用十年也搞不懂《Cantor奇幻的集合論世界》

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1. 用十年也搞不懂 Cantor 奇幻的集合論世界 陳鍾誠 2016 年 11 月 17 日 程式人《十分鐘系列》 程式人《十分鐘系列》 本文衍生自維基百科
2. 話說 • 《集合論》是數學裡最基礎的東西！
3. 集合論非常簡單 • 基本上就是一個籃子放一堆東西！ • 然後找找《藍子裡面有沒有那個東西》 ...
4. 舉例而言 •假如 A={3, 7, 11} –那麼 3 就是 A 的元素 –但是 5 不是 A 的元素
5. 然後 • 集合可以進行 《聯集、交集、差集》 等運算！
6. 非常的簡單
7. 但是、鄉民說 • 工程師雖然常常有點宅， 但他們都還算正常人！
8. 而那些 •最厲害的數學家也很宅， 但幾乎都不是正常人！
9. 在集合論裏 •也有一些不正常的數學家 發現了不正常的定理！
10. 話說 •好的數學家帶你上天堂 最好的數學家帶你見閻王！
11. 現在 •就讓我們來看一個 《最好的數學家》 ...
12. 那個數學家的名字是 • Georg Cantor ... https://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
13. 翻成中文是 • 格奧爾格 · 費迪南德 · 路德維希 · 菲利普 · 康托爾 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
14. 1845 年 3 月 3 日 • 康托爾出生於俄國聖彼得堡，他的 父親是丹麥商人，母親是俄國音樂 家。
15. 康托爾上大學的時候 • 在柏林大學曾受到著名數學家 《魏爾斯特拉斯》的教導 ...
16. 魏爾斯特拉斯是誰？
17. 如果你學微積分的時候 • 數學老師有教你《極限的定義》 那些事情 ...
18. 也就是有 ε 和 δ 的那些東東
19. 那就是 • 《魏爾斯特拉斯》 搞出來的了！ https://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstrass
20. 問題是 • 《魏爾斯特拉斯》為甚麼要搞出 這個有 ε 和 δ 的東東！
21. 喔！ • 那個答案很簡單 • 就是因為發明微積分的人，包含《萊 布尼茲》和《牛頓》，他們自己都搞 不清楚《無限小》到底是甚麼東東！
22. 牛頓版的無限小 • 叫做流數術 (Method of Fluxions) https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_Fluxions
23. 牛頓在流數術中說 • ... 是為了去了解這個量 的比值，並不是在他們消 失之前，也不是在消失之 後，而是在它們消失之剎 那的比值 ... 牛頓的話來自《天才之旅》一書 : http://www.taaze.tw/sing.html?pid=11100319907
24. 然後萊布尼茲說 • 它將是充分條件，當我們談及《無窮小 量》，我們既了解這個量 ... 相當小 ... • 既使任何人想要將無窮小視為終極之事 物 ... 是可以辦到的 ... 即使他認為這種 事情是完全不可能的 ; • 它仍是足夠單純地可用來做計算的工具， 如同數學家保留虛根而獲得的極大的用 處 ... 萊布尼茲的話來自《天才之旅》一書 : http://www.taaze.tw/sing.html?pid=11100319907
25. 於是有位柏克萊主教看不下去了 • 他跳出來說： 那麼這些流數是甚麼呢？它們是漸漸 消失的無窮小增量，那麼這些漸漸消 失的無窮小增量又是甚麼呢？他們既 非有限量，也非無窮小量，更非空無 一物，我們可否稱之為失去量的鬼魂 呢 ... ？ 柏克萊主教的話來自《天才之旅》一書 : http://www.taaze.tw/sing.html?pid=11100319907
26. 於是偉大的柯西只好跳出來澄清 • 當某個歸屬於特定變數的值， 逼近於一個固定值，而能隨心 所欲地使其變小而致終止，此 終止值即稱為所有其他值的極 限！ 柯西的話來自《天才之旅》一書 : http://www.taaze.tw/sing.html?pid=11100319907
27. 而這也是柯先生發明柯西數列的原因
28. 但問題是 • 《牛頓、萊布尼茲、柯西》的話，你 覺得夠數學嗎？ • 柏克萊主教消失的幽靈，是否還繼續 存在呢？
29. 這時候 • 魏爾斯特拉斯 跳出來說話了！
30. 魏爾斯特拉斯說 • 所謂的極限就是：
31. 然後柏克萊主教說 • 那個《魏爾斯特拉甚麼的》，你說的 那麼數學我聽不懂，請說人話 ...
32. 於是魏爾斯特拉斯說 • 請回家學數學 ...
33. 結果是 • 魏爾斯特拉斯完勝柏克萊主教
34. 從此 • 微積分就有了《嚴格的數學基礎》
35. 從微積分開始 • 無窮小的幽靈就如影隨形
36. 而且 • 把無窮小取 1/ε 就會變成無窮大 ...
37. 而那個年輕的康托爾 • 正在柏林大學，向魏爾斯特拉斯 學習數學 ...
38. 康托爾想著 • 如果集合的元素有無限多個， 那會怎麼樣呢？
39. 康托爾又想 • 我的老師搞出了 ε 和 δ 的東東 • 那我可以用無窮大集合搞出甚麼東 東呢？
40. 所以 • 康托爾就開始搞《無窮大集合》 的《集合論》
41. 對於有限集合 • 像是 – {1,2,3} – {7,4,5} 我們可以計算集合大小！ 兩者大小都是 3
42. 原因是 • 兩個集合可以一對一對應 – {1,2,3} – {7,4,5}
43. 這樣的話 • 對於無窮集合而言，我們也可以如 法炮製 ...
44. 怎麼如法炮製呢？
45. 像是 • 自然數 N 和偶數可以一對一對應 – {1,2,3,…} – {2,4,6,…} 所以《自然數和偶數》有同樣的《基數》 我們稱這個基數為 N0
46. 那《整數集合 Z 》的基數呢？
47. 康托爾說 • 這還不簡單： – N={1,2, 3,4, 5,6, 7…} – Z={0,1,-1,2,-2,3,-3…} 這樣不就對上了嗎？
48. 好像有點道理！
49. 這樣的話 • 那有理數 Q 應該就沒辦法對上了吧？ • 有理數就是可以寫成《分數 q/p 》的 那種數！
50. 康托爾說 •NO, NO, NO !
51. 你看、我們只要這樣對就行了 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
52. 喂喂喂 • 康托爾老兄，你把 1/1, 2/2, 3/3 對到 了不同數上，可是他們都是 1 阿！
53. 康托爾 • 喔！那修改一下跳掉就好了！ • 不修也沒關係，因為 A<B 且 B<A 的 話，那就只剩 A=B 的情況了阿！
54. 我 •這樣說好像也是對啦！
55. 這樣的話 • 所有的無限大集合，不是就 都一樣大了嗎？
56. 康托爾 • 我原本也以為是一樣，但是我後來發 現自己錯了 … • 《實數的集合》就比《自然數集合》 更大 ...
57. 為何《實數集合》比《自然數》更大？
58. 康托爾 • 這個嘛？其實只要 0 到 1 之間的實 數集合就《比自然數集合更大了》 • 證明的關鍵得讓我們回到一對一對 應這個概念上來看！
59. 假如 0 到 1 之間的實數 • 可以和自然數一對一對應 • 那麼我們就可以把實數列一個表， 從一列到無窮 ....
60. 那個實數表像這樣
61. 這樣的話，我們可以 把對角線的元素用《底線加粗體》標示出來
62. 然後、我們就可以找到 • 很多你所漏列的實數 • 只要該實數，小數後 第 i 個數字和第 i 個實數 r i 的對角線上元素不同 就好了啊！
63. 所以 • 不管你怎麼列，你永遠都會漏掉很 多 0 到 1 之間的實數 • 所以《 0 到 1 之間的實數集合》比 《自然數集合》更大！
64. 既然 • 自然數集合是《可數無窮大》 • 那麼我們可以說： 0 到 1 之間實數集合 是《不可數無窮大》！
65. 這樣的話 • 那還有沒有比 《 0 到 1 之間實數集合更大的集合》呢？ • 像是《 0 到 100 之間的實數集合》 或是《所有實數形成的集合》 應該比《 0 到 1 之間實數集合》更大吧！
66. 康托爾 • 非也非也！ • 《 0 到 100 之間的實數集合》沒有比《 0 到 1 之間實數集合》大喔 • 因為只要用 f(x)=100*x 就可以把《 0 到 1 之 間實數集合》一對一映射到《 0 到 100 之間 的實數集合》了！
67. 如果用 這個函數 • 可以將 0 到 1 之間的實 數集合，映射到所有實 數上喔！
68. 甚至、就算把實數維度變成二維的 • 那個集合大小也只不過 和實數集合一樣大而已！
69. 更詳細的說 • 一個邊長為 1 的正方形中的實數集合， 和 0 到 1 之間的實數集合是一樣大的！ 兩集合一樣大 0 1 (1,0) (1,1) (0,1) (0,0)
70. 因為兩者之間可以一對一對應 • 對應的方法是將座標 (a,b) 轉為 z=0.a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ... 兩集合一樣大 0 1 (1,0) (1,1) (0,1) (0,0) (a,b) z
71. 所以 • 任意的 (a,b) 之間的實數集合，都 是一樣大的 • 任意維度的實數集合也都是一樣大的 • 這個集合大小我稱之為《連續統 C 》
72. 接著我問 • 康托爾先生，那麼有沒有比實數集 合 ( 也就是《連續統 C 》 ) 更大的 集合呢？
73. 康托爾先生 • 有的，《所有實數集合的子集合所形 成的集合》，比實數集合更大！ • 更廣義的說：所有 A 的子集合所形成 的集合，稱為 PowerSet(A) ，都比 A 集 合更大！
74. 為甚麼呢？
75. 康托爾 •我可以證明！
76. 方法如下 • 假如你把 PowerSet(A) 列下來，像是這樣： A 的元素 a b c d e f ... PowerSet(A) 的元素 {c} {a,b} {a,d,e,...} {} {a,e, f,...} {j,k,….}
77. 那麼、我們可以將集合 A 分成 X,Y 兩份 • X: 對應到的集合包含自己，像是 b,e,... Y: 對應的集合不包含自己，像是 a,c,d,f... A 的元素 a b c d e f ... PowerSet(A) 的元素 {c} {a,b} {a,d,e,...} {} {a,e, f,...} {j,k,….}
78. 假如 A 和 PowerSet(A) 可以一對一對應 • 那麼對於那個和 B 匹配的 y 而言， 到底 y 應不應該是 B 的元素呢？ A 的元素 a b c d e f … y PowerSet(A) 的元素 {c} {a,b} {a,d,e,...} {} {a,e, f,...} {j,k,….} ... B
79. 仔細想想你就會發現 • 假如 y 屬於 B ，那麼 y 就不應該是 B 的元素，所以 y 不應該屬於 B • 假如 y 不屬於 B ，那麼 y 就應該是 B 的元素，所以 y 應該屬於 B A 的元素 a b c d e f … y PowerSet(A) 的元素 {c} {a,b} {a,d,e,...} {} {a,e, f,...} {j,k,….} ... B
80. 所以就矛盾了！
81. 這代表我們的前提是錯的 • 也就是《假如 A 和 PowerSet(A) 可以一對 一對應》這件事情是錯的！ • 換句話說《假如 A 和 PowerSet(A) 是無法 一對一對應的》。
82. 而且 • PowerSet(A) 不可能比集合 A 小 – 因為 A={a,b,c,...} 可對應到 {{a},{b},{c},...} • 所以 PowerSet(A) 只能比 A 更大
83. 於是我們 • 可以得到一系列愈來愈大的無限集合 – N0 < P[N0] < P[0,1] < P[P[0,1]] < … • 而且我康托爾猜測 P[N0] 就是連續統 C ，這個猜測稱為《連續統假設》。 P[0,1] 代表 0 到 1 之間實數集合的 PowerSet 。
84. 看到這裡 • 你應該會發現，所有的推理都很合 理，是從《一對一對應》這個簡單概 念來的，只是康托爾把這個概念放到 無限集合上，一直適用上去而已
85. 問題是 • 你可以接受上述的推論嗎？
86. 對我而言 • 我其實很難接受這樣的推論。
87. 把一對一對應 • 放在有限集合，是理所當然的。
88. 但是一旦放到無限集合上 • 那就很難令人接受了！
89. 像康托爾這樣的做法 • 不只我無法接受！ • 當年和康托爾同時代的數學家們也 都很難接受。
90. 像是 Kroncker 就很難接受
91. 但是 • 如果放棄一對一對應可以用在無限 集合上 • 那麼我們到底要拿無限集合怎麼辦 呢？
92. 在康托爾證明完實數集合不可數之後 • 他的躁鬱症就在 1884 年發作了
93. 1899 年 • 康托爾的兒子魯道夫意外身亡 • 接著，康托爾在 1904,1907,1911 年多 次進出精神病院 • 並在 1918 年 73 歲時於精神病院去世！
94. 康托爾的《無窮集合論》 • 還有羅素發現的《集合悖論》等等。 • 後來導致了《公理化集合論》的出現
95. 公理化集合論 接受《無窮集合》與《一對一對應》等概念， 但是卻透過第九條的正規公理排除了羅素與康托爾悖論的集合
96. 第九條的正規公理 • 排除了以自身為元素之集合 • 因而避開了《康托爾與羅素的悖論》
97. 因為 • 既然康托爾和羅素的那些集合，根 本就不是集合的話，那集合論裏就 沒有矛盾了阿！
98. 關於數學家的這種解法 • 不知道你是否能接受？
99. 但是除了集合悖論之外 • 康托爾還遺留下了《連續統假設》的 問題。 • 這個問題在 1900 年希爾伯特的 23 個數 學問題當中被列為第一個問題。
100. 後來在 1940 年 • 哥德爾證明了用《集合論公理》無法 反證《連續統假設》是錯的！ • 接著在 1963 年，柯恩證明了《集合論 公理》無法證明《連續統假設》是對 的！
101. 於是 • 連續統假設就像《歐氏幾何的平行公設》 一樣，可以被加入集合論中，或者反過來 在加入集合論中，都可以創造出《不矛盾 的集合論》。
102. 也就是說 • 集合論可以分為 – 連續統集合論 – 非連續統集合論 等兩類，甚至更多類！
103. 在思考這些數學問題的同時
104. 我們得要很小心
105. 小心甚麼？
106. 小心走火入魔
107. 因為 • 《康托爾、哥德爾、圖靈》等三人！
108. 他們一脈相承的 • 都使用了類似《對角證法》的 證明法，在數學上做出了驚人的 貢獻！
109. 這些貢獻是 • 康托爾的《實數不可數》與 《無限集合擴展鏈》 • 哥德爾的《不完備定理》 • 圖靈的《停止問題不可解》！
110. 當他們三人 • 做出這些令人驚訝的貢獻後
111. 結果是 • 康托爾因躁鬱症而死於精神病院 • 哥德爾也因精神問題最後不吃東西而死 • 圖靈則是因同性戀最後吃了有氰化物的蘋 果死掉了！
112. 這些數學上的巨人
113. 其實最後都有個悲慘的結局
114. 你
115. 想當偉人嗎？
116. 歡迎加入數學的行列！
117. 歡迎使用對角證法 • 來證明出令人驚訝的定理！
118. 這就是我們今天的 •十分鐘系列！
119. 我們下回見！
120. Bye Bye!