協力者は,母集団から無作為抽出された,10人からなる標本と考える。 3. 実験協力者10人での「薬Aと薬Bでの差」の平均値を求める。 1.「母集団(ここでは,世界のすべての患者)については

    『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」と仮説を設定する。  つまり,「本質的な差はない」という仮説を設定する。 4. 実験協力者10人について求められた「薬Aと薬Bでの差」が, 「本質的な差はない」はずの母集団から無作為抽出されたときに 偶然生じる確率を求める。 5.その確率が小さければ,「こんな差が偶然生じるとは思わない」と考える。 すなわち,「本質的な差はない」という当初の仮説は誤り と結論する。 くじ引き🎯🎯の例で いえば? 本当に半分当たると 考える くじを10回引いたら 全部はずれ
  20. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定で考える 28 この論理を仮説検定(検定)という 2. 実験協力者は,母集団から無作為抽出された,10人からなる標本と考える。 3. 実験協力者10人での「薬Aと薬Bでの差」の平均値を求める。 1.「母集団(ここでは,世界のすべての患者)については

    『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」と仮説を設定する。  つまり,「本質的な差はない」という仮説を設定する。 4. 実験協力者10人について求められた「薬Aと薬Bでの差」が, 「本質的な差はない」はずの母集団から無作為抽出されたときに 偶然生じる確率を求める。 5.その確率が小さければ,「こんな差が偶然生じるとは思わない」と考える。 すなわち,「本質的な差はない」という当初の仮説は誤り と結論する。 くじ引き🎯🎯の例で いえば? 本当に半分当たると 考える くじを10回引いたら 全部はずれ 10回全部はずれる 確率は約0.001
  21. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定で考える 28 この論理を仮説検定(検定)という 2. 実験協力者は,母集団から無作為抽出された,10人からなる標本と考える。 3. 実験協力者10人での「薬Aと薬Bでの差」の平均値を求める。 1.「母集団(ここでは,世界のすべての患者)については

    『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」と仮説を設定する。  つまり,「本質的な差はない」という仮説を設定する。 4. 実験協力者10人について求められた「薬Aと薬Bでの差」が, 「本質的な差はない」はずの母集団から無作為抽出されたときに 偶然生じる確率を求める。 5.その確率が小さければ,「こんな差が偶然生じるとは思わない」と考える。 すなわち,「本質的な差はない」という当初の仮説は誤り と結論する。 くじ引き🎯🎯の例で いえば? 本当に半分当たると 考える くじを10回引いたら 全部はずれ 10回全部はずれる 確率は約0.001 確率がとても小さい ので,「半分当たる」 は間違いと考える
  22. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題に検定で答える 29 母集団全体での「薬Aと薬Bでの差」は,平均 μ の正規分布にしたがうと考える 薬Bでの数値のほうが 「本質的に」高いか? 標本サイズを

    (例題では10) 標本平均を (例題では,10人の実験協力者における差の平均値で,+2) 不偏分散を (例題では,10人の実験協力者についての不偏分散で,8.89) n ¯ X s2 t = X − µ s2 n t統計量 は,自由度(n–1)のt分布にしたがう 実験協力者番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 薬 A 60 65 50 70 80 40 30 80 50 60 薬 B 64 63 48 75 83 38 32 83 53 66 差 4 −2 −2 5 3 −2 2 3 3 6
  23. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題に検定で答える 30 薬Bでの数値のほうが 「本質的に」高いか? 標本サイズを (例題では10) 標本平均を (例題では,10人の実験協力者における差の平均値で,+2)

    不偏分散を (例題では,10人の実験協力者についての不偏分散で,8.89) n ¯ X s2 t = X − µ s2 n t統計量 は,自由度(n–1)のt分布にしたがう 「母集団については『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」という仮説 μ = 0 → 実験協力者番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 薬 A 60 65 50 70 80 40 30 80 50 60 薬 B 64 63 48 75 83 38 32 83 53 66 差 4 −2 −2 5 3 −2 2 3 3 6
  24. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t統計量= +2.121 の意味 32 自由度(10-1)のt分布の上側5%点 仮説が正しいとするとき,t統計量 t =

    ¯ X − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t 確率密度 t0.05 (10 – 1) = +1.8331 μ = 0 が正しいとすると t = +2.121 t(10 – 1) t統計量がグレーの領域に 入る確率は5% t統計量がこんなに 大きな値になる確率は 5% μ=0
  25. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 仮説は間違っている,と考える 33 そんな小さな確率でしか起きないはずのことが 起きているのは不自然 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯

    X − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ=0 🎯🎯 10回全部外れる確率は約0.001 そんな確率でしか起きないはずの ことが起きているのは不自然
  26. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 では,どういう結論なら 34 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X −

    μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t 確率密度 t0.05 (10 – 1) = +1.8331 μ = 0 が正しいとすると t = +2.121 t(10 – 1) t統計量がグレーの領域に 入る確率は5% t統計量がこんなに 大きな値になる確率は 5% μ=0
  27. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 では,どういう結論なら 34 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X −

    μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t 確率密度 t0.05 (10 – 1) = +1.8331 μ = 0 が正しいとすると t = +2.121 t(10 – 1) t統計量がグレーの領域に 入る確率は5% t統計量がこんなに 大きな値になる確率は 5% μ=0 t統計量がもっと小さいのは μがもっと大きいとき
  28. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 では,どういう結論なら 34 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X −

    μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t 確率密度 t0.05 (10 – 1) = +1.8331 μ = 0 が正しいとすると t = +2.121 t(10 – 1) t統計量がグレーの領域に 入る確率は5% t統計量がこんなに 大きな値になる確率は 5% μ=0 t統計量がもっと小さいのは μがもっと大きいとき それなら起きる確率は5%より大きい
  29. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 仮説は間違っている,と考える 35 本当は,μはもっと大きいと考える 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X

    − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ=0 μ>0 薬Bでの数値のほうが高い,と考える
  30. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 37 本当は,μはもっと大きいと考える 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X

    − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ=0 μ>0 薬Bでの数値のほうが高い,と考える
  31. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 37 本当は,μはもっと大きいと考える 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X

    − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ=0 μ>0 薬Bでの数値のほうが高い,と考える [帰無仮説] H0: μ= 0
  32. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 37 本当は,μはもっと大きいと考える 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X

    − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ=0 μ>0 薬Bでの数値のほうが高い,と考える [帰無仮説] H0: μ= 0 帰無仮説を[棄却]する
  33. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 37 本当は,μはもっと大きいと考える 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X

    − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ=0 μ>0 薬Bでの数値のほうが高い,と考える [帰無仮説] H0: μ= 0 帰無仮説を[棄却]する [対立仮説] H1: μ> 0
  34. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 37 本当は,μはもっと大きいと考える 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X

    − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ=0 μ>0 薬Bでの数値のほうが高い,と考える [帰無仮説] H0: μ= 0 帰無仮説を[棄却]する [対立仮説] H1: μ> 0 対立仮説を[採択]する
  35. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 37 本当は,μはもっと大きいと考える 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X

    − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ=0 μ>0 薬Bでの数値のほうが高い,と考える [帰無仮説] H0: μ= 0 帰無仮説を[棄却]する [対立仮説] H1: μ> 0 対立仮説を[採択]する [有意水準]
  36. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 37 本当は,μはもっと大きいと考える 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X

    − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ=0 μ>0 薬Bでの数値のほうが高い,と考える [帰無仮説] H0: μ= 0 帰無仮説を[棄却]する [対立仮説] H1: μ> 0 対立仮説を[採択]する [有意水準]
  37. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 37 本当は,μはもっと大きいと考える 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X

    − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ=0 μ>0 薬Bでの数値のほうが高い,と考える [帰無仮説] H0: μ= 0 帰無仮説を[棄却]する [対立仮説] H1: μ> 0 対立仮説を[採択]する [有意水準] 偶然とは思わない  [有意]である
  38. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 38 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X −

    μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t 確率密度 t0.05 (10 – 1) = +1.8331 μ = 0 が正しいとすると t = +2.121 t(10 – 1) t統計量がグレーの領域に 入る確率は5% t統計量がこんなに 大きな値になる確率は 5% μ=0
  39. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 38 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X −

    μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t 確率密度 t0.05 (10 – 1) = +1.8331 μ = 0 が正しいとすると t = +2.121 t(10 – 1) t統計量がグレーの領域に 入る確率は5% t統計量がこんなに 大きな値になる確率は 5% μ=0 [検定統計量]
  40. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 38 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X −

    μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t 確率密度 t0.05 (10 – 1) = +1.8331 μ = 0 が正しいとすると t = +2.121 t(10 – 1) t統計量がグレーの領域に 入る確率は5% t統計量がこんなに 大きな値になる確率は 5% μ=0 [検定統計量] [棄却域]
  41. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 38 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X −

    μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t 確率密度 t0.05 (10 – 1) = +1.8331 μ = 0 が正しいとすると t = +2.121 t(10 – 1) t統計量がグレーの領域に 入る確率は5% t統計量がこんなに 大きな値になる確率は 5% μ=0 [検定統計量] [棄却域] [棄却域に落ちる]
  42. 38 2024年度春学期 統計学/ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 検定の言葉 38 仮説が正しいとするとき,t統計量 t = ¯ X −

    μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t 確率密度 t0.05 (10 – 1) = +1.8331 μ = 0 が正しいとすると t = +2.121 t(10 – 1) t統計量がグレーの領域に 入る確率は5% t統計量がこんなに 大きな値になる確率は 5% μ=0 [検定統計量] [棄却域] [棄却域に落ちる] 棄却域が 片側(右側)にあるので [片側検定]