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因子分析(仮)

Ringa_hyj
January 06, 2021

 因子分析(仮)

因子分析について

変数の背景に別の関係性があることを仮定して推定する方法

Ringa_hyj

January 06, 2021
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Transcript

  1. 分析に使う変数はすべて0~1に正規化されたデータであるという前提を置く = ′ − ഥ ′ ′ 2 1 =

    1 + 1 因子分析は(正規化された)データを以下のように変形させる。 添え字 iはデータ点ごとのインデックスである あるクラスの期末試験の点数一覧があるなら iさんの科目1の点数である 科目1のテストの難しさをa1で表現する 科目ごとのノイズeも足す ※個人の能力 fi と表し、これはほかの科目でも共通であるため、添え字はiだけである。
  2. a j を因子負荷量 f i を共通因子 (別名:因子得点 独立であるという前提時には直交因子とも呼ぶ。 相関を含む場合には斜交因子と。) e

    ij は独自因子 共通因子はデータ点ごとの固有の値であるが、分解して増やすこともできる。 その場合a jが増えるので解釈は難しくなる
  3. データの相関の計算 ノイズであるeは独立であるはず e*e = 0 ノイズと共通因子は独立であるはず e*f = 0 以上の独立の過程を元に、相関を計算すると、

    = − ҧ − ҧ 1 ෍ 1 − ҧ 2 1 σ 1 − ҧ 2 正規化したデータであるため、平均は0である 残った部分を因子分析のモデルに当てはめるならば以下のようになる 1 ෍ 1 = 1 ෍ 1 + +
  4. これは展開によって計算できる (AX+B)(CX+D) = AC X^2 + ADX + BCX +

    BD ここで、ノイズの期待値が0ならば、B,Dの関わる項は0になる。 のこるはAC X^2 共通因子であるf もまた、平均0,分散1であるので ← X^2は分散となり、1である。 AC * 1 = aj * av が残る 1 ෍ 1 = 1 ෍ 1 + +
  5. ノイズは期待値0であり、分散をtと仮定する この場合、自己相関 r jj は aj ^2 + t j

    ^2 = 1 となる。 ← 分散共分散行列は 1 12 13 21 1 23 31 32 1 1 2 + 1 2 1 2 1 3 2 1 2 2 + 2 2 2 3 3 1 3 2 3 2 + 3 2 = = 1 2 2 2 3 2 + 1 2 0 0 0 2 2 0 0 0 3 2 1 2 3 1 2 3 + diag 1 22 23 2 = 因子負荷量(列ベクトル) ↑ 独自因子
  6. 因子負荷量の求め方 rank(ΛΛ^t) = 1 であるので ΛtΛ の二次小行列式が0である。 ← 1 2

    1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 − 1 2 2 1 = 0 = ΛΛ^t の列和を t +i 総和をt ++ として表現する + = , +2 + 3 ++ = , +2 + 3 2 = + + + これらを使うと、因子負荷量は以下のように表現(計算)できる 重心法(セントロイド法)
  7. 主因子法 = + AA^t = R – T ここで左式の対角成分が「共通性」であるのだから、 右辺の対角成分である、1-t^2

    たちを計算することで求まるはず この右辺を「縮約相関係数行列」 とよぶ
  8. p次元データにm因子(fがm個) を当てはめて求める場合を考える 以下、 R = pの相関行列 p*p L = 因子負荷量行列

    p*m Φ = 対角が分散Φiである対角行列 p*p (共通因子で説明できないばらつき・特異性・独自性) 尤度関数はg(L,Φ)であり、これの最大化を考える
  9. 主因子法 step 1 ΛΛ^t の相関行列の最大値を見つける。 最大値のある列をj列とする ΛΛ^t のjj成分として代入する 他の成分はそのまま step2

    step 1で得た対角行列の固有値と固有ベクトルを計算する。 このとき、√固有値 * 固有ベクトル = 因子負荷量 ak である 得られたakによる行列をΛ_hat とする。 (akはp*mの行列であるはず) step3 独自因子の分散は T = 1 – Σ ak^2 である 求めたTをΛ_hat Λ_hat ^t の対角行列に代入し、再び固有値・固有ベクトルを求める Tの変化量が少なくなったら(二乗ノルムが0.0001以下とか) 止める。
  10. さらに、 G^t G = I となることから、直交行列であることが分かる つまり、ΛをG行列で回転させて得た時の Λ*G = Λ_hat

    もまた、Λの推定量である。 では、どのような回転が最も良いのか? 理屈は不明だが、 バリマックス回転が良い回転であることが知られている。 が最大となるように回転角度を決める方法 = ා =1 1 ෍ 2 2 − 1 ෍ 2 2
  11. f の推定 ෍ =1~ − −1 − これを最小化するには、 = −1

    −1−1 ※ Tは独自因子の分散行列である