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ざっと学んでみる確率過程 〜その1 : ブラウン運動〜
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NearMeの技術発表資料です
January 19, 2024
Science
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100
ざっと学んでみる確率過程 〜その1 : ブラウン運動〜
確率過程のイントロダクションとして、ブラウン運動を用いて、解について色々と調べています。各粒子の存在分布がどのようになるのか、それについて概論的にまとめています。
NearMeの技術発表資料です
January 19, 2024
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Transcript
0 ざっと学んでみる確率過程 〜その1 : ブラウン運動〜 2024-01-19 第75回NearMe技術勉強会 Kaito Asahi
1 確率過程とは?の前に... 確率ってなんですか?
2 確率過程とは?の前に... 確率ってなんですか? → なんかいろんなものがある程度でるな...(サイコロを振って、1の⽬が1, 2回出る) → どのくらいでこれは出るのかな?(サイコロ10回振ったら、1の⽬はどのくらい) → こんな傾向があるよな?ということを定量的に表せないか?(確率の必要性)
→ 確率を可視化したいね(確率分布の必要性)
3 確率過程とは? 確率過程の定義
4 確率過程とは? 確率過程の定義 → 下線部分を確認しておきましょう
5 確率過程とは? 確率空間について → 確率を定義するために必要な空間 Q : 確率を定義するために何が必要でしょうか? A :
• 標本全体の集合(標本空間) • 確率の⼤きさを測るために必要な指標(σ - 加法族) • 確率というものを定量的に計算するためのもの(確率測度) ◦ 標本空間から、実数(空間)への写像など( )
6 確率過程とは? 確率空間について → 確率を定義するために必要な空間 Q : 確率を定義するために何が必要でしょうか? A :
• 標本全体の集合(標本空間) • 確率の⼤きさを測るために必要な指標(σ - 加法族) • 確率というものを定量的に計算するためのもの(確率測度) ◦ 標本空間から、実数(空間)への写像など( ) コインを投げる時、{{}, {表}, {裏}, {表, 裏}, {裏, 表}}
7 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため(ランダム⼒を含む⼒学) • 必要なパラメータ(定数を含む) ◦ :質量(kg) ◦ :速度ベクトル(m/s)
◦ :外⼒(N) ◦ :時間(s) • 基本の運動⽅程式(質量の時間変化は無視:基本は、運動量の時間変化が⼒となる)
8 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため(ランダム⼒を含む⼒学) • ⼀般的なStokes抵抗を受ける運動(粘性⼒による影響) ( :減衰パラメータ)として、
9 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため(ランダム⼒を含む⼒学) • ⼀般的なStokes抵抗を受ける運動(粘性⼒による影響) ( :減衰パラメータ)として、 これでは、ランダムな運動は表せない
10 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため(ランダム⼒を含む⼒学) • ⼀般的なStokes抵抗を受ける運動(粘性⼒による影響) ( :減衰パラメータ)として、 これでは、ランダムな運動は表せない →
Aは定ベクトルで、1方向にのみ推進
11 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため(ランダム⼒を含む⼒学) • ランダム⼒を加える ( :単位質量当たりのランダム⼒)として、 ※具体的な解法はAppendixスライドにて
12 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため(ランダム⼒を含む⼒学) • ランダム⼒を加える ( :単位質量当たりのランダム⼒)として、 ここの積分値が分からない...
13 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分) ⼀般化しておく ※以下を仮定
14 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分)
15 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分) • となる※ を導⼊する ※形式的に、 これにより、⼀般的な関数
f(s) を W での積分の形で表すことができた!! ※過去の勉強会資料を参照:これはブラウン運動を仮定 https://speakerdeck.com/nearme_tech/kuo-san-moderunogai-yao-ss1-kuo-san-moderudeshi-wareruque-lu-wei-fen-ch eng-shi-nituite?slide=13
16 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分) • 伊藤積分で成り⽴つこと 1. (期待値) 2. (等張性)
17 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分) • 伊藤積分で成り⽴つこと 3. (マルチンゲール) 4.
(線形性)
18 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分) • を導⼊することで、 確率微分⽅程式!!!!
19 2. 伊藤積分(確率積分) • もう少しこの確率微分⽅程式を⾒てみよう 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 ドリフト項 拡散項
20 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分) • 確率微分⽅程式を⼀般化 ドリフト項 拡散項
21 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換) → 確率微分⽅程式にて、変数変換を⾏うもの :変数変換 ※3次以降の項は無視する
22 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換) → 確率微分⽅程式にて、変数変換を⾏うもの :変数変換 ※3次以降の項は無視する ここから
23 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換) ただし、 伊藤ルール
24 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換) ただし、 伊藤ルール ブラウン運動であるので、 は標準偏差 の 正規分布に従うことから導ける。
25 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換)
26 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換)
27 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換) • 具体例: ,
28 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換) • 具体例: ,
29 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 4. 伊藤の公式の良い部分!! • 具体例: 4-1. 期待値:
30 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 4. 伊藤の公式の良い部分!! • 具体例: 4-2. 分散:
31 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 4. 伊藤の公式の良い部分!! • 具体例: 4-3. 従う確率分布: 定常確率密度分布(正規分布に従う!!)
32 参考⽂献 1. 機械学習のための確率過程入門 確率微分方程式からベイズモデル,拡散モデル まで(https://www.ohmsha.co.jp/book/9784274231087/) 2. σ加法族と可測空間の定義・基本的な性質をわかりやすく (https://mathlandscape.com/sigma-field/) 3.
伊藤の公式を直感的に理解する(追記:ブラック・ショールズモデル (https://www.monte-carlo-note.com/2018/09/Ito-Formula.html)
33 Appendix
34 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜 • 以下の線形常微分⽅程式を解く
35 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜 • として導いた以下の解を⽤い、定ベクトル を時間依存にする
36 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜 • として導いた以下の解を⽤い、定ベクトル を時間依存にする
37 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜
38 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜
39 Thank you