( の順位を とした) U 2 X1 , … , Xm i.i.d. ∼ F (x), Y1 , … , Yn i.i.d. ∼ F (y − Δ) H0 : Δ = 0 vs. H1 : Δ ≠ 0 X Y (Z1 , … , Zm+n ) = (Y1 , … , Yn , X1 , … , Xm ) Zi Ri W = n ∑ i=1 R i 18 / 38
これを当てはめると、母集団は なので、 とおくと μ σ 2 N n ¯ X E[ ¯ X] = μ, V [ ¯ X] = N − n N − 1 σ 2 n (N − n)/(N − 1) {1, … , m + n} N = m + n μ = 1 N N ∑ i=1 i = N + 1 2 , σ 2 = 1 N N ∑ i=1 i 2 − μ 2 = N 2 − 1 12 21 / 38
式で書くと次のようになる ここで は定義関数 (指示関数) (10, 10, 30) (1, 2, 3) (1.5, 1.5, 3) R i = 1 2 + n ∑ j=1 (I [x j <x i ] + 1 2 I [x j =x i ] ) I IA = { 1 if A 0 otherwise 24 / 38
に対する の漸近相対効率と する。 例、 に対する漸近相対効率 符号検定 ウィルコクソンの符号順位検定 ただし は自由度 の 分布 Tn Sm m = cn n → ∞ c 1/c Tn Sn ¯ X N (0, 1) t(5) t(3) 0.637 0.96 1.62 0.955 1.24 1.90 t(k) k t 35 / 38